淺談新高考背景下“以生為主”的復習課堂構建

[摘 要] 文章以齊次化教學實錄為例說明如何在高三數學復習課中堅持“以生為主”，引導學生積極參與課堂、反復試錯糾錯、構建知識系統、課后獨立反思，經歷觀察、試錯、類比、歸納、總結的數學思維過程，以此緩解“聽得懂、不會做”的窘境，提升復習課課堂效率.

[關鍵詞] 以生為主;復習課;齊次化

問題提出

高考改革正如火如荼地開展，如何批判性地認識以往的備考經驗，防止其在新高考背景下產生負遷移顯得尤為重要. 傳統高三復習課以教師為主導，將自己多年積累的高考經驗“灌輸”給學生，但外部經驗難以不打折扣地內化為學生的知識結構，最終形成學生“聽得懂、不會做”的窘境.

高考復習不僅僅是對前兩年知識做簡單梳理，還要在學生已有知識體系的基礎上提煉“高階”的思想方法. 限于高一、高二的課時壓力與知識體系構建的完成度，許多高效的解題方法需要在高三復習時傳授給學生，這也符合學生認知螺旋上升的特點. 以齊次化為例，它作為一種運算策略，早在高一處理正切的商數關系時就有滲透，那時叫它“1的妙用”. 2022年新高考Ⅰ卷的解析幾何題更加凸顯了齊次化的重要性，使得應不應教學“二級結論”“特殊方法”再次成為熱議的焦點. 實際上，數學抽象素養的水平三明確要求“能夠理解數學結論的一般性，能夠感悟高度概括、有序多級的數學知識體系”;邏輯推理素養的水平三也明確要求“對于較復雜的數學問題，能夠通過構建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題”[1]. 齊次化就屬于一般數學結論的高度概括，包含許多過渡性命題. 因此，齊次化作為課本外的“舶來品”絕非超綱知識，反而是貫穿高中數學的方法之一.

基于上述分析和思考，筆者借助齊次化在圓錐曲線中的應用實錄，就提升高考復習質量談幾點認識.

教學過程回顧

1. 真題再現，課題引入

引例 （2022年新高考Ⅰ卷第21題節選）已知點A（2，1）在雙曲線C：-=1（a>1）上，直線l交C與P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0. 求l的斜率.

師：相信大家對2022年全國新高考Ⅰ卷的難度有所耳聞，現在我們迎難而上. 這是試卷中的解析幾何題，請大家談談自己的解題思路.

生1：斜率可先用定義表示出來，再相加起來，通過方程聯立、韋達定理求解.

師：符合直覺回答，大部分題目都可以用這種方法來解決. 現在給大家展示一下參考答案. （用PPT展示）

由題可得-=1，解得a2=2，所以雙曲線的方程為-y2=1.

根據題意可知，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+m.

聯立y=kx+m，-y2=1，得（2k2-1）x2+4kmx+2m2+2=0，Δ=-16k2+8m2+8>0，即m2-2k2+1>0. 設P（x，y），Q（x，y），則x+x=

由題可知，k+k=+==0，即（y-1）（x-2）+（y-1）（x-2）=0，整理得2k2+（m+1）k+m-1=0，即（k+1）（2k+m-1）=0，得k=-1或2k+m-1=0.

當2k+m-1=0時，m=1-2k，則直線l的方程為y=kx+1-2k，整理得y-1=k（x-2），過定點（2，1），不符題意，舍去.

綜上所述，直線l的斜率k=-1.

（看到參考答案后，學生驚呼，議論紛紛.）

師：大家為什么會覺得難？

生2：運算量太大了，考試時沒有那么多時間算.

師：確實有相當大的運算量，而且僅僅是第一小題的運算過程. 大家分析過這么復雜的運算是如何產生的嗎？

生3：將韋達定理的式子代入斜率相加的式子，變形化簡的過程很復雜.

師：沒錯，y，y要用直線方程表示為關于x，x的式子，才能將斜率之和整理為可用韋達定理的形式，代入韋達定理的式子后，還要將結果進行因式分解，通過l不過點A求得斜率. 這個過程的本質是將k+k=0轉化為關于xx與x+x的表達式，從而與韋達定理建立聯系. 如果有種方法能夠避免這個轉化過程，就能很大程度上簡化運算. 這節課學習的齊次化就能做到這一點，相信大家掌握后都能輕松地解決這道高考試題.

設計意圖 本節課以高考試題為引例，通過參考答案的展示，讓學生感受到常規方法的復雜運算，順理成章地引出能夠簡化運算的齊次化，從內部激發學生學習新知識的驅動力. 最后點明導致運算復雜的根源是將k+k=0轉化為關于xx與x+x的表達式，而齊次化可以避免這種轉化，為學生理解它的本質做好了鋪墊.

師：我們先通過一道例題來掌握齊次化的運算原理與書寫格式.

例題：已知直線l與拋物線C：y2=4x相交于P，Q兩點，O為坐標原點. 若直線OP與OQ的斜率之和為4，求證直線l過定點.

師：設P（x，y），Q（x，y），如果我們能得到一個關于斜率k的二次方程，而不是關于x的，就能避免復雜的轉化. 如何才能實現這點呢？

（經過短暫的思考）

生4：k=，若y2=4x的兩邊同除以x2，可得k2=.

生5：不對，不能同除以x2，同除以x得到yk=4也不行.

師：沒錯，由于y2=4x中y與x的次數不同，處理成k2=，yk=4都有雙變量，還不能達到斜率k的二次方程的變形目的. 因此，我們的首要目標是使y與x“齊次”. 關注到P，Q是交點，我們往往通過方程聯立來求交點. 同學們能否通過方程聯立使之齊次并得到關于斜率k的二次方程？

（經過一段時間的思考與討論，用希沃白板投影學生的解答過程.）

師：我選了兩位解答寫得比較清楚的同學，請他們來講講思路.

生6：為了使y與x的次數相同，我將直線方程與拋物線方程相乘，這樣y，x都是二次了.

生7：我和他的想法一樣，不過生6直接將兩方程相乘，等號就不成立了. 為了使等號成立要乘上1，即先把直線方程變成1=的形式再乘上去，每項都有了二次，兩邊再同除以x2就可得到關于斜率k的二次方程，最后用韋達定理便可以解決了.

師：兩位同學的想法都很好，聯立的關鍵就是將一次項轉化為二次項以保證各項次數相同，因此稱之為齊次化. 接下來請大家分析我的解答過程. （用PPT投影解答過程）

設直線l：mx+ny=1，P（x，y），Q（x，y）.

聯立mx+ny=1，

y2=4x，得y2=4x（mx+ny）?y2-4nxy-4mx2=0①.

①式兩邊同除以x2得

-4n-4m=0.

k+k=+=4n=4?n=1.

即l：mx+y=1，過定點（0，1）.

生8：直線方程的設立和以前的不一樣，設成mx+ny=1可以直接相乘，不需要變形.

師：非常好，這次聯立過程時使用了一種全新的直線方程，加上此前常用的兩種設法，我們現在有了三種直線方程的設法. 誰能總結它們的使用條件？

生9：y=kx+b在消y方便的時候使用，但不能表示斜率不存在的直線;x=my+n在消x方便的時候使用，但不能表示斜率為0的直線;mx+ny=1在齊次化的時候使用，沒有限制條件.

設計意圖 經歷知識的生長而不是強行灌輸，能有效避免書寫格式的機械記憶，把握齊次化的本質.展示三個不同的解答過程意在使學生經歷觀察、試錯、類比、歸納、總結的數學思維過程，讓學生參與新知識的誕生和發展，積累數學思考的基本經驗.

師：總結得很準確，根據題目設合適的直線方程能簡化運算. 齊次式通過作商得到關于斜率k的二次方程減少了運算，實際上這種方法我們早已接觸過.

（學生沉默思考）

師：比如三角函數的“1的妙用”，通過齊次式找到“切與弦”的轉化關系，如1+sin2α??，還有其他的嗎？

（學生驚嘆，全新的知識原來早就掌握了.）

生10：比如計算圓錐曲線的離心率時，在a2+ac+c2=0齊次的情況下，兩邊同除以a2就能得到關于e的二次方程.

師：很好，大家要理解齊次化的本質是一種計算手段，它用于構造一個以比值為變量的二次方程以簡化運算.

設計意圖 將新概念與學生已有的知識儲備和認知經驗相連接，挖掘齊次式與二次方程的內在聯系，引導學生從三角函數的“1的妙用”、圓錐曲線的離心率的計算中，類比理解齊次化的算理，促使學生知其然且知其所以然.

2. 變式教學，強化理解

變式題1：已知直線l與拋物線C：y2=4x相交于P，Q兩點，O為坐標原點.若直線OP與OQ的斜率之積為4，求證：直線l過定點.

師：將斜率之和改為斜率之積，過程會怎么變呢？

生11：聯立得到的齊次式不變，利用韋達定理得kk=-4m=4?m=-1，直線l：-x+ny=1，過定點（-1，0）.

師：很好，遇到斜率之積或斜率之和為定值的條件，我們就可以嘗試使用齊次化解題. 繼續變式——將原點O改為A，過程又會如何變化？

變式題2：已知直線l與拋物線C：y2=4x相交于P，Q兩點，A（4，4）. 若直線AP與AQ的斜率之和為0，求直線l的斜率.

生12：斜率變為k=，k=，不再是齊次式

-4n-4m=0的根. 斜率之和為定值的類似問題就不能再用韋達定理解決了.

師：沒錯，齊次式是關于的二次方程，兩點中有一個是原點才能使關于的方程與關于斜率的方程等價. 如何才能使變式題2化歸為例題呢？

生13：只要把點A平移到原點就可以.

師：很好，但為了保持斜率的關系不變，平移點A的同時也要平移點P，Q. 平移這三個點，其實就是平移坐標系. 為了與xOy坐標系有所區別，可使用XAY來表示以A為原點的新坐標系，它與xOy坐標系的關系是X=x-4，

Y=y-4，即將xOy坐標系內的A（4，4）代入XAY坐標系得X=0，

Y=0，使A成為原點. 在XAY坐標系中，變式題2化歸為例題. 書寫按照如下格式. （用PPT投影展示）

設以A為原點的坐標系為XAY，則X=x-4，

Y=y-4，即x=X+4，

y=Y+4①，直線l：mX+nY=1.

將①式代入C：y2=4x，得Y2+8Y-4X=0.

聯立Y2+8Y-4X=0，

mX+nY=1，得Y2+8Y（mX+nY）-4X（mX+nY）=0，即（1+8n）Y2+（8m-4n）XY-4mX2=0.

兩邊同除以X2，得（1+8n）+（8m-4n）-4m=0，所以k+k= -=0?2m=n. 故k=-=-.

設計意圖 通過變式設置理解階梯，引導學生由淺入深地分步掌握不同形式的齊次化技巧與書寫格式.規范的書寫格式是應試中的重要一環，實踐中發現將平移后的坐標系設為XAY（A為平移后的原點）更能被學生接受. 變式題1的設置讓學生理解齊次化的使用條件;變式題2的設置讓學生通過化歸思想，將一般問題轉化為以原點為起點的特殊問題.

3. 錯解辨析，主動歸因

師：接下來請大家依照此格式完成引例的第一問.

（經過一段時間的思考與討論，用希沃白板投影學生的解答過程.）

師：我發現大家通過剛才的示范已經能夠順利得到答案了，并且總體框架、解題步驟、符號運用等都是比較規范的，但細節上還存在差異. 我挑選了兩位同學的解答過程，大家比較一下.

生16：生15的坐標軸平移錯了，把點A代入得到的坐標是（4，2）而不是原點，但后面怎么算著算著就對了？生14才是對的.

生17：生14也是錯的，她把x-2，y-1代入雙曲線的方程-y2=1了，應該把X+2，Y+1代進去. 生15的坐標系寫錯了，代入也錯了，錯上加錯反而答案寫對了.

（學生笑，課堂氣氛活躍.）

生15：說不定我這樣寫也對呢？我答案都算出來了.

師：為什么過程明明是錯的，但最終結果卻是對的呢？誰能為大家解惑呢？

（生15的回答出乎意料，筆者順勢拋出問題，引導學生關注易錯點——坐標轉化.）

生18：我好像知道了，因為我自己寫的是對的. 我把他們寫的斜率之和的式子與我的比較了一下，相差一個正負號. 但這題的條件剛好是斜率之和為0，所以最終結果是m=n，得到斜率是-1.

設計意圖 學生在解題實踐中的典型錯誤是最好的糾錯素材，讓學生通過獨立思考完成自我糾錯，充分暴露思維過程. 同時能讓未犯錯的學生汲取教訓，避免常見錯誤的發生，完善個體認知體系.

師：原來如此，答案對但過程不一定對. 生14、生15已經把兩種經典的錯誤展示了出來，我們要注重坐標轉化與書寫格式來避免錯誤的發生. 我們完成了課前的目標，使用齊次化高效地解決了高考試題，現在誰能總結一下這種方法？

生19：看到斜率之積或斜率之和為定值時就可以使用齊次化這種方法.

生20：計算斜率的兩個點中有一個為原點，否則需要平移坐標系.

生21：將直線方程設為mx+ny=1最有利于計算.

師：很好，大家從“使用條件”“一般情況與特殊情況的轉化”“直線的設立”三個方面深度理解了齊次化的使用模型與書寫格式.最后留給大家一道思考題，請在課后獨立完成.

思考題：請用流程框圖的形式展示你所掌握的齊次化解題過程.

設計意圖 將總結的任務交給學生，使其對本節課有整體認識，思維得到升華.思考題讓學生用流程框圖重現齊次化的解題步驟，使其反思自身的解題邏輯是否周密，從而完善學生的知識網絡，鞏固課堂學習成果.（在此展示一份學生的流程框圖，如圖5所示.）

教學思考

1. 激發興趣，積極參與課堂

“若教師不能在學生對學習產生高昂和振奮的心理狀態下就急于授課，此時傳授的知識只會讓學生處于冷漠狀態”.學習新解法的興趣主要源于常規解法的局限性和新方法的高效性. 本節課選取高考試題為問題主線，讓學生在實戰中意識到原有方法的局限性，充分激發他們掌握新方法的熱情，為學生學習奠定“主人翁”精神基礎.

2. 試錯糾錯，認知螺旋上升

復習過程中出錯在所難免，通過反復試錯糾錯完成認知的螺旋hdLRc4R8LXAECtkP67LAVw==上升才能在高考中少犯錯. 本節課通過信息技術展示典型錯誤，引導全班參與試錯糾錯過程. 一方面讓犯錯的學生在自我糾錯的過程中完善自我，避免一錯再錯;另一方面讓未犯錯的學生汲取教訓，避免犯同樣的錯. 教師在糾錯過程中既要給學生充分的空間進行獨立思考，又要扮演好“引導者”的角色[2]，要讓學生成為糾錯主體.

3. 鏈接舊知，建構系統知識

復習課需要建立在學生已有的認知結構上，將已有知識作為養料，生長新的思想方法. 本節課建立在學生已知的韋達聯立的知識基礎上，類比三角函數的“1的妙用”、圓錐曲線的離心率的計算中的齊次化處理技巧，提煉齊次化與韋達定理相聯的應用，引導學生掌握新方法的同時完善知識結構.

4. 總結鞏固，獨立課后反思

在新高考背景下，更應改變“滿堂灌”的舊模式，預留一定時間讓學生進行自我反思與總結. 通過學生的自我審視，對解題過程、方法等內容進行再認識、再學習[3]. 本節課將總結的任務交給學生，通過大家的相互補充，使學生更加完整地認識到齊次化. 課后要求學生通過流程框圖反思自身的解題邏輯是否周密，從而鞏固課堂學習成果.

教育變革如此激烈的當下，我們要在復習過程中打開格局，滲透齊次化等高階思維方法，同時要避免掉入只記形式不懂原理的陷阱. 通過創設開放、平等、以生為主的課堂環境，使學生經歷觀察、試錯、類比、歸納、總結的數學思維過程，最終形成生動又高效的復習課堂.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 曾勤. 談“以生為主”的糾錯教學的設計與思考[J]. 數學教學通訊，2022 （24）：68-70.

[3] 吳春林. 高中數學教學中反思性教學的研究[J]. 數學教學通訊，2022（24）：52-54.

作者簡介：盧象鵬（1996—），教育碩士，中學二級教師，從事數學教育研究工作.