關注知識建構過程積累數學活動經驗

[摘 要] 學生獲得數學活動經驗一般經歷五個階段：初始經驗階段、再生經驗階段、再認經驗階段、經驗概括階段、經驗圖式階段. 文章以數學活動經驗的獲取流程為起點，借助“平面向量”概念教學，分別從情境導入、規范描述、深入探索、實際應用與回顧總結五個方面展開研究，揭露知識構建過程，以及積累數學活動經驗的具體措施.

[關鍵詞] 過程;活動經驗;平面向量

數學活動經驗是指學生在數學學習過程中形成的感知、體驗和感悟等. 隨著新課改的深入推進，當下越來越多的教育工作者發現積累數學活動經驗不僅能促進學生個體的發展，還能有效提升學生的數學學科核心素養. 數學活動經驗的獲取需經歷怎樣的流程呢？如何借助“平面向量”概念教學凸顯數學活動經驗的獲取方式和方法呢？這是本文著重探討的問題.

數學活動經驗的獲取流程

學生獲得數學活動經驗一般經歷五個階段：初始經驗階段、再生經驗階段、再認經驗階段、經驗概括階段、經驗圖式階段. 這些階段由淺入深、逐步深化. 學生的思維隨著數學活動經驗階段水平的提升而螺旋上升，這對培養學生的數學學科核心素養至關重要. 如圖1所示，獲取數學活動經驗基本遵循這樣一個流程[1]. 執教時，教師可結合該流程設計教學活動，以逐步啟發學生思維，提升學生的能力，為學生的數學學科核心素養的形成與發展奠定基礎.

教學分析

1. 學情分析

本節課的授課對象為四星級普通高中學校的高中生，學生的知識基礎較扎實，有較好的運算能力，課堂氛圍較好，學生的思維活躍度不錯. 授課前，學生已經通過物理學科的學習，對矢量有了明確的認識，同時在“三角函數”章節中掌握了有向線段. 這些知識基礎與學習經驗都是本節課的教學基礎. 學生的認知水平較高，擁有較強的類比分析、自主探索與合作交流能力，但在主動方面還需要進一步強化.

2. 設計構想

向量與我們的日常生活密切相關. 在概念教學時，需結合學生的生活經驗，借助豐富的情境來啟發學生思維，引導學生從生活情境如速度、力、位移、指示牌等感知方向，理解向量不僅是數學知識，還有物理背景. 由此為規范描述向量做好鋪墊，并讓學生感知用向量模型處理生活問題的便利. 關注向量知識的建構，結合教學活動經驗，明確研究思路，感知知識的形成與發展，為形成結構化知識體系夯實基礎.

3. 教學目標

（1）借助情境，引導學生學會用數學眼光來觀察現實世界，發現向量的存在，理解并規范描述向量.

（2）引導學生通過類比與聯想，自主提煉特殊到一般、數形結合等思想方法.

（3）引導學生親歷向量的建構流程，提煉數學事物的常規探索路徑與方法，在深度學習中不斷提升學力.

教學實踐

1. 情境導入

師：觀察圖2，若將學校作為參照物，該怎樣描述城市圖書館的具體位置？

生1：城市圖書館在學校的北偏西37°的位置.

師：這么描述是否能找到城市圖書館的確切位置？

生2：不行，這么描述還不夠精確，應指出兩者之間的距離為80千米.

師：由此可知，想要確切地表達一個位置，需提供什么關鍵條件？

生3：需要明確指出距離與方向，這兩個量都不可缺失.

師：不錯！基于這個維度來思考，之前在學習中有沒有涉及其他與長度和方向相關的量？想一想生活中一些不同量之間的差別.

設計意圖 真實的生活情境引導學生體驗數學與生活的聯系，感知課堂學習的知識并非天上掉下來的，而是從生活中抽象而來的. 隨著師生的交流，學生迅速發現這些量的共同點是“既有大小，又有方向”. 這一共同點，即本節課將要研究的知識內容——向量.

2. 規范描述

師：通過以上探索，大家都明確了“既有大小，又有方向”的量為“向量”. 究竟該如何規范描述向量呢？

生4：根據學習經驗，可考慮用實數刻畫向量的大小，用字母a，b，c，…，或用數軸進行描述.

師：那么向量能否像實數一樣，借助代數與幾何兩種模式進行描述呢？或在實數的基礎上添加方向？

設計意圖 數學是一門嚴謹的學科. 雖然數學知識源于生活，但要用規范的數學語言進行描述. 學生將文字轉化為數學符號，這是理解數學概念的關鍵. 學生可結合生活經驗和學習經驗，發現向量規范的表示法，這不僅有助于構建完整的數學知識結構，還能促進思維和學力的提升.

3. 深入探索

師：對于大家來說，向量是一個新事物，能否結合所學知識進行研究呢？

生5：或許可將“實數”作為探索起點.

師：這是個不錯的提議，大家還記得探索實數的基本流程嗎？

生6：以“0，1”為起點，逐步推廣. 從單個實數的探索逐漸發展到實數間關系的探索（相反、相等），而后研究實數四則運算，最后形成實數體系.

師：描述得很完整. 參照實數的探索，向量的探索起點在何處？

生7：根據特殊到一般數學思想，我認為應該先探索特殊向量，再推廣至一般向量.

師：什么是特殊向量？

生8：向量與實數的最大區別是它有方向，因此，特殊向量的特殊點不僅在于大小，也在于方向.

師：以為例，該向量的起點與終點之間的線段的長度稱為向量的模，記作. 根據這個概念，請大家思考哪些向量屬于特殊向量，并舉例說明.

在問題的引導下，學生首先想到實數中的特殊值0和1，列舉出長度分別為0和1的向量. 為讓學生感知零向量與單位向量，教師特地在黑板上畫出不同方向的向量，要求學生描述它們的方向并思考其是否為單位向量.

隨著師生互動的深入，學生提出“可以改變”“不確定”“可指定”等關鍵詞. 為了進一步深化學生對特殊向量的認識，教師要求學生站起來，根據自己的指令原地旋轉，由此揭露“零向量為沒有發生位移的向量，其方向具有任意性”.

設計意圖 知識源于生活，引導學生從認知經驗出發探尋新知，遵循循序漸進的原則. 循循善誘的點撥不僅能喚起學生的學習經驗，還能促使學生自主構建新知，這是核心素養教育理念下數學概念教學的關鍵. 此設計不僅強化學生的經驗基礎，還滲透類比、特殊到一般等數學思想方法，是挖掘學生學習潛能、培養學生數學學科核心素養的載體.

師：如圖3所示，已知ABCDEF為正六邊形，O為其中心點，分析，，之間的關系.

生9：這三個向量互為平行關系.

師：如何定義平行向量呢？

學生以合作交流的方式，共同商討平行向量的概念，教師適當加以點撥，最后板書結論，特別強調零向量不可忽略.

師：如圖4所示，已知ABCDEF為正六邊形，O為其中心點，向量，，，，之間存在怎樣的關系？

生10：這五個向量之間存在平行、相反與相等的關系.

設計意圖 向量章節內容復雜，與實數緊密相關. 若缺乏生活經驗，則學生易受思維定式的影響，難以拓展思維. 反之，借助多媒體展示圖形，引導學生結合生活經驗與認知水平來探索向量的相關概念，不僅能激發學生的學習興趣，還能將學生變成真正的探索者，促使學生在類比中尋找新的突破點，順利建構新知[2].

4. 實際應用

例1 判斷下列說法是否正確：①向量與其相反的向量必定不等;②因為a∥b，且b∥c，所以a∥c;③兩個向量相等或相反，都能判斷這兩個向量為平行向量;④如果兩個單位向量互為平行關系，那么這兩個單位向量必定相等;⑤若ABCD為平行四邊形，則=.

例2 圖5為一張方格紙，其中存在向量，請嘗試以格點為向量的起點與終點，根據以下要求繪制向量：①與相等的向量;②與相等（不含）的共線向量.

設計意圖 例1旨在提升學生對向量概念的辨析能力，鞏固學生的知識體系，為應用打基礎;例2的向量繪制則加強學生的新知應用能力，既發展學生的學力，又幫助學生積累數學活動經驗.

5. 回顧總結

師：請大家回顧本節課對向量的探索歷程，嘗試用導圖來描述基本研究思路.

各小組學生合作討論，教師投影展示清晰圖示，幫助學生梳理探索向量的基本方法，形成良好的活動經驗.

課堂尾聲，教師展示圖6，指出小明今天的行走路線為A→B→C→D，要求學生從數學的維度說一說自己的想法.

設計意圖 課堂總結是對知識、思想方法、探索流程的梳理，思維導圖的應用可強化學生的綱領意識，培育學生的結構化思維，幫助學生更好地積累活動經驗. 鼓勵學生課后探究開放性問題，與導入情境相呼應，能激發學生的探索興趣，為下節課的教學留下懸念.

思考與感悟

在新課標下，關注知識建構和積累數學活動經驗是數學課堂教學的基本措施，旨在培養學生數學學科核心素養. 學生獲得數學活動經驗一般經歷五個階段：初始經驗階段、再生經驗階段、再認經驗階段、經驗概括階段、經驗圖式階段. 這五個階段唇齒相依、相輔相成.

課堂“情境導入”環節激發學生原初經驗，隨后“規范描述”啟發學生的“再生經驗”，引導學生深入探索，并進入“再認經驗”狀態. 通過“實際應用”活動，學生提煉并概括經驗，深化對向量知識的理解. 最后，“回顧總結”不僅梳理知識，還促使學生自主提煉研究方法，獲得經驗圖式.

總之，在“素養立意”的導向下，課堂教學更注重學力發展. 關注知識形成過程，積累數學活動經驗是關鍵. 因此，教師應重視數學材料的邏輯化，明確課堂教學主題及其重要性，以及探索方法，為學生積累數學活動經驗奠定基礎.

參考文獻：

[1] 向立政，皮冬林. 數學活動經驗的獲得：例探其基本過程、水平層次和主要表征[J]. 中國數學教育，2017（9）：2-5+11.

[2] 雷成才，盛俊. 利用活動經驗 還原建構過程：“平面向量的概念及表示”教學實錄與反思[J]. 高中數學教與學，2020（10）：22-24+21.

作者簡介：王曉煒（1984—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲蘇州市評課選優二等獎，蘇州市吳中區學科帶頭人.