概念教學中發展數學學科核心素養的實踐與研究

[摘 要] 概念是數學的細胞，是學生思維的起點. 研究者以“數系的擴充和復數的概念”教學為例，從教學分析、教學實踐與教學思考三個維度具體談一談設計理念與一些感悟. 教學實踐主要從如下幾方面展開：創設情境，引發認知沖突;合作探究，重溫概念發展;借鑒史料，自主構建新知;應用概念，鞏固提升理解;總結歸納，促進概念升華.

[關鍵詞] 概念;核心素養;復數

數學是由概念、命題等經推理而形成的邏輯體系. 其中，概念反映了數學事物的特征與本質屬性，體現的是現實世界的數量關系與空間形式，它在數學學科中占有重要地位. 但一些教師在實施概念教學時，常采用“一個定義和幾個注意事項”去完成，導致學生應用概念時問題百出.

對于數學學科核心素養背景下的概念教學，究竟該如何實施呢？筆者對此進行了大量研究，現以“數系的擴充和復數的概念”教學為例，談一談設計理念與一些感悟.

教學分析

“數系的擴充與復數的概念”是高中階段重要的基礎知識之一. 其中數系的擴充看似簡單，但對學生后續學習有著深遠的影響. 有些教師在此處常常忽略其作用，直接將概念呈現給學生，導致學生無法感知數系的擴充源于生活實際需要，以及數學內部的矛盾，更無法借助概念的學習促進理性思維與數學學科核心素養的發展.

基于以上分析，筆者在執教本節課時進行了大量思考與研究，力求通過與學生的積極互動，以及數學史料的應用，拓寬學生的數學視野，讓學生對數系的擴充產生別樣的情感，為學生后續學習奠定基礎.

教學實踐

1. 創設情境，引發認知沖突

課堂伊始，教師借助多媒體展示意大利數學家卡爾丹的故事，讓學生重溫數學發展史，體驗數學概念的發現是多么有趣且有意義，而且每一個發現并不神秘，數學家也是從生活中的一些小問題著手進行分析的.

問題1 有什么辦法可以將10分為兩部分，讓這兩部分的乘積恰巧為40？

設計意圖 播放數學家的故事，意在激發學生的學習興趣，讓學生感知數學家嚴謹的科研精神，為課堂教學奠定良好的情感基礎. 問題的提出，是為了引發學生認知沖突，讓學生處于“憤、悱”的狀態，對接下來的教學內容充滿探究欲.

問題2 實數集中是否存在滿足上一個問題的兩個數？

設計意圖 此問可打破學生的思維定式，讓學生在一定的認知沖突下感知現有認知無法滿足生活實際需要，一方面體現出新知學習的必要性，另一方面激發學生的創造意識，為接下來的深入探究奠定基礎.

2. 合作探究，重溫概念發展

問題3 大家說說數集的形成，經歷了幾次擴充？分別是在什么情況下發生的？

設計意圖 學生在本節課前已經接觸過整數、自然數、分數、有理數、無理數與實數等，要求學生回顧數集擴充過程，也就是讓學生將數集的發展史捋一遍，即“自然數集—整數集—有理數集—實數集”. 通過梳理數集擴充歷程，可發現學生的最近發展區，為本節課新知的教學奠定基礎.

問題4 數集的每一次擴充都能解決一些問題，請大家以合作學習的方式來探討每一次數集擴充所解決的問題都有哪些.

設計意圖 引導學生通過小組合作學習的方式來回顧、思考、總結每一次數集擴充的情況，感知數集擴充的必要性，完善認知結構.

師生、生生積極互動后，將每一次數集擴充與所解決的問題板書（如圖1所示）.

由此學生充分體驗到每一個數集都是因為實際需求而產生的，而非無中生有. 此過程，也讓學生體驗到數集擴充源于數學內部矛盾與社會發展.

問題5 數集的幾次擴充存在什么共同點？

設計意圖 此問意在培養學生概括、表達與觀察的能力. 通過梳理與整理四次數集擴充的情況，為再次數集擴充做鋪墊，從中感知數集擴充的合理性與科學性，并嘗試提煉一般性的原則.

3. 借鑒史料，自主構建新知

將數學史應用在課堂中可有效提高學生學習積極性，通過對數學史與現狀的了解，學生會對當下學習產生濃厚的探究興趣. 實踐發現，數學史的應用對發展學生的數學精神，促進學生成人成長等具有重要價值與意義. 數學史是連接人文與數學的橋梁，是促進學生數學學科核心素養發展的重要載體.

本節課的教學，可借助五百多年前卡爾丹所面臨的一個“怪東西”——-15的開平方問題為材料，帶領學生感知的解決需要新知識. 在-15的開平方問題的牽引下，將學生的思維轉移到找一個數的平方等于-1的問題上——板書：（？）2=-1.

設計意圖 卡爾丹問題的再現，將學生的思維轉移到找一個數的平方等于-1的問題上，板書的應用使學生對問題的理解更加明晰，這是留白藝術中的一種，為學生提供了更加充足的思考空間，以及為復數的引入做好了鋪墊.

師：為什么我們要引入i這個字母呢？究竟是誰引入的呢？

生1：i為英文單詞imaginary（虛幻）的首字母. 雖然這個數學矛盾是卡爾丹發現的，但引入i這個字母的是瑞士數學家歐拉，他被譽為“分析的化身”. 公元1777年，他將i這個字母引入“數”這個大家族. 縱觀其發展過程，從16～18世紀，歷史的車輪推進了兩百多年，由此也能看出如今我們信手拈來的知識是多么來之不易，學科發展的每一步都充滿了艱辛與創造性.

問題6 當我們引入字母i后，能解決卡爾丹發現的數學矛盾嗎？

問題7 嘗試寫出其他含有i的數.

設計意圖 引導學生借助新學的概念來解決卡爾丹發現的問題，這是促使學生掌握i的過程. 要求學生嘗試寫出其他含有i的數，意在培養學生對新知的應用意識，深化學生對復數的理解，也為構建復數的代數形式夯實基礎.

問題8 嘗試寫一種形式，將你所寫出來的數都包含到里面去.

設計意圖 數學講究符號化與形式化，復數的代數形式就將符號化與形式化完全包含在里面，這是本節課的教學重點與難點. 隨著問題的逐漸深入而讓學生感知從特殊到一般的數學思想，復數的代數形式也在此過程中自然生成，這對促進學生發展抽象能力具有重要意義.

問題9 思考a+bi（a，b∈R）是否一定為虛數.

設計意圖 此問意在引發學生自主分類復數，深化學生對復數概念的認識，從根本上突破本節課的教學難點. 當學生給出相應結論后，可進一步要求學生說一說N，Z，Q，C，R這幾個集合間的關系. 在完善學生認知結構的同時進一步提升學生的應用能力.

4. 應用概念，鞏固提升理解

例1 寫出下列復數的實部和虛部，分別指出相應的實數、虛數、純虛數：2-3i，4，-+i，3i，2+3i，0.

變式題：說一說下列數中的虛數、實數與純虛數，并指出復數的實部及虛部：0.618，0，i，i2，2-9i，i3，7+3i，2+.

例2 當實數m為何值時，復數z=m（m-1）+（m-1）i分別為實數、虛數與純虛數？

變式題：當實數m為何值時，復數z=m2+m-3+（m2-1）i分別為實數、虛數與純虛數？

問題10 什么情況下，復數z=a+bi（a，b∈R）與復數z=c+di（c，d∈R）相等？

例3 若（x+y）+（x-3y）i=（2x-5）+（3x+y）i，x，y∈R，求出x，y.

變式題：已知（2x2-3x-2）+（x2-5x+6）i=0，實數x的值是多少？

設計意圖 前兩個例題與變式題的應用，意在強化學生對復數分類標準的認識;問題10的設置，以及第三個例題與變式題的應用，主要是為了深化學生對復數相等的充要條件的理解，讓學生靈活應用復數概念的內涵與外延實施解題.

5. 總結歸納，促進概念升華

師：請大家回顧本節課的學習，說說你的收獲與感悟.

學生在回顧環節中提出：卡爾丹提出了問題，歐拉引入i而解決了問題. 由此可見，發現問題與解決問題是推動數學發展的原動力. 卡爾丹發現問題為歐拉解決問題提供了基礎，說明發現問題比解決問題更重要. 在交流過程中，不少學生還提出：是否存在復數之外的數呢？教師趁機滲透“學無止境”“科學嚴謹”等理念：若將數學比喻成一片無邊無際的大海，那么我們每一個人都是海洋上漂浮的一葉扁舟，需要在廣闊的海洋中永無止境地不斷探索.

設計意圖 師生共同總結，不僅是對知識、方法與思想等的梳理與提煉，更是引導學生體會數集擴充過程中所蘊含的實踐能力與創新精神，促使學生深切感知人類理性思維的偉大，以激發學生的數學情懷，提升學生的數學學科核心素養.

教學思考

1. 情境揭露教學規律

恰當的教學情境能有效激活學生的思維，將學生帶入探究狀態. 對概念教學情境的創設，教師首先要對學生的“情境需要”有一個宏觀的認識，這里所說的“情境需要”包含真實情境、科學情境、歷史情境與數學情境等.

本節課，教師基于學生已有認知結構，將著名數學家卡爾丹所發現的數學問題作為情境，一方面讓學生感知數學家也會遇到解不開的問題，另一方面讓學生充分體驗與數學家一起發現問題、思考問題與解決問題的過程. 這個情境告訴我們，數學問題的發現源于生活，而解決數學問題則需要一定的創造意識.

2. 問題突破教學難點

問題是數學的心臟，是學生思維的源泉，“學貴有疑”的理念同樣離不開問題的支撐. 事實證明，一些重要的數學概念、定理、公式與應用等都是在解決問題中逐漸形成的. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調提高學生發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力（簡稱“四能”）.

縱觀本節課，教師以問題驅動的方式啟發學生思維. 學生在問題鏈的引導下追溯數的發展史，通過前幾次數集擴充的分析與整理，形成了課堂中的“火熱思考”與知識的“再創造”，并從中抽象出數集擴充需要遵循的基本原則與方法，成功突破了本節課的教學重點和難點.

3. 合作拓展教學深度

合作探究是抽象數學概念最主要的方式. 從數學學科核心素養的角度來看，抽象素養處于首要位置，其具體表現形式為數學概念、規則、命題與思想方法等的形成. 概念教學的關鍵點是引導學生依靠抽象思維與積極互動對數學事物進行歸納、分析、類比，概括事物本質，實現思維從感性到理性的轉變.

本節課，關于數系的發展與復數的引入等，都由學生的合作探究而來，教師只是在適當的時候給予引導. 尤其是虛數的形成史告訴我們：哪怕是數學家，對數的認識也是由淺入深、從無到有的過程. 課堂中，學生親歷數系的發展過程，不僅切身感知數學家的認知發展，還真切體會數學精神和數學魅力.

4. 史料滲透數學文化

數學文化是數學史不可分割的一部分，它可以充分體現“真、善、美”三重維度，培養學生數學學科核心素養和社會主義核心價值觀. 數學史滲透數學文化可促進學生更好地體驗數學概念、數學語言、數學方法等的發展歷程，深化學生對它們的理解.

復數的形成與發展經歷了艱辛的過程，是數學家們辛勤耕耘的結果，是一項偉大的創新. 課堂上，教師帶領學生感知復數的形成歷程，從真正意義上理解它的來龍去脈，發現虛數屬于一種發明、創造，從中感知它的力量、精神與文化.

總之，概念教學促進學生數學學科核心素養的發展，值得我們深入思考與研究. 教師不僅要對教材所呈現的知識了如指掌，還要對其來龍去脈有所了解，只有知道了它的“前世今生”，才能帶領學生從真正意義上理解教學內容，發展學生的數學學科核心素養，實現教學相長.

作者簡介：梁榮花（1984—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.