基于整體思考推進(jìn)章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)

[摘 要] 基于整體思考設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)教學(xué)是落實(shí)新課標(biāo)要求的途徑之一. “函數(shù)的性質(zhì)”是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)內(nèi)容，其復(fù)習(xí)教學(xué)，先基于整體視域分析現(xiàn)狀，再從“口述解題方法，揭露關(guān)鍵因素”“整理思維導(dǎo)圖，突破滯化思維”“加強(qiáng)練習(xí)訓(xùn)練，提煉數(shù)學(xué)思想”“注重建模感悟，發(fā)散數(shù)學(xué)思維”四個(gè)維度展開.

[關(guān)鍵詞] 整體思考;函數(shù)的性質(zhì);復(fù)習(xí)教學(xué)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)大多以課時(shí)為基本單位設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，這種模式導(dǎo)致學(xué)生難以構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)，遇到綜合性問題時(shí)常捉襟見肘. 因此，單元整體教學(xué)、結(jié)構(gòu)化教學(xué)等新教學(xué)模式備受大家關(guān)注. 它們主要從宏觀角度組織復(fù)習(xí)素材、內(nèi)容和資源，以推動(dòng)復(fù)習(xí)教學(xué)整體發(fā)展. 此處的“整體”并不是說內(nèi)容聚集得越多越好，而是根據(jù)新課標(biāo)要求與素養(yǎng)目標(biāo)迭代累計(jì)的有意義的思維體系[1].

基于整體思考現(xiàn)狀

1. 一再出現(xiàn)相同的錯(cuò)誤

當(dāng)前不少高中復(fù)習(xí)課仍以“教師講授，學(xué)生聽講與模仿”的模式為主. 這種模式下的復(fù)習(xí)教學(xué)，學(xué)生在課堂上依葫蘆畫瓢，看似聽懂了，也能糾正原本存在的錯(cuò)誤思維，會(huì)自主解決一些問題，但當(dāng)問題發(fā)生變化后，學(xué)生依然會(huì)不由自主地運(yùn)用根深蒂固的錯(cuò)誤思維去解決問題[2]. 出現(xiàn)這種情況的根本原因在于教師無視學(xué)生的錯(cuò)誤根源. 事實(shí)上，一味地灌輸正確的解題方法，并不能讓學(xué)生從根本上轉(zhuǎn)變觀念，致使同一個(gè)錯(cuò)誤多次重復(fù)發(fā)生. 想要突破此現(xiàn)象，最佳措施是為學(xué)生提供溯源機(jī)會(huì)，讓他們自主辨析、反思問題，找出錯(cuò)誤根源，防止重蹈覆轍.

2. 解題時(shí)思維停滯不前

學(xué)生初學(xué)函數(shù)的性質(zhì)知識時(shí)容易理解，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)卻常遇困難，究其主要原因在于學(xué)生對知識重點(diǎn)與難點(diǎn)的認(rèn)識不足，遇到挑戰(zhàn)性綜合問題時(shí)思維受阻，停滯不前. 基于整體角度思考，教師若將函數(shù)性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)知識融合，則能幫助學(xué)生突破思維障礙，解決更多復(fù)雜問題.

3. 無法理解問題本質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)問題較抽象，對學(xué)生思維要求高. 若學(xué)生未理解問題本質(zhì)，又缺乏解題經(jīng)驗(yàn)與思想方法，解題時(shí)將遇到重大困難. 若從整體視角推進(jìn)章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)，則可促使學(xué)生基于“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化的維度理解知識本質(zhì)，為解決問題夯實(shí)基礎(chǔ).

教學(xué)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》關(guān)于“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的教學(xué)要求為：幫助學(xué)生通過學(xué)習(xí)理解概念，建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu);幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究函數(shù)的性質(zhì);幫助學(xué)生通過學(xué)習(xí)建構(gòu)函數(shù)模型;基于整體思考的維度發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 復(fù)習(xí)教學(xué)旨在通過活動(dòng)喚醒學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的記憶，完善學(xué)生的知識體系，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維，并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等素養(yǎng).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 口述解題方法，揭露關(guān)鍵因素

疑是思之始，學(xué)之端. 將心中的疑慮用語言表達(dá)出來，就是將思維暴露在大家面前的過程. 復(fù)習(xí)時(shí)，通過探尋解題依據(jù)，反思解題過程，學(xué)生不僅能自主獲得解題思路，還能逐漸領(lǐng)略解題方法的科學(xué)合理性，同時(shí)由復(fù)習(xí)內(nèi)容與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的沖突，激發(fā)深入探索的動(dòng)力，發(fā)展發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的能力，有效避免同類錯(cuò)誤的再次發(fā)生. 關(guān)于口述解題方法，揭露關(guān)鍵因素，可從如下兩個(gè)方面著手.

（1）解題依據(jù)的探尋

解題錯(cuò)誤激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑和思考，是生成“疑”的關(guān)鍵因素之一. 反思解題過程，深入探索，并以規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述，利于學(xué)生思維碰撞和交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的同時(shí)，提升學(xué)生語言表達(dá)能力，促使學(xué)生更深層次地理解知識本質(zhì)，提煉解題方法. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，基于“以生為本”的交流，可實(shí)現(xiàn)師生互補(bǔ)，教學(xué)相長.

例1 已知f（x）=2sin2x+，且x∈0，，該函數(shù)的最大值是多少？

從解題表面來看，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤源于對f（x）=Asin（ωx+φ）的相關(guān)知識的掌握不牢固. 但從整體角度來分析，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因在于對函數(shù)的單調(diào)性的認(rèn)識不充分，無法靈活運(yùn)用此知識輔助解決函數(shù)最值問題. 為了突破學(xué)生思維障礙，教師引導(dǎo)如下：

師：請大家嘗試在最短時(shí)間內(nèi)繪制函數(shù)f（x）=2sin2x+，x∈0，的圖象，同桌交流具體的畫圖過程.

一些學(xué)生應(yīng)用代入端點(diǎn)法分析最值，但是對于具體的依據(jù)無法描述. 關(guān)于這一現(xiàn)象，教師引導(dǎo)如下：函數(shù)的最小值如何求？最大值呢？在這個(gè)問題的啟發(fā)下，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)可從函數(shù)單調(diào)性的角度來分析最值問題.

學(xué)生通過分析與反思解題步驟，明確解題依據(jù)，確保每一步都有理有據(jù)，由此深刻理解知識，發(fā)展思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性，形成邏輯推理能力與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）錯(cuò)誤根源的探尋

面對錯(cuò)題，教師鼓勵(lì)學(xué)生描述錯(cuò)誤原因. 描述時(shí)，教師要求學(xué)生將任務(wù)作為根本，通過交流的方式陳述心中所感、所想. 教師不要在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)就立即指正，而應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生通過理解去探尋錯(cuò)誤的根源，挖掘錯(cuò)誤形成的核心因素，在追根溯源、辨析與反思的基礎(chǔ)上糾錯(cuò).

關(guān)于例1的解題過程，應(yīng)用端點(diǎn)代入法解決問題的錯(cuò)誤根源在于沒有想到“用單調(diào)性求最值”的方法. 教學(xué)時(shí)，教師可根據(jù)這一錯(cuò)誤根源引發(fā)學(xué)生思辨，鼓勵(lì)學(xué)生自主闡述錯(cuò)誤原因，并調(diào)整解題方法，建構(gòu)用單調(diào)性求最值的基本模型.

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生勇敢表達(dá)，暴露想法，可提高學(xué)生思維碰撞效果，使課堂充滿活力和智慧，是從整體思考的維度推進(jìn)復(fù)習(xí)教學(xué)的重要措施.

2. 整理思維導(dǎo)圖，突破滯化思維

以整體思考推進(jìn)復(fù)習(xí)教學(xué)，首先要對教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)有一個(gè)明確認(rèn)識. 本節(jié)課復(fù)習(xí)內(nèi)容多、跨度大，學(xué)生只有厘清知識點(diǎn)間的上下位關(guān)系，明確知識結(jié)構(gòu)，才能構(gòu)建清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，為解題奠定基礎(chǔ). 學(xué)生通過自主整理、繪制思維導(dǎo)圖將知識脈絡(luò)呈現(xiàn)出來，能更好地厘清知識間的關(guān)系，此為突破思維障礙的重要方法，也是提高學(xué)習(xí)效率，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要途徑.

例2 已知函數(shù)f（x）=alnx+，a≠0，g（x）=（x-2）ex--x.

（1）f（x）的單調(diào)區(qū)間是什么？

（2）若a=1，且對任意x∈（0，1]，f（x）+g（x）<n恒成立，則n（n∈Z）的最小值是多少？

課堂上，教師可借助此例帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧求導(dǎo)法則與公式，引導(dǎo)學(xué)生從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，分析問題涉及的知識點(diǎn)，為準(zhǔn)確羅列與整理知識體系夯實(shí)基礎(chǔ).

部分學(xué)生雖然能列出相應(yīng)公式，但不會(huì)應(yīng)用公式來解決實(shí)際問題，即解題時(shí)出現(xiàn)思維受阻的現(xiàn)象. 其原因在于這部分學(xué)生缺乏良好的推理能力，無法探尋解題方法. 想要解決這個(gè)問題，最好的辦法就是引導(dǎo)他們用思維導(dǎo)圖整理知識點(diǎn)，探尋各知識點(diǎn)之間的關(guān)系，為解題明確方向.

對于例2，部分學(xué)生因無法畫出函數(shù)f（x）+g（x）=lnx-x+（x-2）ex的圖象，導(dǎo)致解題失敗. 即使從函數(shù)解析式著手，也無法通過變形將問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的內(nèi)容. 基于此，部分學(xué)生選擇了求導(dǎo)法，即令F（x）=lnx-x+（x-2）ex，求導(dǎo)得F′（x）=（x-2）ex+ex+-1，即F′（x）=（x-1）ex-，令F′（x）=0. 此時(shí)，部分學(xué)生思維卡殼在解方程ex=上（部分學(xué)生因求導(dǎo)過程復(fù)雜而選擇放棄）.

既然已明確了問題根源，那么就有針對性地去突破. 師生通過互動(dòng)與交流，繪制出如圖1所示的思維導(dǎo)圖，將問題涉及的知識點(diǎn)及其內(nèi)在聯(lián)系展示出來，為解題提供了明確依據(jù).

顯然，知識框架的搭建可啟發(fā)學(xué)生思維，明確問題解決方向，對提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象能力具有重要價(jià)值.

3. 加強(qiáng)練習(xí)訓(xùn)練，提煉數(shù)學(xué)思想

思維導(dǎo)圖的構(gòu)建，讓解題思路變得更加明朗. 在日常教學(xué)中，教師還可指導(dǎo)學(xué)生梳理函數(shù)的要素與性質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生自主整理知識點(diǎn)，理清聯(lián)系，從而提高學(xué)生識別函數(shù)結(jié)構(gòu)的能力. 解題思路研究可從數(shù)學(xué)思想方法入手，如數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，有效支撐學(xué)力提升.

例3 函數(shù)f（x）=的取值范圍是什么？

部分學(xué)生對利用單調(diào)性求最值的方法不熟悉，導(dǎo)致解題受阻. 本題可通過換元法轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的內(nèi)容，即令t=ex（t>0），則y=，即y==+1，通過等式結(jié)構(gòu)的靈活轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)解題.

縱然函數(shù)表達(dá)式多樣，但學(xué)生一旦掌握了核心知識與基本思想方法，解題就毫無難度可言. 對于學(xué)生思維的障礙點(diǎn)，究竟該如何引導(dǎo)呢？探索發(fā)現(xiàn)，基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)問題，可促使學(xué)生自主提煉數(shù)學(xué)思想方法，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

4. 注重建模感悟，發(fā)散數(shù)學(xué)思維

縱觀近些年的高考試題，基本能在經(jīng)典例題中發(fā)現(xiàn)它們的身影. 因此，復(fù)習(xí)教學(xué)需要重視學(xué)生的“悟”，通過典型例題引導(dǎo)學(xué)生探索分析，拓展思維，提升舉一反三的能力.

例4 若x，y滿足2x+y-1=0（x，y為正數(shù)），則+的最小值是多少？

變式題：倘若x+2y-2=0，且x>;y>0，求+的最小值.

例4為經(jīng)典例題，學(xué)生多能自行解決. 但探索變式題時(shí)，部分學(xué)生在構(gòu)建基本不等式條件上遇到了困難. 此時(shí)可應(yīng)用換元法，令m=x-y，n=5y+x，得x=，y=，x+2y=（m+n）=2，化簡得m+n=4. 這樣將變式題轉(zhuǎn)化為同類例題，解題思路變得清晰明了.

變式題乃例題之拓展，兩個(gè)問題的本質(zhì)均為“積定和最小”. 本題探索旨在強(qiáng)化學(xué)生對該知識的理解，以便日后遇到同類問題時(shí)，能憑借解題經(jīng)驗(yàn)從整體角度順利求解.

實(shí)踐感悟

基于整體思考推進(jìn)章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)，關(guān)鍵在于充分理解新課標(biāo)的要求和學(xué)生的實(shí)際問題，并據(jù)此采取針對性的措施. 設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)教學(xué)除考慮單元整體外，還要基于知識本質(zhì)與結(jié)構(gòu)體系展開，同時(shí)注重新課標(biāo)的導(dǎo)向作用. 如本節(jié)課，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)維度引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟代數(shù)運(yùn)算與函數(shù)圖象的對應(yīng)關(guān)系，為揭露函數(shù)性質(zhì)服務(wù). 同時(shí)，基于整體思考推進(jìn)復(fù)習(xí)教學(xué)，數(shù)學(xué)思想方法至關(guān)重要，有助于學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展.

總之，新課標(biāo)下，復(fù)習(xí)教學(xué)需從單元整體出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在課堂中領(lǐng)略知識本質(zhì)，感知數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建完整的知識體系，形成結(jié)構(gòu)化思維，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉徽. 大概念教學(xué)：素養(yǎng)導(dǎo)向的單元整體設(shè)計(jì)[M]. 北京：教育科學(xué)出版社，2022.

[2] 曹才翰，蔡金法.數(shù)學(xué)教育學(xué)概論[M]. 南京：江蘇教育出版社，1989.

作者簡介：文慧（1985—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.