高中數學考試題與教材習題雙向融通的實踐與思考

[摘 要] 教師利用新教材中的例題和習題培養學生的解題能力，無疑是提高學生數學學科核心素養的有效途徑. 研究者以本校月考中的立體幾何考試題為例，闡述直觀想象素養如何貫穿教材習題并“走”出教材，以及考試題與教材習題如何做到雙向融通.

[關鍵詞] 教材習題;考試題;立體幾何;直觀想象

高中數學課程應以學生發展為本，以立德樹人為根本任務[1] 在此背景下，高中數學教材在內容和教學方法上做了一些調整和改變，高考命題參考教材內容，與教材思想高度契合，因此，教材的重要性不言而喻. 教材中的例題和習題作為教材的重要構成部分，是數學學習必不可少的重要資源，一線教師應該通研新教材，把握變化規律，將教材習題與考試題做到雙向融通.

問題提出

高考數學命題遵循“題在書外，根在書內”的原則，教材中的定理或例題、習題經過加工、重組和發展等變身成試卷中的考題，“源于教材，且高于教材”不僅是教師平時考試命題的依據，也是高考命題的基礎. 為此，在平時的期中、期末考試講評課中，應當注重考試題與教材習題或定理之間的緊密聯系，給每一道考試題都找到教材中的“源頭”. 通過梳理教材習題與考試題之間的聯系，引導學生重溫教材，深化理解教材中關于數學學科核心素養的知識內容，感受數學學科核心素養是如何從教材中走出來的. 這樣不僅能促使學生遷移知識，還能讓學生的數學能力螺旋上升. 因此，廣大一線教師要善用教材. 教材是領航燈，能給教師和學生指引正確的方向. 在復習課中，學生容易進入題海，反復刷題，而這只XghYe00OXdQ7iTPv52KFmw==會導致思維僵化，對數學知識的掌握和數學思維的提高沒有任何作用. 只有在解題過程中引導學生掌握本源知識，才可能引來“活水”，提高學生的數學能力，培養學生的數學學科核心素養.

教學實踐

1. 試卷講評課模式的新探索

高中數學課堂教學的重要課型之一就是試卷講評課，尤其在高三總復習階段. 試卷講評能有效實施的保證就是科學的試卷分析，常規來看，試卷分析與試卷講評課之間的關系如圖1所示. 試卷講評備課，一般是分析試卷成績和總結試卷典型答案，基本能保證講評課有效進行. 但基于高考試題與教材習題雙向融通的探索，在原有的備課流程下，加入“與教材習題的聯系”和“教材習題的衍生”這兩個環節，使得試卷講評備課流程形成閉環（如圖2所示）. 這樣不僅使試卷講評課發揮了反饋練習、糾正錯誤、提升解題能力的作用，還明確了試卷所考查的知識點在教材中的地位和難易程度，以及不同題型對核心素養和關鍵能力的考查要求，引導學生在數學學習過程中逐步形成正確的價值觀、必備品格和關鍵能力.

數學是研究數與形的學科，數學六大核心素養之一的直觀想象，不僅與“形”有關，而且與“數”和“形”之間的關系也有關！數學源于生活，應用于生活. 生活中的問題，通過數學抽象和數學建模轉化成數學問題，而這個過程離不開直觀想象，以及數學應用意識和能力.從圖形的觀察中，抽象出圖形所隱藏的數量關系;從代數表達式的觀察中，發現其所蘊含的圖形表示;把復雜的問題化歸為簡單的問題，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，把未解決過的問題變動為解決過的問題，這些都需要腦力智力的深度參與，思維的深度調動. 在培養學生思維的深刻性和靈活性的同時，讓直觀想象慢慢生根.下面筆者以本校高一年級學生月考中的立體幾何試題的講評課為例，探索如何在試卷講評課中培養學生的直觀想象素養，以及如何實現高中數學考試題與教材習題雙向融通.

2. 尋知識之源，識命題背景

例1 （試卷第6題）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中將底面為矩形的棱臺稱為芻童.如圖3所示的芻童ABCD-ABCD ， AB=AD=2，AB=AD=4，側棱長均為2，則芻童ABCD-ABCD的體積為（ ）

A. 28 B.C. D.

分析 本題不僅考查學生的數學運算素養（四棱臺的體積），還考查學生的直觀想象素養. 在求棱臺的高的時候，若能通過直觀想象確定高的位置在對角線AC上，然后構造直角三角形求解其高，再將高代入公式V=h（s+s′+）得到結果，可使本題的難度降低很多. 根據題意，棱臺上、下底面均為正方形，AH=OA-OH，OA=2，OH=.在Rt△AAH中，AH=，AA=2，所以AH==. 所以V=h（s+s′+）=××（4+16+）=.

溯源 （人教A版必修第二冊教材第116頁練習1）如圖4所示，正六棱臺的上、下底面邊長分別是2 cm和6 cm，側棱長是5 cm，求它的表面積.

這是教材原題，求出側面小梯形的面積是題眼. 顯然，如若學生掌握了本題的解題思路，應當能理解側面小梯形的高與幾何體的高的區別. 因此，這類題除了考查學生對公式的應用能力外，其命題本源還引導學生區分側面的高和幾何體的高，并正確求解. 而正六棱臺的高的求解方法，需要學生運用直觀想象素養，根據正六棱臺的對稱性等幾何特征，直觀得到其位置.

想要上好一堂課，當以教材為“金”，課標為“銀”，以發展學生思維能力為目標，提高學生數學學科核心素養為導向. 但大多數學生卻把高中數學教材當做“無用”之物，而把教輔資料當做“法寶”，刷題不亦樂乎，殊不知走了不少彎路. 溯源題目是教材第116頁的練習1，在試卷講解中，使學生發現考試題與教材習題之間竟有如此緊密的聯系，一方面突出教材的主體地位，另一方面規范學生的數學學習方法，引領學生掌握正確的學習途徑，強調直觀想象素養在解題教學中的重要地位.

3. 尋方法之源，揭數學本質

例2 （試卷第17題）如圖5所示，在長方體ABCD-ABCD中，AB=AA=2，AD=3，點E，F分別是AB，AA的中點，點E，F，C∈α，請畫出截面α.

分析 對于簡單的畫截面的問題，常用相交線法和平行線法解決. 其中相交線法作圖的關鍵在于確定截點，即借助圖形直觀，確定在多面體的同一表面上有兩個截點可連成截線，畫出截面.

解法1 （相交線法）如圖6所示，作EF，BA的延長線，相交于點P;連接PC，與直線AD相交于點Q;連接FQ，則直線FQ即截面α與平面ADDA的交線. 同理延長直線BB，交直線EF于點R;連接CR，交直線BC于點T;連接ET，則直線ET，CT分別為截面α與平面ABCD和平面BCCB的交線. 連接CQ，則平面EFQC1T即截面α.

解法2 （平行線法）如圖7所示，過點C作直線EF的平行線LK，連接FL交AD于點Q，連接EK交BC于點T，則平面EFQC1T即截面α.

培養直觀想象素養不僅包含空間想象，還有大膽猜想，以及深入探索和研究.

溯源 （人教A版必修第二冊教材第138頁例3）如圖8所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′C′.

（1）要經過面A′C′內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？

（2）所畫的線與平面AC是什么位置關系？

分析 要經過面A′C′內的一點P和棱BC將木料鋸開，實際上是經過BC及BC外一點P作截面，也就需要找出所作的截面與相關平面的交線. 我們可以依據直線與平面平行的性質定理、基本事實4和推論1畫出所需要的線段.

數學概念的抽象，特別是一些具有本源地位的數學概念的抽象，在發展學生數學抽象素養中有特別重要的作用. 在立體幾何的教學中，教師可以引導學生通過對圖形認真細致的觀察，來為直觀想象素養的進一步發展提供契機;教師還可以通過特殊模型的科學引入，來為學生用圖形語言解決問題的能力的科學培養提供支點，也可以進一步優化幾何圖形與代數知識的有機整合，在學生引用數學語言深入探究解題思路時，提升學生的直觀想象素養.

“退”是一種策略，退到教材，退回起點，反而能看清問題的本質. 對于數學問題，有時回歸教材，往往能引導學生識得題目所蘊含的知識點，掌握數學本質和數學定理.

4. 尋思想之源，悟理性思維

例3 （試卷第19題）如圖9所示，正四棱錐S-ABCD中，SA=4，AB=2，E是SC的中點.

（1）求證：SA∥平面BDE;

（2）求三棱錐B-SDC的體積.

解析 （1）連接AC，交BD于點O，連接OE. 在△SAC中，O，E分別為AC，SC的中點，SA∥EO. 又OE∈平面BDE，SA?平面BDE，故SA∥平面BDE.

（2）V=V=hS△BDC=×2×=.

本題綜合考查正四棱錐S-ABCD中的位置關系和數量關系（位置關系和數量關系是研究立體幾何的重點），以及學生的直觀想象素養. 對于線面平行的證明，相信學生已經歷多次，但是否歸納過題型呢？是否回歸過教材找尋題目應對的數學定理呢？有理走遍天下，無理寸步難行，懂其定理，才能舉一反三，暢通思維. 針對上述例題，筆者引導學生歸納出如圖10所示的證明線面平行的方法，以此培養學生嚴謹的數學思維.

溯源 （人教A版必修第二冊教材第138頁練習2）如圖11所示，在正方體ABCD-ABCD中，E是DD的中點，判斷BD與平面AEC的位置關系，并說明理由.

這是教材原題，證明線面平行可通過線線平行或面面平行的性質定理完成. 在歸納線面平行的證明方法后，學生能形成思維體系，掌握思考問題的策略. 本題證明有兩種方法：一是利用EO∥BD，從而證明BD∥平面ACE（如圖12所示）;二是取AA的中點M，取CC的中點N，證明平面BMDN∥平面ACE，通過面面平行的性質定理，證明BD∥平面ACE（如圖13所示）.

新課標強調在本部分要借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律，由此空間幾何體的位置關系和數量關系是本部分的研究重點，教學者也應當多思考如何在空間幾何體的教學中讓直觀想象素養落地，如何更好地發展學生的轉化思想、方程思想和函數思想，真正落實“五育并舉”，培養有專業數學素養的人才.

幾點思考

1. 回歸教材“活”水來

教材是教學的根，是數學教學的靈魂. 數學問題靈活多變，歸其根本是對數學相關概念、定理和定義的考查，以及對數學相關概念、定理和定義等知識來龍去脈（知識生成過程的再現）的靈活變通的應用. 在教學中，要善于運用教材、挖掘教材，特別是在試卷講評課中，要對試題作分析與反思，在教材中尋找知識“源頭”，將數學知識、數學方法和數學思想串聯起來，學生才能融會貫通、舉一反三.如上述例2，學生若掌握了過P和棱BC將木料鋸開所依據的數學原理（基本事實4和推論1），就能夠理解其知識本質，由此順利解決月考試題. 數學問題不是無土之木，無根之水，而是源于教材，衍生于教材. 若高中數學一味地采取題海戰術，則會導致學生思維僵化，而只有回歸數學知識、回歸教材，學生思維才能得以拓展，引得“活水來”[2].

2. 思維導圖“暢”思路

波利亞曾說，“教師的首要職業之一不是給學生一種錯覺：數學題目之間很少有聯系，和任何其他事務則完全沒有任何聯系”. 數學問題不是憑空產生的，既然如此，研究數學問題就有必然的途徑，如何尋找解決一類數學問題的途徑呢？思維導圖可堪當大任. 借助思維導圖可將知識結構和知識脈絡聯系起來，形成知識網絡，這也是教材所提倡的（在每一個章末總結編寫者提供了本章知識結構）. 思維導圖能將碎片化的知識網絡化、整體化、單元化，能給學生一種“手中握無限，剎那成永恒”的滿足感和富有感，學生思路自然也就暢通了. 如針對例2繪制思維導圖，將線面平行的證明方法形成脈絡圖，當遇到問題時，腦中提取其五種證明方法，便有了正確快速解題的思路與底氣.

3. 逆向思維“引”思考

學會思考是學生數學學習的命脈，獨立思考、學會思考是學生的終極課題，因此教思考，教會思考，教學生學會思考是數學課堂的靈魂. 其中逆向補償是一種比較好的途徑，它指引學生“知其然”，也“知其所以然”. 淺層來看數學定義、數學公式和數學定理等的正向應用和逆向應用，正向思維一貫比較簡單，但逆用思維卻很難;深層來看，逆向思維能指引學生在課堂中深度思考，如提出一個問題，大部分學生會順著教師的思路解決下去，只有少部分學生會想為什么這么做，為什么要這樣應用已知條件，為何這樣思考成功率會更高. 這部分學生的思維在課堂上真實且深刻地發生了. “教之道在于度，學之道在于悟”，“度”與“悟”都離不開思考，因此教師應當備好一節精彩的課，引導學生深度縱向思考.

總之，只會解答教材例題、習題是遠遠不夠的，教師還要通過習題的分析講解培養學生數學學科核心素養，例題和習題所蘊含的思想方法是學生更應該關注的點，只有抓住思想方法才能抓住解決問題的核心. 通過考試題溯源，促使學生更加重視教材中的例題和習題，養成主動思考并總結問題的習慣，潛移默化地培養數學抽象、直觀想象等核心素養.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 花奎，張曉飛. 解題反思孕“念頭” 回歸教材尋“源頭”：高三解題教學中回歸教材的幾則案例及思考[J]. 數學通報，2021，60（8）：30-34+38.

作者簡介：王一棋（1984—），本科學歷，中學一級教師，廈門市學科帶頭人培養對象，廈門市骨干教師，廈門市數學中心指導組成員. 曾獲廈門市第六屆課堂創新大賽一等獎，廈門市第三屆教學技能大賽二等獎，廈門市數字資源評選一等獎;《第四章 4.1 圓的方程》在第三屆“一師一優課、一課一名師”活動中被評為部級優質課.