遇斜直角找“一線三垂直”

原題再現

例 （2023·新疆）

【建立模型】

（1）如圖1，點B是線段CD上的一點，AC ⊥ BC，AB ⊥ BE，ED ⊥ BD，垂足分別為C，B，D，AB = BE. 求證：△ACB ≌ △BDE.

【類比遷移】

（2）如圖2，一次函數y = 3x + 3的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，將線段AB繞點B逆時針旋轉90°得到BC，直線AC交x軸于點D．

①求點C的坐標；

②求直線AC的解析式.

【拓展延伸】

破解策略

第（1）問較為簡單，下面主要介紹后兩問的解題思路.

第（2）問破解策略：由第（1）問的求解過程可知，當出現“斜直角”且兩邊相等時，可構造“一線三垂直”全等三角形解決問題.具體構造方法是過直角頂點任意作一條直線，再過角的兩邊向這條直線作垂線段，即可出現全等三角形.

解：①∵一次函數y = 3x + 3的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，

∴A（0，3），B（-1，0），

∴OA = 3，OB = 1.

過點C作CG ⊥ x軸于點G，如圖4，

則∠BGC = 90° = ∠AOB，

∴∠CBG + ∠BCG = 90°.

∵線段AB繞點B逆時針旋轉90°得到BC，

∴BC = AB，∠ABC = 90°，

∴∠ABO + ∠CBG = 90°，∴∠BCG = ∠ABO，

∴△BCG ≌ △ABO（AAS），∴BG = OA = 3，CG = OB = 1，

∴OG = OB + BG = 1 + 3 = 4，∴C（-4，1）.

第（3）問破解策略：分點M在射線BQ的上方和下方兩種情況討論. 為看得清晰，圖5～9比例有所調整.

∵拋物線y = x2 - 3x - 4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），

當y = 0時，x2 - 3x - 4 = 0，解得x1 = -1，x2 = 4，

∴A（-1，0），B（4，0）.

第一種情況：當點M在射線BQ的上方時.

解法1：已知△KBQ的兩個角的三角函數和一條邊長，通過作垂直，解兩個三角形求出邊長.

如圖5，設BM交y軸于點K，過點K作KH ⊥ BQ于點H，

則∠KHQ = ∠KHB = 90°.

解法2：由給出∠MBQ的正切值，可知需要作垂直構造直角三角形，垂足可以落在∠MBQ的兩邊.當出現“斜直角”時，構造“一線三垂直”相似三角形解題是通法.

當垂足落在BQ邊上的Q點時.

如圖6，過點Q作QK ⊥ QB交射線BM于點K，過點Q作直線GH [?] x軸，過點K作KG ⊥ GH，垂足為G，過點B作BH ⊥ GH，垂足為H.

則△KGQ ∽ △QHB，

解法3：當垂足落在BM邊上時，應過∠MBQ的另一邊BQ上的已知點Q向BM邊作垂直.

如圖7，過點Q作QK ⊥ BM. 交射線BM于點K，過點K作直線GH [?] x軸，交y軸于點G，過點B作BH ⊥ GH，垂足為H ，則△KGQ ∽ △BHK，

第二種情況：當點M在射線BQ的下方時.

解法1：如圖8，過點Q作QK ⊥ BM交射線BM于點K，過點K作直線GH [?] x軸，過點K作GH [?] x軸，交y軸于點G，過點B作BH ⊥ GH，垂足為H ，則△KGQ∽△BHK，

設[GK=x]，則[BH=3x]，[KH=4-x]，

解法2：如圖9，過點Q作QK ⊥ QB，交射線BM于點K，過點K作KH ⊥ y軸，垂足為H，則△QHK ∽ △BOQ，

總結提升

1.當動直線與一條射線成定角時，有兩個方向，注意分兩種情況討論.

2.當出現三角函數時，需要作垂直構造直角三角形，由于垂足可以落在角的兩邊，因此有兩種構造方法. 構造技巧是借助已知點，并利用好已知點的坐標.

3.當出現“斜直角”時，構造“一線三垂直”全等或相似三角形是通法，往往能解決很多幾何問題.