基于內容本質的教學路徑的探索

[摘 要] 數學學科層次分明，新知建立在舊知之上. 探索教學路徑時，需關注學生已有的認知結構. 文章以“三角函數的概念”教學為例，在充分理解教學內容本質特征與學生實際認知水平的基礎上，分別從“舊知回顧，啟發思維”“以問促思，探索性質”“練習訓練，深化理解”“知識拓展，提煉總結”四個維度展開研究.

[關鍵詞] 內容本質;教學路徑;三角函數

隨著新課改的深入推進，如今的高中數學教學從注重“知識立意”轉化為注重“能力立意”，通過學科教學培養學生核心素養已成為大家的共識. 探索發現，基于內容本質的教學可有效提升學生的數學運算、數學抽象、數學建模、直觀想象等素養，這些素養是高中數學學科核心素養的要素. 究竟何為本質？如何把握教學內容本質？筆者以“三角函數的概念”教學為例，展開具體研究.

內容本質的概述

生活中的萬物均包含外在現象與內在本質兩個層面，其中現象體現的是事物外部聯系，學習者通過感官即能完全感知到它的存在;而內在本質則為事物的內在關系，屬于現象深層次的結構，本質決定事物的走向，學習者需要擁有良好的數學思維才能從真正意義上把握住數學本質[1]. 因此，數學教學就是由表及里、去偽求真的過程，學生的思維在此過程中可實現“現象到本質”的轉化.

教學分析

“三角函數的概念（第2課時）”教學常以單位圓為起點，即結合單位圓上點的坐標定義三角函數，并揭露其周期性等. 研究發現，揭露圓的對稱性是探索三角函數概念的核心. 本節課的重心在于教師帶領學生通過探索揭露內容本質，實現教學相長的同時為學生后續探索更多的誘導公式夯實基礎.

從研究對象來看，本節課重點探索三角函數的周期性，并通過建立函數周期性對其中所蘊含的變量關系進行描述，以揭露知識本質. 關于教學內容本質的探索，可引導學生結合函數定義挖掘三角函數的符號規律，難度較小，可讓學生自主完成. 函數值重復出現是誘導公式一的本質特征，大部分學生根據定義即可獲得.

基于以上分析，確定本節課的教學重點在于引導學生朝向既定目標去思考. 因此，課堂上教師可帶領學生從研究方法著手，借助一些問題啟發學生思維，幫助學生探尋相應的研究路徑. 為了揭露本節課教學內容的本質，教師可遵循以下路徑實施教學：確定探索內容—分析對應關系的特點—抽象概念—揭露性質.

教學過程簡錄

1. 舊知回顧，啟發思維

問題1 借助多媒體展示三組三角函數，要求學生從三角函數的定義出發，對每一組三角函數值進行大小比較（具體問題略）.

問題2 已知α為一個銳角，請用單位圓來證明sinα+cosα>1.

問題3 若點P（3a，4a）（a≠0）為角α終邊上的一點，則sinα，cosα，tanα的值分別是多少？

設計意圖 這組問題旨在測試學生對三角函數定義的理解和應用，引導學生思考并感悟三角函數值的符號，為接下來探索三角函數的性質做鋪墊. 學生反饋顯示，舊知回顧啟UmXx90aJEAHC9JZVcJDfKw==發了他們的思維. 基于自身經驗，學生探索這三個問題，展現了獨特智慧，使課堂充滿了活力.

2. 以問促思，探索性質

師：在之前的課程中，大家已了解三角函數的定義，結合之前的探索習慣與經驗，你們覺得接下來該探索三角函數的哪些內容？

結合原有的探索習慣與經驗，大部分學生快速想到探索三角函數的圖象與定義域，很少有學生想到通過單位圓來挖掘三角函數的性質. 想要在此環節有所突破，教師可設問誘導學生思維.

問題4 能否借助已有的認知經驗來填寫表1？

設計意圖 用填表的方式協助學生感受三角函數的特性，旨在引導學生聯想到用單位圓探索其性質. 因此，這是為學生思維定向的設計，承上啟下，激活學生的思維，引領他們進入深度探索.

問題5 明確三角函數的定義域后，接下來探索什么內容呢？

設計意圖 此問依據學生的認知結構和經驗設計，多數學生會迅速對后續探索內容做出反應.

問題6 根據任意角終邊與單位圓的交點的位置（象限），以及三角函數定義，將正弦、余弦、正切函數值在各象限的符號填入圖1中的括號，同時用集合描述相應規律.

設計意圖 將三角函數值在各個象限的符號填入圖1中的括號，促使學生從單位圓的視角發現三角函數的特殊性，為揭露誘導公式一夯實基礎. 要求學生用集合描述相應規律，意在幫助學生鞏固終邊相同的角和象限角的集合表達方法，這是提高學生符號意識的過程.

3. 練習訓練，深化理解

練習1 判斷下列說法是否正確.

（1）若三角形的一個內角為α，則sinα必然大于0.

（2）如果sinα>0，就能確定角α處于第一或第三象限.

（3）關于任意角α，其正弦值、余弦值、正切值均有實際意義.

練習2 已知sinα<0，tanα>0，那么角α處于第______象限.

練習3 證明sinβ<0，

tanβ>0是角β位于第三象限的充要條件.

練習4 快速說出下列三角函數值的符號：①sin-;②cos255°;③tan5π;④tan（-675°）.

設計意圖 從學生已有的認知水平出發，鼓勵學生應用課堂所構成的新知來分析與解決問題，不僅能強化學生對三角函數的理解，還能促進學生進一步認識角的終邊位于坐標軸上時的取值規律，進而全面認識三角函數. 練習3引導學生基于不等式組進行思考，以培養學生的數學抽象能力與邏輯推理能力.練習4旨在檢驗學生對三角函數的掌握與應用情況.

在師生雙邊互動下，通過上述四個練習提煉出兩個結論：①如果確定一個角的終邊所處的象限，就能根據這個條件確定各三角函數值的符號;②如果明確一個角的正弦值、余弦值和正切值中的任意兩個值的符號，那么可據此分析出這個角的終邊所在的位置.

問題7 還有哪些特殊情況值得我們去探索與分析呢？

問題8 通過上述探索，大家能說出三角函數取值相等的條件嗎？

設計意圖 問題7與問題8意在引導學生將視線從探索三角函數特性轉向研究三角函數取值相等、相反，以及三角函數間的關系，進一步深化學生對三角函數的認識. 此處，教師要求學生用自己的語言對三角函數的取值規律展開闡述. 例如，分析圓的特性，讓學生討論誘導公式一的作用，促使學生進一步體會利用單位圓的周期性，將任意角的三角函數轉化成“0～2π”角的三角函數. 這在一定意義上縮小了學生探索三角函數定義域的范疇.

接下來，教師與學生繼續探討幾個典型練習，如提供幾個式子，要求學生用誘導公式一判斷正誤，以引發學生對其他性質的聯想;提供一些三角函數，要求學生用誘導公式一判斷其符號，并用計算器對自己的判斷進行驗證……多個練習的提出，旨在深化學生對誘導公式一的認識.

隨著探索的深入，學生一致認為，關于三角函數求值問題的解決需要經歷以下流程：定形→轉化→求值（如圖2所示）.

設計意圖 練習深入為學生搭建了廣闊的思維平臺，通過問題解決，學生對三角函數求值流程有了更深刻的認識. 這種循序漸進提煉知識結構、發展數學思維的過程是幫助學生知識結構化和培育學生數學學科核心素養的基礎和重要途徑.

4. 知識拓展，提煉總結

為了更好地揭露內容本質，教師在此環節設計了以下問題串以引發學生思考.

問題串1：通過對誘導公式一的探索，明確了終邊相同的角的同一三角函數值相等，那么，終邊具有對稱關系的角的同一三角函數值存在什么關系呢？

問題串2：探索發現三個三角函數值均與角的終邊和單位圓交點相關，這里面是否存在什么聯系？

問題串3：你們覺得三角函數的性質可從哪些方面著手探索？

設計意圖 問題串的提出，意在進一步幫助學生鞏固內容本質，深化學生對三角函數的理解，為提煉其他誘導公式夯實基礎，也為發展學生的數學探索精神做鋪墊.

幾點思考

1. 關注教學導向，揭露知識本質

研究三角函數的性質是本節課教學的重中之重. 想要從真正意義上揭露知識本質，讓學生掌握核心知識與關鍵能力，并在研究過程中自主形成良好的探究意識，教師在教學設計時就需著重關注教學導向，避免應用“注入式”教學模式導致學生機械地被動接受知識[2]. 在本節課中，教師以三角函數的概念作為學生思維起點，引導學生逐漸發現并獲得三角函數的性質. 隨著由淺入深的問題串的應用，學生思維有了明確的方向，內容本質也在逐層遞進的探索中浮出了水面.

2. 注重教學生成，促進“四能”發展

在教學中，教師重視知識生成，促使學生從真正意義上領略內容本質，獲得探索路徑. 如引入環節中的舊知回顧，教師用三個問揭露了單位圓的重要性，深化了學生對三角函數的理解，為本節課教學夯實了基礎. 值得注意的是，當教師提出問題后，為學生留下了充足的探索空間和時間，以激發學生的潛能，提升學生的“四能”.

3. 緊跟時代步伐，實現教學相長

隨著新課改浪潮的推進，教師應充分認識到當前的數學教學以發展學生數學學科核心素養為目標，以立德樹人為根本的教學任務. 因此，教師要與時俱進，不斷更新教育教學理念，提高課堂教學效率與育人職能，實現教學相長. 如概念教學要將學生的抽象素養、應用意識的提升作為基本目標，通過各種教學手段促使學生基于認知水平挖掘潛能，構建新知，提升學力.

總之，基于內容本質的教學路徑的探索任重而道遠，設計恰當有效的問題可為學生搭建思維“腳手架”，促進學生各項能力與素養的發展. 教師應從知識本質與學情特征出發，設計好每一個教學過程，強調知識的產生與發展，促進學生在課堂中顯著進步.

參考文獻：

[1] 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格. 追求理解的教學設計[M]. 閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯. 上海：華東師范大學出版社，2017.

[2] 明蕾. “問題串”串起數學概念教學的探索路徑：以“三角函數的概念”（第2課時）為例[J]. 中國數學教育，2023（20）：46-49.

作者簡介：黃斌（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作，曾獲九龍坡區中青年骨干教師稱號.