注重基礎　靈活運用　融會貫通

圓作為初中幾何圖形之一，在中考中占有重要的地位，而圓的切線的性質與判定作為圓的重要知識點，更是每年各地中考的重點. 這類題往往考查對銳角三角函數、等腰三角形、解直角三角形、相似三角形、全等三角形等知識點的綜合運用能力．

原題再現

例 （2023·遼寧·鞍山）如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點D作DF ⊥ BC，交BC的延長線于點F，交BA的延長線于點E，連接BD. 若∠EAD + ∠BDF = 180°．

（1）求證：EF為⊙O的切線．

破解策略

第（1）問有兩種解題策略，都是采用證明切線的常用思路“連半徑，證垂直”進行解決：連接OD，證明OD ⊥ EF，從而證明OD [?] BF，即可證明EF為⊙O的切線．

策略1：如圖2，只需一條輔助線，連接OD，利用內錯角∠ODB和∠DBF相等，證明OD與BF平行．

解法1：如圖2，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB = 90°.

∵DF ⊥ BC，

∴∠F = 90°.

∵∠EAD + ∠BDF = 180°，∠EAD + ∠BAD = 180°，

∴∠BDF = ∠BAD，

∴∠ABD = ∠DBF.

∵OB = OD，

∴∠ABD = ∠ODB，

∴∠ODB = ∠DBF，

∴OD [?] BF.

∵BF ⊥ EF，

∴OD ⊥ EF.

∵OD是半徑，

∴EF為⊙O的切線．

策略2：如圖3，需要三條輔助線，分別為OD，DN和FN，利用同位角∠N和∠ADO相等，證明OD與BF平行．

解法2：如圖3，連接OD，延長AD與BC的延長線交于點N.

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB = ∠NDB = 90°.

∵DF ⊥ BC，

∴∠DFB = 90°.

∵∠EAD + ∠BDF = 180°，∠EAD + ∠BAD = 180°，

∴∠BDF = ∠BAD，

∴∠ABD = ∠DBF.

在△ABD和△NBD中，

∠ADB = ∠NDB，BD = BD，∠ABD = ∠NBD，

∴△ABD ≌ △NBD，

∴∠BAD = ∠N.

∵OA = OD，

∴∠BAD = ∠ADO，

∴∠N = ∠ADO，

∴OD [?] BF，

∵BF ⊥ EF，

∴OD ⊥ EF.

∵OD是半徑，

∴EF為⊙O的切線．

第（2）問有兩種解題策略，分別為利用銳角三角函數解決、利用解直角三角形和相似三角形對應邊成比例來解決．

策略1：利用銳角三角函數解決．

解法1：如圖4，連接AC，OD.

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB = 90°.

∵DF ⊥ BC，

∴∠F = 90°，

∴AC [?] d166982299073202bbb98e8b984130219f8cd3b4173209b20427f8488afd81a4EF，

∴∠E = ∠BAC = ∠BDC.

設⊙O的半徑為r，則OE = 10 - r.

在Rt△EOD中，

解得r = 4，

經檢驗，r = 4是原方程的解，

∴⊙O的半徑為4．

策略2：利用解直角三角形和相似三角形對應邊成比例來解決．

解法2：如圖5，連接AC，OD.

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB = 90°.

∵DF ⊥ BC，

∴∠F = 90°，

∴AC [?] EF，

∴∠E = ∠BAC = ∠BDC.

在Rt△EBF中，

∵∠E = ∠E，∠ODE = ∠F，

∴△EOD ∽ △EBF，

設⊙O的半徑為r，則OE = 10 - r，

解得r = 4，

∴⊙O的半徑為4．

綜上，證明切線的方法是“連半徑，證垂直”，而應用切線解決其他問題的方法則是“連半徑，得垂直”. 解決這類問題不要忽視圓中隱藏的等腰三角形、直角三角形，當出現三角函數時，一定要將目光鎖定在直角三角形中．

拓展訓練

1.如圖6，已知AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，點P是⊙O外的一點，PC ⊥ AB，垂足為點C，PC與BD相交于點E，連接PD，且PD = PE，延長PD交BA的延長線于點F．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

2. 如圖7，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，分別交AC，BC于點D，E，點F在BC上，∠CDF = ∠ABD．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

3. 如圖8，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點（點C不與點A，B重合），連接AC，BC，點D是AB上的一點，AC = AD，BE交CD的延長線于點E，且BE = BC．

（1）求證：BE是⊙O的切線；

3．（1）略；（2）8．