基于GeoGebra運用的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

[摘 要] GeoGebra軟件是探究數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)的重要教學(xué)工具.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，平面向量基本定理的探究過程充分體現(xiàn)了GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中的便利性.在發(fā)現(xiàn)和驗證猜想的過程中，注重GeoGebra軟件的多元表征功能和動態(tài)演示功能，能夠深化學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞] GeoGebra軟件;平面向量基本定理;代數(shù)與幾何

GeoGebra軟件的教學(xué)價值

1. 信息技術(shù)對教學(xué)的重要性

隨著教育信息化的發(fā)展，技術(shù)—教學(xué)法—內(nèi)容知識（簡稱TPACK）成為國內(nèi)外教師教育和教育技術(shù)學(xué)研究的一個重要領(lǐng)域. 每一位教師都是教育信息化乃至技術(shù)整合的關(guān)鍵因素，也是教育變革的自主行動者[1]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教師面臨的最大教學(xué)挑戰(zhàn)是平衡學(xué)生心理、教學(xué)用具和信息技術(shù)之間的關(guān)系. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，依據(jù)學(xué)生心理，結(jié)合教學(xué)用具和信息技術(shù)，簡化知識，使其易懂，并讓數(shù)學(xué)知識在學(xué)生腦海中更加生動靈活. 現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件包括幾何畫板、GeoGebra和Mathematica等，它們具有不同的功能和作用.

2. GeoGebra軟件的功能和作用

2001年美國數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter創(chuàng)建了一個GeoGebra項目，并于2008年對其進行軟件化. GeoGebra是自由且跨平臺的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，主要包含幾何（Geometry）和代數(shù)（Algebra）. 該軟件功能強大、開源免費，內(nèi)有代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)（分為平面和3D）、表格區(qū)、概率區(qū)等功能塊，既可簡單地直接書寫數(shù)學(xué)公式，也可在工具、命令、腳本三個層次探究復(fù)雜的數(shù)學(xué)課題. 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，GeoGebra軟件可用于課堂演示、學(xué)生互動、作業(yè)檢查等多個方面. 利用GeoGebra軟件進行數(shù)學(xué)教學(xué)，可優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)形式，豐富師生互動方式，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求，無論是在數(shù)學(xué)課程中，還是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，都需要突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過數(shù)形結(jié)合體會數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，加強對數(shù)學(xué)知識整體性的理解[2]. “平面向量基本定理”教學(xué)可從物理、幾何、代數(shù)三個角度展開，用GeoGebra軟件引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握定理，充分發(fā)揮信息技術(shù)在數(shù)形結(jié)合思想方面的優(yōu)勢.

基于GeoGebra軟件的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象. 在教學(xué)“平面向量及其應(yīng)用”這一章節(jié)時，教師通常按照代數(shù)對象的研究路徑展開，在此過程中通過對向量運算、運算律的幾何意義的研究，以及用于解決幾何問題來體現(xiàn)其幾何屬性[3]. 向量基本定理既是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，也是連接直線、平面、空間的要素.

在“平面向量基本定理”教學(xué)中，如何自然地引入GeoGebra軟件進行輔助，首先要理清這一章節(jié)的整體知識框架（如圖1所示）.可以看出，在“平面向量基本定理”教學(xué)前，探究向量問題主要從幾何角度出發(fā)，抓住向量的大小和方向進行運算;在“平面向量基本定理”教學(xué)后，探究向量問題主要從代數(shù)角度出發(fā)，抓住向量的坐標表示進行運算和研究性質(zhì). 因此，在“平面向量基本定理”教學(xué)中，可以從幾何角度切入，得到代數(shù)結(jié)論.

2. 教學(xué)現(xiàn)狀分析

很多教師對這一課時的教學(xué)并不重視，往往將定理結(jié)果灌輸給學(xué)生，以便盡快進入向量坐標表示的教學(xué). 究其原因如下：第一，教師認為平面向量基本定理不夠重要，其不是考試重點，對其蘊含的數(shù)學(xué)思想的認識不足;第二，定理中“任意向量a”“不共線向量e1，e2”無法動態(tài)呈現(xiàn)，教師只能讓學(xué)生憑借直觀想象，理所當然地接受這一結(jié)論.

面對第一種原因，教師要充分理解平面向量基本定理的重要性，要不斷追問自己：為什么要講解這個定理？為什么被稱為“基本定理”？這一定理的作用是什么？能夠解決什么樣的數(shù)學(xué)問題？教師在課前要深入鉆研教材，確保充足知識儲備進行教學(xué).

面對第二種原因，教師可以借助GeoGebra軟件輔助教學(xué)，利用GeoGebra軟件的動態(tài)演示功能，不僅可以解釋和說明向量a的任意性，還可以解釋和說明基底的任意性.利用GeoGebra軟件，用“形”探究“數(shù)”，用“數(shù)”表達“形”，可以培養(yǎng)學(xué)生多元表征意識和能力，促使學(xué)生深刻理解平面向量基本定理.

3. 教學(xué)過程設(shè)計

（1）新知導(dǎo)入

教材分析 人教A版（2019）教材（下文簡稱教材）首先回顧向量共線定理，強調(diào)向量共線與平面向量基本定理的聯(lián)系，旨在用類比和比較的方法建構(gòu)線性運算，培育學(xué)生基底化意識.在此基礎(chǔ)上，教材利用物理上的“力的合成和分解”提出問題、導(dǎo)入新知：能否通過平行四邊形法則將向量a分解為兩個向量呢？沿用教材這一思路，我們首先回顧向量共線的充要條件，發(fā)現(xiàn)“一個向量無法表示平面內(nèi)所有向量”這一事實，引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題.

問題1 如圖2所示，給出一組共線向量，回答：兩個向量共線的充要條件是什么？

設(shè)計意圖 利用GeoGebra軟件，通過數(shù)形結(jié)合，動態(tài)再現(xiàn)向量共線的充要條件. 向量共線定理實際上是一維向量基本定理，通過“一維”情形的引入，引導(dǎo)學(xué)生直觀開展“二維”情形的探究. 由向量共線的充要條件得出結(jié)論：位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示. 即存在實數(shù)λ，使得v=λu. 由λ構(gòu)建起從u到v的一一對應(yīng)關(guān)系，為后面“二維”情形下基底和坐標的探究做鋪墊. 利用GeoGebra軟件重現(xiàn)向量共線定理（即無論v的模長如何變化，都有一個關(guān)于v的數(shù)乘運算的等式成立），有助于學(xué)生直觀理解向量共線定理.

問題2 假設(shè)平面內(nèi)有一個非零向量u，那么該平面內(nèi)的任意一個向量能否用u表示？如果用一個向量u無法表示，那么至少需要幾個向量？為什么？

設(shè)計意圖 這一問題引導(dǎo)學(xué)生從“一維”向“二維”過渡. 根據(jù)學(xué)生的觀察和想象，很容易得出平面中的任意一個向量無法用單一向量u表示出來.聯(lián)想需要增加的向量個數(shù)，很多學(xué)生初步猜測“用兩個向量可以表示平面內(nèi)的任意一個向量”，但是無法說明理由. 此時可以通過層層詰問，引導(dǎo)學(xué)生思考，得出“只需兩個不共線向量”的猜想.

（2）數(shù)學(xué)探究

教材分析 在驗證猜想的過程中，教材給了一個具體問題：將a按e1，e2的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？隨后給出結(jié)論. 從學(xué)生的認知來看，提出的猜想找不到反例，便理所當然地接受了結(jié)論. 但是，從具體實例出發(fā)得到的結(jié)論未必可靠，對于數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性，必須盡可能給出嚴格的分析論證或一般性說明[4]. 借助GeoGebra軟件，可以實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)中難以實現(xiàn)的動態(tài)演示，這是一個由感性上升至理性的思維過程，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)，使學(xué)生獲得的結(jié)論更加合理可信.

問題3 如圖3所示，固定一對不共線向量e1，e2，現(xiàn)有一向量a，如何用e1，e2表示a？若任意改變向量a，向量a都可以用e1，e2來表示嗎？為什么？

設(shè)計意圖 利用向量相加的平行四邊形法則，可以將a按照e1，e2的方向分解，得到a=+. 再根據(jù)向量共線定理，得到=1.44e1，=1.58e2，從而得到a=1.44e1+1.58e2. 借助幾何直觀，學(xué)生猜想如下：任意改變向量a，都存在實數(shù)λ，λ，使得a=λe1+λe2.如何驗證呢？大部分學(xué)生認為，可以隨機選取幾個目標向量，通過上述分解過程驗證等式. 此時教師要指出，該做法不具普遍性.

在傳統(tǒng)的板書教學(xué)中，為探究a的任意性，可按照不共線向量e1，e2所在的直線將平面分成四個區(qū)域（如圖4所示），對向量a所在的位置分類討論（如圖5所示）：當a位于第Ⅰ區(qū)域時，可直接根據(jù)平行四邊形法則用e1，e2表示向量a;當a位于第Ⅱ區(qū)域時，先找出e2的相反向量-e2，利用e1，-e2表示向量a;同理，當a位于第Ⅲ區(qū)域時，利用-e1，-e2表示向量a;當a位于第Ⅳ區(qū)域時，利用-e1，e2表示向量a. 此外，要考慮向量a在直線上的特殊情況.

可以看出，這一檢驗過程煩瑣，只能選取區(qū)域內(nèi)部分向量分解，無法進行普遍性驗證.但采用GeoGebra軟件，抓住向量的兩大要素（方向和大小），從特殊到一般可對a的任意性進行驗證.

問題4 如圖6所示，固定一對不共線向量e1，e2，現(xiàn)有一向量a，固定a的模長，不妨令a=8. 如何用e1，e2表示a？若任意改變向量a的方向，都可以得到猜想中的等式嗎？為什么？

活動預(yù)設(shè) 固定向量a的起點O，終點軌跡為圓（如圖6所示）. 通過動畫演示可知，不管a的終點落在何處，它都可以用e1，e2線性表示. 因此，我們可以得到結(jié)論：任意模長的向量a，都可以用e1，e2線性表示. 接下來，如何驗證向量模長的任意性呢？

問題5 如圖7所示，固定一對不共線向量e1，e2，現(xiàn)有一向量a，固定a的方向，若任意改變向量a的模長，如何用e1，e2表示a呢？

活動預(yù)設(shè) 作向量a所在直線l，作與a同起點、同方向，模長為8的向量u. 根據(jù)向量共線定理可知，存在實數(shù)λ，使得a=λu. 由問題4的探究可知，對于向量u，必存在實數(shù)λ，λ，使得u=λe1+λe2，于是a=λu=λ（λe1+λe2）=λλe1+λλe2. 令μ=λλ，μ=λλ，由向量a的任意性，可以得到結(jié)論：固定方向的任意向量a，存在實數(shù)μ，μ，使得a=μe1+μe2.

設(shè)計意圖 從具體的目標向量出發(fā)，遷移到模長確定、方向任意的目標向量，再推廣至模長任意、方向任意的目標向量，從而驗證向量a的任意性. GeoGebra軟件使分析論證過程直觀可視，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

問題6 當a是零向量時，如何用e1，e2表示a？當a與e1或e2共線時，如何用e1，e2表示a？

設(shè)計意圖 討論特殊情況，加深學(xué)生對所得結(jié)論的理解. 如圖8所示，若a是零向量，令λ=λ=0，則a=0·e1+0·e2. 如圖9所示，若非零向量a與e1同向，令λ=，λ=0，則a=e1+0·e2. 同理，若非零向量a與e1反向，令λ=-，λ=0，則a=-e1+0·e2.

問題7 對于任意給定的向量a，表示a的向量e1，e2唯一嗎？

活動預(yù)設(shè) 根據(jù)平行四邊形法則可知，表示a的向量e1，e2不唯一. 如圖10所示，已知向量a，以a的起點O為圓心，任意長為半徑作圓. 以O(shè)為起點，任取圓上一點為終點作向量e1. 根據(jù)e1方向和圓O半徑的任意性可知，任意長度、任意方向的e1都有對應(yīng)的e2. 從而驗證表示a的向量e1，e2不唯一.

設(shè)計意圖 在板書教學(xué)中，通常是列舉幾組不同的e1，e2說明表示a的向量e1，e2不止一組，但這并不能證明e1，e2具有任意性. 而利用GeoGebra軟件不僅直觀證明了e1，e2的任意性，還提出了新的問題：當a為任意向量時，e1，e2是否具有限制條件？

問題8 是否任意的兩個向量e1，e2都可以表示平面內(nèi)的任意一個向量a呢？

設(shè)計意圖 在問題2中，學(xué)生已經(jīng)猜想到e1，e2要表示平面內(nèi)的任意一個向量，需滿足e1，e2不共線的條件.這里可以運用反證法進行驗證：若e1，e2共線，根據(jù)向量共線定理可知，e1，e2只能表示與它們共線的向量.

通過上述問題鏈的構(gòu)建，在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，借助GeoGebra軟件，學(xué)生深刻認識到平面向量基本定理中“e1，e2是不共線向量”“任意向量a”“e1，e2選取方式不唯一”等關(guān)鍵內(nèi)容，這為向量基底概念的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.

（3）推理論證

教材分析 存在性、唯一性問題在前面學(xué)習(xí)向量共線定理時已經(jīng)接觸過，所以學(xué)生有解決該問題的基礎(chǔ).教材中從代數(shù)角度出發(fā)，利用反證法證明了唯一性問題. 在教學(xué)中，還可以從幾何角度出發(fā)解釋唯一性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何分析論證能力.

問題9 通過上述探究可知，如果e1，e2是平面內(nèi)的兩個不共線向量，對這一平面內(nèi)的任意一個向量a，存在實數(shù)λ，λ，使得a=λe1+λe2，那么λ，λ唯一嗎？為什么？

設(shè)計意圖 在驗證該問題時，可以分別從代數(shù)角度和幾何角度入手.幾何解釋：從圖形中可以看到，已知向量a，e1，e2的方向和模長，則分向量的方向和模長被確定. 這里，e1，e2確定分向量的方向，λ，λ則確定分向量的模長. 從形的角度用作圖法說明，從數(shù)的角度用反證法或同一法證明，使學(xué)生進一步體會到向量是集數(shù)與形于一身的數(shù)學(xué)概念.

問題10 回到問題2，為什么平面內(nèi)的任意一個向量只需要兩個不共線的非零向量表示即可？如果是三維空間內(nèi)的任意一個向量，又需要幾個向量表示呢？

設(shè)計意圖 直線的定性刻畫：一個非零向量e可以確定一條直線. 引入向量數(shù)乘運算，則直線上的任意向量都可以由e定量表示. 平面的定性刻畫：兩條相交直線確定一個平面.根據(jù)這個刻畫，可以得到“兩個不共線的非零向量e1，e2可以確定一個平面”的性質(zhì)，引入向量數(shù)乘運算和加法運算，則平面內(nèi)的任意一個向量都可以由基底{e1，e2}定量表示. 以此類推，猜想：三個不共面的非零向量可以確定一個空間，空間內(nèi)的任意一個向量都可以由這三個向量定量表示. 這樣可為后面學(xué)習(xí)空間向量的坐標表示打下基礎(chǔ)，深化學(xué)生對向量線性運算的理解.

學(xué)生通過提出猜想、驗證猜想、得出結(jié)論和推廣定理，理解了平面向量基本定理，那么，平面向量基本定理能解決什么問題？基底化對解決向量問題有什么作用？為了加深學(xué)生對平面向量基本定理的理解，教學(xué)中還要選擇恰當?shù)膯栴}，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識.

（4）理解應(yīng)用

根據(jù)課程標準的要求，要解決平面向量問題，需要培養(yǎng)學(xué)生四個意識：①基底化意識;②坐標化意識;③數(shù)量化意識;④幾何化意識[5]. 本節(jié)課通過對平面向量基本定理的探究，學(xué)生掌握了在類比與比較中建構(gòu)線性運算的方法. 在“理解應(yīng)用”這一環(huán)節(jié)，需要加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解，培養(yǎng)學(xué)生基底化意識.

問題11 如圖11所示，，不共線，且=t（t∈R），用，表示.

設(shè)計意圖 本題是教材例題，難度不大. 通過例子中的t∈R可以看到，點P會隨著t的變化而變化;但無論點P如何變化，都可以用不共線的，表示，體現(xiàn)了平面向量基本定理的巧妙之處.

同時，這一結(jié)論實際上是三點共線定理的特殊表達形式. 三點共線定理的基本內(nèi)容是：若平面上=λ+μ（O為平面內(nèi)任意一點），且λ+μ=1，則A，B，C三點共線. 如圖12所示，運用GeoGebra軟件進行動態(tài)演示，可驗證三點共線定理的正確性.

問題12 （2014年高考江蘇卷第12題）如圖13所示，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·的值是______.

解析 從已知條件·=2入手，用未知表示已知，可求出·=22.

設(shè)計意圖 本題充分體現(xiàn)了基底化的作用，考查學(xué)生對基底的選擇.在分析此問時，很多學(xué)生會因為思維定式，將目標·轉(zhuǎn)化為（+）·（+），但由于不知道向量間的夾角而無法繼續(xù)解題. 若將，作為一組基底，利用平面向量基本定理，把與分別用基底線性表示出來，則可以輕松解決該問題.

應(yīng)用GeoGebra軟件的教學(xué)反思

1. GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)探究中的功能體現(xiàn)

（1）注重多元表征功能的運用

數(shù)學(xué)的多元表征是指同一數(shù)學(xué)對象的多種表達形式. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，外在多元表征可分為符號表征、文字表征、圖形表征、動作表征、情境表征. 其中最常用的是符號表征和圖形表征. 在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師容易顧此失彼，很難做到兩者兼顧，使兩種表征方式同時呈現(xiàn). 為解決上述問題，教師可以利用GeoGebra軟件在一個屏幕中同時呈現(xiàn)兩種表征，加強由數(shù)到形、由形到數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生對知識點有更深層次的理解. 在本節(jié)課中，數(shù)學(xué)猜想先通過符號表征呈現(xiàn)，隨后借助GeoGebra軟件將符號表征轉(zhuǎn)化為圖形表征，并且在任意變化向量的過程中，每一個圖形都能得到相關(guān)數(shù)據(jù)，為驗證猜想提供了便利. 教師應(yīng)注重GeoGebra軟件的多元表征功能，幫助學(xué)生建立幾何模型，簡化數(shù)學(xué)運算，提高探究效率，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng).但由于GeoGebra軟件的運用使得運算難度降低，教師要避免這一便利給學(xué)生帶來思維上的惰性.

（2）注重動態(tài)演示功能的運用

動態(tài)演示就是借助教學(xué)工具動態(tài)展示數(shù)學(xué)知識，從而將抽象轉(zhuǎn)化為具體，幫助學(xué)生理解和掌握知識.中學(xué)數(shù)學(xué)的抽象性比較強，如果不借助信息技術(shù)進行動態(tài)演示，學(xué)生便會理解困難，對知識的認識停留在靜態(tài)層面. 例如，在“平面向量基本定理”的傳統(tǒng)教學(xué)中，教師通常取向量a夾在e1，e2之間的情況進行驗證，難以體現(xiàn)向量a的任意性. 但利用GeoGebra軟件的動態(tài)演示功能可實現(xiàn)這一探究過程. 因此，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生認知水平，利用GeoGebra軟件的動態(tài)演示功能，促進學(xué)生直觀感知所學(xué)知識. 另外，要避免教學(xué)停留在動態(tài)演示表面，教師須引導(dǎo)學(xué)生從演示中歸納總結(jié)，提升學(xué)生的歸納推理能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2. GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)猜想中的應(yīng)用思考

（1）利用GeoGebra軟件發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想

教師如何引導(dǎo)學(xué)生猜想是開展教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵. 猜想并非學(xué)生憑空想象或由教師直接提出，而是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗和認知發(fā)展水平，對未知進行合理推測. 教師可借助GeoGebra軟件設(shè)計層層遞進的問題鏈，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有知識無法解決新的問題，從而提出新的猜想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維. 例如，本節(jié)課中，在GeoGebra軟件中輸入指令，學(xué)生觀察到位于同一直線上的向量可由位于這條直線上的一個非零向量表示，但是在平面內(nèi)則不行. 隨后學(xué)生發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)兩個不共線向量可以表示該平面內(nèi)的一個固定向量，此時教師進一步提出問題引導(dǎo)學(xué)生提出猜想. 因此，教師要靈活運用GeoGebra軟件的輔助功能，幫助學(xué)生循序漸進地進行猜想，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生有更加深入的理解.

（2）利用GeoGebra軟件驗證數(shù)學(xué)猜想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，驗證數(shù)學(xué)猜想不是照本宣科，將教材提供的過程重新講解一遍，而是考慮學(xué)生可能的思維方式，抓住猜想的要點進行嚴格的邏輯推理. 特別是對“任意”“所有”等條件的猜想，教師可利用GeoGebra軟件確保驗證過程的嚴密性. 例如，驗證三點共線定理時，傳統(tǒng)教學(xué)通常利用幾個具體例子給出定理內(nèi)容. 這種驗證過程忽視了向量的任意性，使得學(xué)生對這一定理的理解不夠深入.而利用GeoGebra軟件任意改變點C的位置，等式仍然成立，學(xué)生可能會提出疑問：若任意改變點A或點B的位置，等式仍然成立嗎？學(xué)生同樣可以利用GeoGebra軟件分析這個問題，從而更嚴謹?shù)仳炞C猜想. 在驗證猜想的過程中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生借助GeoGebra軟件解決問題，讓學(xué)生有意識地借助現(xiàn)代信息技術(shù)促進學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主思考習(xí)慣和邏輯推理的能力，這是應(yīng)用GeoGebra軟件進行教學(xué)設(shè)計的重要意義.

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[5] 陳志江. 基于“三個理解”的平面向量單元教學(xué)構(gòu)想[J]. 數(shù)學(xué)通報，2019，58（2）：30-33.

基金項目：教育部人文社會科學(xué)研究項目“數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的認知理論分析、測評模型建構(gòu)與教學(xué)實證研究”（22YJA880021）.

作者簡介：高婷（1998—），福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院2022級碩士研究生，研究方向為數(shù)學(xué)教育.

通信作者：李祎（1971—），博士，福建師范大學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授，主要從事數(shù)學(xué)教育研究和教學(xué)工作.