聚焦方程與不等式專題

2024年遼寧省初中學業水平考試數學樣卷17題集方程與不等式于一體，且源于生活. 方程（組）和不等式（組）是解決實際問題的兩種常見模型，這兩種模型是根據條件中的數量關系體現出來的：若條件中給出的是等量關系，則建立的是方程模型，包括一次方程（組）、一元二次方程、分式方程；若條件中揭示的是不等關系，則建立的是不等式（組）模型. 對兩者進行綜合考查是中考數學試卷中的常見題型.

原題再現

例 某中學開展跨學科綜合實踐活動，需要準備A，B兩種吸管，學校計劃前往某超市購買，通過調查，將獲取的相關數據整理如下表：

（1）A種吸管、B種吸管每包各是多少元？

（2）該中學決定購買A，B兩種吸管共100包，且總費用不超過600元，那么該中學最多可以購買A種吸管多少包？

破解策略

第（1）問：題中給出了兩個等量關系：12包A種吸管和15包B種吸管總費用是171元；24包A種吸管和28包B種吸管總費用是332元. 根據這兩個等量關系可以列出兩個二元一次方程，組成一個二元一次方程組，解方程組即可求出A，B兩種吸管每包的錢數.

解：設A種吸管、B種吸管每包分別是x元、y元，

答：A種吸管、B種吸管每包分別是8元、5元.

第（2）問：本小題又給出了一個等量關系，即A，B兩種吸管共100包，可以用這個等量關系設未知數，如設買A種吸管a包，則買B種吸管（100 - a）包；另外還給出了一個不等關系，即總費用不超過600元，由此可列出一個不等式，進而解出a的取值范圍，確定其最大值.

解：設買A種吸管a包，則買B種吸管（100 - a）包，

根據題意，得8a + 5（100 - a） ≤ 600.

∵a為正整數，∴a 的最大值為33.

所以該中學最多可以購買A種吸管33包.

總結提升

解這類應用問題的思維方向和解題步驟如下：（1）讀懂題目的意思，確定正確的數學模型；（2）找出題目中隱含的數量關系（包括等量關系和不等關系）；（3）設出恰當的未知數，依據數量關系列出方程（組）或不等式（組）；（4）求解討論；（5）作答.其中的關鍵步驟是確定數量關系，具體可從以下三方面進行思考.

第一，抓住關鍵詞.如“……比……多（或少）”“……是……的……倍”“早出發”“遲到”“共需……”等，這些是體現等量關系的關鍵詞.再如，“至多”“至少”“不超過”“不低于”等，這些是體現不等關系的關鍵詞.

第二，掌握一些重點題型的數量關系.如：行程問題中路程 = 速度 × 時間；工程問題中工作量 = 工作效率 × 工作時間；營銷問題中總銷售額 = 單件的售價 × 銷售量，單件利潤 = 售價 - 進價，總利潤 = 總銷售額 - 總成本 = 單件利潤 × 銷售量；等等.

第三，列出方程或不等式后，要正確求出未知數的值或范圍，求出未知數的解時要進行雙重檢驗：一是檢驗該解是否為原方程的解，二是檢驗該解是否符合題意及實際意義.如果設的是間接未知數，還需求出直接未知數.

拓展訓練

1.某超市銷售甲、乙兩種驅蚊手環，某天賣出3個甲種驅蚊手環和1個乙種驅蚊手環，收入128元；另一天，以同樣的價格賣出1個甲種驅蚊手環和2個乙種驅蚊手環，收入76元．

（1）每個甲種驅蚊手環和每個乙種驅蚊手環的售價分別是多少元？

（2）某幼兒園欲購買甲、乙兩種驅蚊手環共100個，總費用不超過2500元，那么最多可購買甲種驅蚊手環多少個？

2.為了進一步豐富校園文體活動，某中學準備一次性購買若干個足球和排球，用480元購買足球的數量和用390元購買排球的數量相同，已知足球的單價比排球的單價多15元.

（1）求足球和排球的單價各是多少元；

（2）根據學校實際情況，需一次性購買足球和排球共100個，但要求其總費用不超過7550元，那么學校最多可以購買多少個足球？

3.“一方有難，八方支援”，某地發生地質災害后，甲、乙兩公司全體員工踴躍參與捐款活動，甲公司共捐款100 000元，乙公司共捐款140 000元. 下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：

（1）甲、乙兩公司各有多少人？

（2）現甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買A，B兩種救災物資，A種救災物資每箱15 000元，B種救災物資每箱12 000元. 若購買B種救災物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？請設計出來（注：A，B兩種救災物資均需購買，并按整箱配送）．

4.某市某中學計劃舉行知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵.現要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．

（1）求甲、乙兩種獎品的單價；

5. 2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡. 某商家兩次購進冰墩墩進行銷售，第一次用22 000元，很快銷售一空，第二次又用48 000元購進同款冰墩墩，所購進數量是第一次的2倍，但單價貴了10元．

（1）該商家第一次購進冰墩墩多少個？

（2）若所有冰墩墩都按相同的標價銷售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%（不考慮其他因素），那么每個冰墩墩的標價至少為多少元？

6.某社區采購春節慰問禮品，購買了甲、乙兩種類型的糧油套裝.甲種糧油套裝單價比乙種糧油套裝單價多30元，用1200元購買甲種糧油套裝和用900元購買乙種糧油套裝的數量相同.

（1）求甲、乙兩種糧油套裝的單價分別是多少元.

（2）社區準備再次購買甲種和乙種糧油套裝共40件，購買乙種糧油套裝不超過甲種糧油套裝的3倍，且商家給出了兩種糧油套裝均打8折的優惠. 購買甲種和乙種糧油套裝各多少件時花費最少？最少花費是多少元？

7.隨著旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬，4月份游客人數為2.5萬.

（1）求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率.

（2）預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率.已知該景區5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人？

答案：1. （1）每個甲種驅蚊手環的售價是36元，每個乙種驅蚊手環的售價是20元；（2）最多可購買甲種驅蚊手環31個.

2. （1）足球單價為80元，排球單價為65元；（2）學校最多可以購買70個足球.

3. （1）甲公司有150人，乙公司有180人. （2）有2種購買方案：購買8箱A種救災物資、10箱B種救災物資，或購買4箱A種救災物資、15箱B種救災物資．

4. （1）甲種獎品單價為20元/件，乙種獎品單價為10元/件. （2）當學校購買20件甲種獎品、40件乙種獎品時，總費用最少，最少費用是800元.

5. （1）該商家第一次購進冰墩墩200個. （2）每個冰墩墩的標價至少為140元.

6. （1）甲種糧油套裝的單價為120元，乙種糧油套裝的單價為90元. （2）購買甲種糧油套裝10件、乙種糧油套裝30件時花費最少，最少花費為3120元.

7. （1）這個月中該景區游客人數的月平均增長率為25%. （2）5月份后10天日均接待游客人數最多0.1萬人.