初中數(shù)學(xué)非標(biāo)準(zhǔn)題型解題思路探析

【摘要】在初中數(shù)學(xué)中有大量抽象深?yuàn)W的數(shù)學(xué)難題，還有很多非標(biāo)準(zhǔn)的題型需要學(xué)生進(jìn)行探索學(xué)習(xí)并得出結(jié)論，教師可以將換元法引入數(shù)學(xué)課堂中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.教師也要深刻理解領(lǐng)悟換元法的思想、概念、內(nèi)涵等，并運(yùn)用靈活的方式掌握轉(zhuǎn)化思維，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究積極性，為提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平提供幫助.本文將對(duì)初中數(shù)學(xué)非標(biāo)準(zhǔn)題型解題中運(yùn)用換元法進(jìn)行深入探究分析，為提高課堂教學(xué)質(zhì)量提供幫助.

【關(guān)鍵詞】換元法；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

在初中階段學(xué)生解題過(guò)程中，如遇到非標(biāo)準(zhǔn)題型后，學(xué)生如果一直運(yùn)用傳統(tǒng)解題思路和模式進(jìn)行解題，會(huì)遇到重重阻礙，甚至出現(xiàn)最終結(jié)論錯(cuò)誤的情況.此時(shí)，教師就需要結(jié)合現(xiàn)階段學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況、教學(xué)情況等，探索全新的解題思路和方法.新課程改革為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了全新的發(fā)展契機(jī).教師可以將換元法引入數(shù)學(xué)課堂中，運(yùn)用換元方法將數(shù)學(xué)知識(shí)化繁為簡(jiǎn)、化難為易，還可以降低數(shù)學(xué)教學(xué)難度.由此可見，在初中數(shù)學(xué)課堂中通過(guò)運(yùn)用換元法，不僅可以有效提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣，還可以更好地提高學(xué)生辯證和理解能力.

1 簡(jiǎn)述換元法應(yīng)用基本原則

1.1 結(jié)構(gòu)性原則

換元法作為現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)課堂中常用的解題方法，在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注重展示其結(jié)構(gòu)性［1］.教材中的每一道題目都存在獨(dú)特的結(jié)構(gòu)性，在實(shí)際教學(xué)引導(dǎo)過(guò)程中教師只有合理掌握其中規(guī)律，才能充分發(fā)揮換元法的優(yōu)勢(shì)和作用，為提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和效率提供幫助.而后，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，還可以靈活運(yùn)用結(jié)合的方式充分應(yīng)用數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)特征、特質(zhì)等，并科學(xué)合理運(yùn)用換元法、均值換元法等解決實(shí)際問(wèn)題，并在不同題型中充分發(fā)揮實(shí)際作用.

1.2 等價(jià)性原則

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要改變之前傳統(tǒng)灌輸式引導(dǎo)方法，運(yùn)用變量替換的方式展開引導(dǎo).同時(shí)，教師自身還要對(duì)數(shù)學(xué)等價(jià)性價(jià)值進(jìn)行探索深挖，以此來(lái)合理地把握學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的問(wèn)題.但是，在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中如果出現(xiàn)偏差問(wèn)題，對(duì)實(shí)際解題效率方面會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響.因此，在日常進(jìn)行數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練過(guò)程中，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生自主替換解題方法的能力，使其可以在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中靈活運(yùn)用換元和等價(jià)轉(zhuǎn)換的方式進(jìn)行解題.而后，教師還要積極鼓勵(lì)學(xué)生分享心得和觀點(diǎn)，也可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況提供恰當(dāng)合理的引導(dǎo).此方式不僅益于學(xué)生快速找到問(wèn)題的突破口，對(duì)于開拓學(xué)生創(chuàng)新思維也具有積極促進(jìn)作用.

1.3 應(yīng)用性原則

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用換元法也要選擇相符的場(chǎng)合，數(shù)學(xué)教材中也有部分?jǐn)?shù)學(xué)題目不能應(yīng)用換元法來(lái)解決問(wèn)題.根據(jù)對(duì)初中階段學(xué)生換元法運(yùn)用方法進(jìn)行探究分析顯示，有大部分學(xué)生因存在盲目性的情況，在做題過(guò)程中經(jīng)常隨意地運(yùn)用換元法來(lái)進(jìn)行解題.此種解題方法不僅不利于快速得出結(jié)論，還會(huì)影響實(shí)際解題效果.比如在初中數(shù)學(xué)課堂中，可能會(huì)遇到因式分解、不等式證明等數(shù)學(xué)問(wèn)題，都可以運(yùn)用換元方法來(lái)得出結(jié)論.實(shí)際解題思路和框架方面也與之前方式存在相應(yīng)差別，可以運(yùn)用新的變量來(lái)替換原有變量.與此同時(shí)，教師還可以將換元理念、技巧等引入課堂中，使學(xué)生可以運(yùn)用換元法解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題、轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)題的難度等.基于此，教師也要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納和總結(jié)，為更好地實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育目標(biāo)提供充足資源補(bǔ)給.

2 簡(jiǎn)述初中數(shù)學(xué)非標(biāo)準(zhǔn)題型解題中換元法運(yùn)用方案

2.1 科學(xué)合理運(yùn)用換元法，解決數(shù)學(xué)方程問(wèn)題

在初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，換元方法是常用的解題方法和思路.特別是在初中階段學(xué)生需要解決一些較為復(fù)雜的方程類問(wèn)題時(shí)，如果仍然運(yùn)用傳統(tǒng)思路解決方程問(wèn)題，不僅會(huì)使方程問(wèn)題更加復(fù)雜，甚至有部分解題步驟會(huì)超出初中階段學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)范圍，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法計(jì)算出答案.其主要原因是，在數(shù)學(xué)教材中有很多方程題目中都蘊(yùn)含著豐富的換元的條件.只要對(duì)題目進(jìn)行深入探究分析，就可以找出可以進(jìn)行替換的“元”，并根據(jù)實(shí)際情況找出新的變量完成替換.這樣不僅可以將原本復(fù)雜的方程問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀，對(duì)于提高學(xué)生自身解題效率和探究分析能力也具有積極促進(jìn)作用.

例如 在講解“一元二次方程”這部分知識(shí)時(shí)，教師呈現(xiàn)方程組（x2＋5x＋4）（x2＋5x＋4）＝1，學(xué)生經(jīng)過(guò)研究分析得出這屬于非標(biāo)準(zhǔn)的方程問(wèn)題.因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決方程問(wèn)題時(shí)，如果學(xué)生仍然運(yùn)用傳統(tǒng)解決方法進(jìn)行解題，則會(huì)出現(xiàn)一元四次方程，這已經(jīng)超出現(xiàn)階段學(xué)生知識(shí)范圍.面對(duì)實(shí)際現(xiàn)狀，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用換元法來(lái)調(diào)整解題思路，使學(xué)生對(duì)方程結(jié)構(gòu)有全新的了解.可以設(shè)（x2＋5x＋4）＝y(tǒng)，而原來(lái)的方程也需要進(jìn)行及時(shí)的轉(zhuǎn)換，呈現(xiàn)為y2+2y＝1，而后則會(huì)呈現(xiàn)出y2＋2y+1＝1+1，（y+1）2＝2.而后，教師再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用剛才所學(xué)習(xí)的二次方程知識(shí)，計(jì)算出y＝－1±2.再將其代入到原來(lái)的方程式當(dāng)中，總結(jié)出全新的方程公式 x2＋5x+4＝－1±2并得出最終結(jié)果.

在解題過(guò)程中運(yùn)用換元法，既可以合理規(guī)避在實(shí)際解題過(guò)程中遇到高次方程時(shí)學(xué)生無(wú)解題思路和頭緒的情況，還可以更高質(zhì)量地解決實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)換元法內(nèi)涵的理解和領(lǐng)悟，增強(qiáng)學(xué)生解題積極性和興趣.

2.2 科學(xué)合理運(yùn)用換元法，解決因式分解問(wèn)題

在初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)多項(xiàng)式因式分解方法是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生探究學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問(wèn)題［2］.在初中數(shù)學(xué)課堂中，教師在講解因式分解這部分知識(shí)時(shí)，需要通過(guò)引導(dǎo)的方式使學(xué)生理解掌握因式分解和整式乘法之間的關(guān)聯(lián)性.而后，還要通過(guò)新舊對(duì)比方式為學(xué)生講解具體因式分解的方法.常用的方法大部分都以換元法為主，教師和學(xué)生對(duì)此方法好評(píng)率也比較高.

例如 （x2+3x+2）（x2+7x+12）-120，在解題過(guò)程中如果學(xué)生仍然運(yùn)用之前傳統(tǒng)方法進(jìn)行解題，是需要運(yùn)用乘法依次相乘后再進(jìn)行分解.運(yùn)用此種方式不僅會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題變得更加復(fù)雜和困難，也會(huì)增加學(xué)生實(shí)際解題難度，此時(shí)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生分析題目結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理化變形，再運(yùn)用換元法進(jìn)行因式分解.可以轉(zhuǎn)換為（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-120，再運(yùn)用變形的方式呈現(xiàn)出［（x+1）（x+4）］［（x+2）（x+3）］-120，而后運(yùn)用換元法設(shè)x2+5x+4＝y(tǒng)，此時(shí)原因式也會(huì)有所改變，即y（y+2）-120=y2+2y-120=（y+12）（y-10），再運(yùn)用得出的公式來(lái)進(jìn)行替換處理，最終得出準(zhǔn)確的結(jié)果.

教師通過(guò)上述解題方法，不僅可以找到換元法的核心關(guān)鍵，還可以在學(xué)生因式分解過(guò)程中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原式的觀察和分析，進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形調(diào)整.

3 結(jié)語(yǔ)

總而言之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用換元法，不僅可以將原本枯燥、抽象、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單化，還可以提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的效率和質(zhì)量.同時(shí)，初中階段教師也要重視創(chuàng)新發(fā)展，在實(shí)際數(shù)學(xué)課堂中靈活運(yùn)用換元法，為學(xué)生展示正確的非標(biāo)準(zhǔn)題型解題思路，使學(xué)生在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷收獲解題經(jīng)驗(yàn)和思路，為提高自身綜合能力提供幫助.同時(shí)，積極運(yùn)用換元法也可以有效激發(fā)學(xué)生解題興趣，為學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)穩(wěn)定發(fā)展提供幫助.

參考文獻(xiàn)：

［1］鄭海萍.初中數(shù)學(xué)非標(biāo)準(zhǔn)題型解題思路研究——以“換元法”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（04）：74-75.

［2］韋小云.換元法思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.求知導(dǎo)刊，2023（10）：86-88.