新課標視域下小學數學“尺規作圖”教學實踐

【摘要】“尺規作圖”是新課標中“圖形與幾何”領域的重要內容。明確課標內“尺規作圖”的內容體系、探尋教學中“尺規作圖”的教育價值、探究課堂上“尺規作圖”的教學路徑，能引導學生在實踐操作中感受數學的嚴謹性和精確性，進而促進其幾何直觀和推理意識的良好發展。

【關鍵詞】小學數學；新課標；“尺規作圖”；三角形；核心素養

【基金項目】本文系福建省教育科學“十四五”規劃2022年度“協同創新”（含幫扶項目）專項課題“新課標視域下小學數學‘尺規作圖’教學策略的研究”（立項編號：Fjxczx22-003）的研究成果。

作者簡介：陳秋蓉（1974—），女，福建省莆田市城廂區溝頭小學。

“尺規作圖”是指在有限次數內用無刻度的直尺和圓規解決各種平面幾何問題的經典作圖方法。新課標頒布前，小學階段在“尺規作圖”方面的教學內容較為單一，往往僅局限于用圓規畫圓這一項。一些學生升入初中后，在幾何學習方面的焦慮程度高于在代數學習方面的焦慮程度，且對幾何學習很不適應。這反映出之前各階段教學的銜接存在一些不足。而新課標為小學階段新增的“尺規作圖”的內容可以確保學生學習的連貫性，幫助學生消除焦慮、克服困難、增強信心。下面筆者將結合具體案例，從內容體系、教育價值、教學路徑三個方面，對新課標視域下小學數學“尺規作圖”的教學實踐進行闡述。

一、解讀課標，明確課標內“尺規作圖”的內容體系

“尺規作圖”的內容體系具有邏輯性和嚴謹性。只有細致梳理“尺規作圖”所涵蓋的各個具體知識點，分析各知識點之間的邏輯關聯與層次結構，才能準確地把握“尺規作圖”內容體系的全貌，清晰地了解其在整個數學課程架構中的地位與價值，為教學實踐提供科學的依據和創新的方向。

（一）解析“尺規作圖”內容之具體分布

新課標在小學階段的“圖形與幾何”領域提出了“尺規作圖”的要求。這些要求具體分布在新課標第二學段“圖形的認識與測量”的“內容要求”“學業要求”“教學提示”部分和第三學段“圖形的認識與測量”的“教學提示”部分。其對應的教學內容為“作等長線段”“作三角形三條邊”“探索三角形三邊關系”。

精準地理解新課標對于“尺規作圖”教學的要求，把握“尺規作圖”的內容該如何融入不同的單元、章節中，便于教師進行有針對性的教學規劃和實施。在具體的實踐中，教師可以將“尺規作圖”學習劃分成“初識尺規，掌握基礎技能”“再識尺規，體會作圖價值”“應用尺規，開展探索活動”這三個階段，進而構建完備的數學知識體系。

（二）探尋“尺規作圖”內容之內在邏輯

“尺規作圖”的各項內容相互關聯，并且呈現出層層遞進的邏輯特征。簡單的線段作圖與復雜的三角形作圖、單一技能的訓練與綜合知識的運用之間有著內在的邏輯。這對學生系統學習“尺規作圖”的內容起著引導作用。“作等長線段”是一節開啟“尺規作圖”學習之旅的課程。學生初步感受直尺和圓規的作用，有利于他們用直尺和圓規進一步認識和探究幾何圖形的特征。“作三角形三條邊”是一節需要應用“作等長線段”的方法的課程。掌握“作等長線段”的方法是學生進行“作三角形三條邊”的實踐的前提。“探索三角形三邊關系”則是一節知識拓展、能力提升的課程。學生不僅可以借助直尺和圓規作三角形，還可以根據作圖的過程進行推理。這是對“尺規作圖”知識的進一步應用。學生按照“尺規作圖”內容的內在邏輯來學習，能夠實現知識的有效遷移和能力的逐步提高。

二、追本溯源，探尋教學中“尺規作圖”的教育價值

“尺規作圖”教學并不僅僅是知識的傳授，更是對學生思維的啟發以及能力的培育。在教學中，教師應充分挖掘和發揮“尺規作圖”的教育價值，引導學生更好地感受用直尺和圓規來作圖的奇妙。

（一）以“尺規作圖”為鑰匙，開啟幾何直觀之門

“尺規作圖”學習有利于學生發展幾何直觀能力［1］。學生具備幾何直觀能力，可以直觀感受作圖的有序和精準，深刻領悟作圖的直觀和簡潔。

例如，在“作三角形三條邊”內容的教學中，教師從“畫線段”出發，引導學生了解封閉圖形的構成，圍繞“作等長線段”進行多次操作，并試著說出這樣作圖的理由。如此，學生可以在說理中學會如何使用直尺和圓規來測量圖形的周長，理清作圖的思路，探索“作等長線段”所蘊含的原理，體會周長的內涵，認識到三角形的周長等于三角形三條邊的長度之和，從而理解各種幾何圖形的特征和性質，積累豐富的作圖經驗，熟練掌握作圖技能。在可視化的學習過程中，學生感受到了用直尺和圓規來作圖的便捷性及線段長度的可加性［2］。教師通過“尺規作圖”，讓抽象的幾何知識變得具體，可以有效提升學生的幾何直觀能力。

（二）以“尺規作圖”為目的，走上推理意識之路

史寧中教授指出，數學的思維就是推理。這說明教師在“尺規作圖”教學中，不僅應讓學生掌握相關的方法與技巧，還應讓學生經歷簡單的推理過程，培養良好的學習態度，實現學生數學核心素養的培育。

例如，在“探索三角形三邊關系”的實踐活動當中，有的學生雖有探索的意識，但還欠缺探索的方法。對此，教師給予學生指導。于是，學生一邊操作，一邊留下作圖時的各種痕跡。這為發展學生的推理意識提供了契機。之后，學生通過嚴謹的推理，發現“兩點之間線段最短”這一事實，獲得了關于數學實驗的深刻體驗，經歷了從舉例到證明的過程，實現了對數學本質的理解，他們的數學思維等多方面的能力也得到了提升。

（三）以“尺規作圖”為引導，夯實數學品質之基

教師在“尺規作圖”教學中不應過于關注畫圖本身，而應注重對學生的訓練和培養。“尺規作圖”學習要求學生具有一定的數學品質，能夠靈活、獨立地進行操作。因此，教師在教學實踐中要在鍛煉學生的操作能力的同時，培養學生的數學品質。

例如，在作一般三角形時，學生發現如果僅僅使用直尺來作圖，容易產生誤差，并且在定好三角形的兩個頂點后無法精確地找到第三個頂點的位置，于是開始進行不斷的試誤與糾錯，判斷每一個作圖步驟是否合理，優化作圖過程，并對作出的三角形展開進一步思考，進而認識到借助圓弧可以確定三角形的第三個頂點，成功畫出特定的三角形。在上述學習實踐中，學生逐步形成了如嚴謹、縝密、耐心、專注、創新等良好的數學品質。這些數學品質的形成體現了數學學科的育人價值。

三、實踐探索，探究課堂上“尺規作圖”的教學路徑

在“尺規作圖”教學中，教師要讓學生逐漸由形象思維轉變為抽象思維，鼓勵學生發揮想象力，表達想法。對于課堂上“尺規作圖”教學的路徑，教師需要進行全面的思考與深入的探索。

（一）點燃“尺規作圖”學習興趣之火

陳省身教授曾經給廣大少年題詞—“數學好玩”。那么如何讓學生感受到“尺規作圖”學習的趣味呢？筆者認為教師應吸引學生的注意力，讓學生在玩中學，在學習中專注于具體的操作過程，在作圖中嘗試進行創造。

比如，在學生學習“作等長線段”的內容時，教師創設套圈游戲的情境，以“情境中的三位同學分別站在哪里套圈才公平”這一問題來激發學生興趣，讓學生進行自主探究。已有經驗不同的學生采用的作圖方法有所差異。對此，教師鼓勵學生大膽嘗試和創新，比較各種作圖方法，進而通過思維碰撞，得出問題的答案，即“三位同學站在以其中某位同學的位置與所套物品的位置之間的距離為半徑的圓弧上才是公平的”。這樣能夠讓學生了解用直尺和圓規作等長線段的方法，感悟知識的本質，了解畫弧的實際作用，順利解決情境問題。在教師一步步的引導和啟發下，學生知道了如何保證套圈游戲的公平性，逐漸掌握作圖技巧，成功畫出等長線段，切實感受到“尺規作圖”學習的趣味。

（二）加深對“尺規作圖”內容的理解

在學生進行“尺規作圖”學習時，教師不能讓學生的學習僅僅停留在操作的層面，而要引導學生不斷挖掘用直尺和圓規來作圖的內涵與價值，深刻感悟其中所蘊含的智慧，提高學生的思維能力。

比如，在教學“作三角形三條邊”的內容時，教師提出問題：“從長度為3 cm、4 cm、5 cm、8 cm的4條線段中任選的3條線段是否都能圍成三角形？”在這一問題的驅動下，學生嘗試運用直尺和圓規進行操作和驗證，從“不能圍成三角形”和“能圍成三角形”這2種情況著手來作圖。其中：對于第1種情況，教師引導學生從8 cm長的線段的2個端點出發分別畫出4 cm長的線段與3 cm長的線段，并以8 cm長的線段的2個端點為圓心，分別以5 cm與3 cm為半徑畫弧，進而發現4 cm長的線段和3 cm長的線段無法相連，半徑為5 cm的圓弧和半徑為3 cm的圓弧沒有交點，這說明3 cm、4 cm、8 cm長的3條線段與3 cm、5 cm、8 cm長的3條線段不能圍成三角形。對于第2種情況，教師啟發學生以類似的方法作圖，進而發現4 cm、5 cm、8 cm長的3條線段與3 cm、4 cm、5 cm長的3條線段能圍成三角形。在此期間，教師適時提出“你是怎樣畫的？你為什么這樣畫？”等問題，促使學生對自己的作圖方法背后的原理展開積極的思考，進而為之后學習“探索三角形三邊關系” 的內容與畫出平行四邊形、梯形等其他圖形打好基礎。可見，教師將線段與圖形相聯系，在學生作圖的過程中發揮引領作用，能夠使學生對“尺規作圖”內容的理解變得更加深刻，實現學生深度學習，助力學生思維的逐步進階和數學核心素養的提升。

（三）進行“尺規作圖”知識拓展應用

開展延伸教學體現了對相關知識進行拓展應用的理念。這需要教師在教學中擴大“尺規作圖”知識的應用范圍，讓學生在操作與辨析中拓展自身的思維，進而做到觸類旁通。

比如，在讓學生用直尺和圓規作等腰三角形時，教師提前布置“如圖1所示，若以圖中的線段AB為一條邊，一共可畫出多少個等腰三角形？”的作業［3］。

為此，不少學生以A點或B點為圓心，以線段AB為半徑畫弧，找到了滿足題目條件的第三個點；個別學生則借助對稱軸畫出了以線段AB為底的等腰三角形。可見，要想完成上述作業，關鍵在于利用直尺和圓規來找點。找點看似簡單，實則需要對“尺規作圖”的知識進行拓展應用。通過這樣的方式，教師可以將“尺規作圖”學習從“作已知圖形”延伸到“根據已知條件尋找未知的點”，進而為學生打造廣闊的數學學習空間，使相關知識的應用范圍得到拓寬。如此，學生能夠通過思考、推導等方式認識作圖的靈活性和多樣性，培養創造性思維和探索精神。同時，學生也能明白自己在“尺規作圖”學習中掌握的知識與方法可以在各種情境中進行應用，從而有效解決具體問題。

結語

新課標視域下的小學數學“尺規作圖”教學具有重要意義。教師需要不斷學習新理念、新方法，體悟“尺規作圖”與幾何直觀、推理意識培育之間的緊密聯系，合理把握教學節奏與重點，引領學生對“尺規作圖”進行更深入的探索，進而促進學生數學學習力與核心素養的提升。

【參考文獻】

［1］梅向明，周春荔.尺規作圖話古今［M］.長沙：湖南教育出版社，2000.

［2］位惠女.為什么要在小學增加“尺規作圖”內容：馬云鵬教授、吳正憲老師訪談錄（八）［J］.小學教學（數學版），2022（12）：4-7.

［3］朱雪蓮，姚鑫雯.聚焦解決問題 “智造”作圖方法：以“尺規作圖之畫不完的等腰三角形”教學為例［J］.小學數學教師，2024（5）：53-57.