軸對(duì)稱問題解題策略

旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱等圖形變換是數(shù)學(xué)中考中永恒的話題. 本文選取一道有關(guān)軸對(duì)稱問題的中考題，探究其解題策略.

原題再現(xiàn)

例 （2023·遼寧·沈陽）如圖[1]，在[?ABCD]紙片中，[AB=10]，[AD=6]，[∠DAB=60°]，點(diǎn)[E]為[BC]邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)[E]不與點(diǎn)[C]重合），連接[AE]，將[?ABCD]紙片沿[AE]所在直線折疊，點(diǎn)[C]，[D]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為[C']，[D']，射線[C'E]與射線[AD]交于點(diǎn)[F]．

（1）求證：[AF=EF]；

（2）如圖[2]，當(dāng)[EF⊥AF]時(shí)，[DF]的長(zhǎng)為 ；

（3）如圖[3]，當(dāng)[CE=2]時(shí)，過點(diǎn)[F]作[FM⊥AE]，垂足為點(diǎn)[M]，延長(zhǎng)[FM]交[C'D']于點(diǎn)[N]，連接[AN]，[EN]，求[△ANE]的面積．

破解思路

第（1）問證明兩條線段相等有兩種基本策略：一是利用等角對(duì)等邊，二是證明兩個(gè)三角形全等. 在此問中，AF與EF在△AEF中，所以通過證明∠FAE = ∠FEA來解答.

思路1：基于∠FAE = ∠D′AE，結(jié)合EC′ [?] AD′進(jìn)行證明.

解法1：∵四邊形AD′C′E是由四邊形ADCE沿直線AE折疊得到的，

∴∠FAE = ∠D′AE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CE [?] AD，∴EC′ [?] AD′，

∴∠D′AE = ∠FEA，∴∠FAE = ∠FEA，∴AF = EF.

思路2：基于∠AEC = ∠AEC′，結(jié)合EC′ [?] AD′進(jìn)行證明.

解法2：∵四邊形AD′C′E是由四邊形ADCE沿直線AE折疊得到的，

∴∠AEC = ∠AEC′，∴∠CEF + ∠AEF = ∠BEC′ + ∠AEB.

∵∠CEF = ∠BEC′，∴∠AEF = ∠AEB.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC [?] AD，

∴∠FAE = ∠AEB，∴∠FAE = ∠AEF，∴AF = EF.

第（2）問求線段的長(zhǎng)度，有兩種解題策略：一是在直角三角形中通過三角函數(shù)計(jì)算；二是通過第（1）問的結(jié)論，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角計(jì)算.

思路1：在（1）的結(jié)論下可知△AEF是等腰直角三角形，結(jié)合∠C = ∠DAB = 60°，用DF分別表示出EF和AF，建立方程求出DF.

解法1：如圖4，設(shè)DF = x，EF與CD的交點(diǎn)為G.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB [?] CD，AD [?] BC，∠C = ∠DAB = 60°，

∴∠FDG = ∠DAB = 60°.

∵EF ⊥ AF，∴∠F = 90°，∴∠CEF = 90°，

思路2：同樣在（1）中已經(jīng)證明了AF = EF，由（2）中給出的EF ⊥ AF，我們不難得出實(shí)際此時(shí)EF是平行四邊形ABCD的高.所以只要求出平行四邊形ABCD中AD邊上的高即可.

解法2：如圖5，過點(diǎn)B作BH [⊥] AD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD [?] BC.

∵HB ⊥ AD，EF ⊥ AF，∴∠F = ∠AHB = 90°，

∴EF [?] HB，∴四邊形EFHB是矩形，

第（3）問求△ANE的面積，有兩種解題策略：一是利用三角形面積公式；二是將三角形面積比轉(zhuǎn)化為線段比.

思路1：如圖6，由線段CD與C′D′關(guān)于直線AE對(duì)稱，可知分別延長(zhǎng)DC與D′C′，其交點(diǎn)K在直線AE上.由題意知EC′ [?] AD′，F(xiàn)N ⊥ AE，得到M，E是線段AK的三等分點(diǎn).過點(diǎn)A作AH ⊥ KD′于點(diǎn)H，可求出△AKH的邊長(zhǎng)，再通過△KMN ∽ △KHA，求得MN的長(zhǎng).

解法1：∵AF = FE，F(xiàn)M ⊥ AE，∴AM = ME.

如圖6，分別延長(zhǎng)DC與D′C′交于點(diǎn)K.

∵四邊形AD′C′E與四邊形ADCE關(guān)于直線AE對(duì)稱，

∴點(diǎn)K在直線AE上，EC′ = EC = 2，AD′ = AD = 6，C′D′ = CD = 10，∠AD′C′ = ∠ADC = 120°.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴KD′ = 15，AM = ME = EK.

過點(diǎn)A作AH ⊥ KD′于點(diǎn)H，

思路2：如圖7，把△AFE沿直線AE折疊，點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)F′為AD′與CB的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).可求出△AF′B的邊長(zhǎng)，過點(diǎn)F′作F′Q ⊥ AB于點(diǎn)Q，則可求出△ABF′的面積，再求出△ABE的面積，最后通過F′N與MN的比求出△AMN的面積.

解法2：如圖7，分別延長(zhǎng)CB，AD′，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F′，連接NF'.

∵四邊形AD′C′E與四邊形ADCE關(guān)于直線AE對(duì)稱，

∴∠F′AE = ∠FAE.

由第（1）問解法2可知∠F′EA = ∠FEA，

∴△AF′E ≌ △AFE，∴AF' = AF = FE = EF′，

∴四邊形AFEF′是菱形，∴F′在FN的延長(zhǎng)線上.

設(shè)D′F′ = 2x，則F′A = 6 + 2x，F(xiàn)′B = F'E - BE = AF' - BE = 2 + 2x.

過點(diǎn)F′作F′Q ⊥ AB于點(diǎn)Q.

∵AD [?] EF′，∴∠ABF′ = ∠DAB = 60°，

∴AQ = AB - BQ = 9 - x.

在Rt△AQF′中，由勾股定理得AQ2 + F′Q2 = F′A2，

∵四邊形AFEF′是菱形，∴FC′ [?] D′F′，

總結(jié)提升

1.對(duì)于軸對(duì)稱（翻折）相關(guān)題目，要挖掘圖形中軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合其他條件解決問題，如例題中第（1）問就是利用成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而推導(dǎo)出結(jié)論.

2.根據(jù)結(jié)論的需要構(gòu)造軸對(duì)稱（或補(bǔ)全）圖形，如第（3）問中的解法1和解法2，再綜合幾何圖形的其他性質(zhì)完成解題.

軸對(duì)稱（翻折）隱含了相應(yīng)的角相等、線段相等以及相關(guān)的圖形性質(zhì)，同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類題目時(shí)要不斷體會(huì)、反思和總結(jié).