循序漸進(jìn)，深化理解

摘 要：在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，部分學(xué)生對(duì)一元一次方程的概念理解不夠深入，在解題時(shí)缺乏嚴(yán)密的邏輯思維。在深入分析初中數(shù)學(xué)“一元一次方程”教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，從重視概念引入、突出方程的等式性質(zhì)、分類指導(dǎo)解題方法、強(qiáng)化方程的應(yīng)用四個(gè)方面探討了相應(yīng)的教學(xué)策略，旨在提高學(xué)生的知識(shí)掌握程度和應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：一元一次方程；教學(xué)設(shè)計(jì)；初中數(shù)學(xué)

作者簡(jiǎn)介：李秀鳳（1975—），女，山東省膠州市阜安中學(xué)。

“一元一次方程”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，理解一元一次方程的概念及解法，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程、二元一次方程、分式方程等知識(shí)具有重要意義。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出，教師要讓初中階段的學(xué)生理解方程的概念，掌握一元一次方程的解法。由此可見，讓學(xué)生掌握一元一次方程的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用方程思想與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

一、“一元一次方程”教學(xué)現(xiàn)狀分析

（一）學(xué)生對(duì)一元一次方程的概念理解不深入

一些學(xué)生對(duì)一元一次方程的相關(guān)概念理解不夠透徹，因此在解題時(shí)不知道如何下手。在學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生沒有深入理解“一元”“一次”“方程”等概念，如聽到“一元”就想到一個(gè)變量，這說(shuō)明學(xué)生對(duì)這些基本概念的理解還不夠精準(zhǔn)。同時(shí)，部分學(xué)生對(duì)“未知數(shù)”等概念的認(rèn)識(shí)也不夠清晰，認(rèn)為“未知數(shù)”就是“變量”，忽視了“未知數(shù)”的隱含條件是“待定的常數(shù)”。而對(duì)于“方程的解”，部分學(xué)生只知其然而不知其所以然，雖然知道解是使方程左右兩邊相等的數(shù)值，但并不理解這一未知數(shù)的存在條件。

（二）學(xué)生解題時(shí)缺乏邏輯思維

部分學(xué)生雖然能按照教師講授的過(guò)程解一元一次方程，但他們常常不能觸類旁通，在遇到相關(guān)的變式問(wèn)題時(shí)便會(huì)思維受阻。數(shù)學(xué)本身是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，其解題過(guò)程通常具有嚴(yán)密的邏輯，但部分學(xué)生在解題時(shí)缺乏邏輯思維，在列方程、解方程時(shí)沒有按照規(guī)范的步驟進(jìn)行，忽略中間步驟，只給出解答結(jié)果，沒有解答過(guò)程。同時(shí)，部分學(xué)生在解方程時(shí)對(duì)變量的選取與使用也不夠嚴(yán)謹(jǐn)，如在將題目信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言時(shí)，變量使用前后不一致或缺乏必要的說(shuō)明等，這些問(wèn)題體現(xiàn)了學(xué)生缺乏嚴(yán)密的邏輯思維。此外，部分學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)一些邏輯錯(cuò)誤，如移項(xiàng)時(shí)沒有根據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行，導(dǎo)致方程改變。出現(xiàn)這些邏輯錯(cuò)誤的主要原因也是學(xué)生缺乏嚴(yán)密的邏輯思維。

二、“一元一次方程”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）重視概念引入，初步認(rèn)識(shí)一元一次方程

1.聯(lián)系生活實(shí)際，引入方程的概念

在引入方程的概念時(shí)，教師可創(chuàng)設(shè)一些貼近學(xué)生生活的、學(xué)生容易理解的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中理解方程的本質(zhì)。如教師可提出這樣一個(gè)問(wèn)題：小明去買文具盒，第一次買了x個(gè)，第二次買的個(gè)數(shù)比第一次的2倍少1個(gè)，已知兩次共買了15個(gè)文具盒，請(qǐng)問(wèn)小明第一次買了多少個(gè)文具盒？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生能形成對(duì)未知數(shù)x的數(shù)感，了解用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示某個(gè)量的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而理解方程的概念。

2.通過(guò)實(shí)例說(shuō)明，幫助學(xué)生理解未知數(shù)、方程的解等概念

為了幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地理解一元一次方程的相關(guān)概念，教師可結(jié)合實(shí)例來(lái)說(shuō)明。例如，在講解“未知數(shù)”這個(gè)概念時(shí)，教師可展示x+3=5、2x-1=7等方程，并引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論其中的共同點(diǎn)，由此引出未知數(shù)的概念。之后，教師可進(jìn)一步說(shuō)明，未知數(shù)在方程中常用x表示，也可用y、a、b等字母表示，以此讓學(xué)生充分理解“未知數(shù)代表一個(gè)待求的數(shù)”這一概念。又如，在講解“方程的解”這一概念時(shí)，教師可結(jié)合實(shí)例，將具體的數(shù)值代入相應(yīng)的方程，驗(yàn)證該數(shù)值能否使方程成立，以此讓學(xué)生直觀地了解方程的解的意義。

（二）循序漸進(jìn)，突出方程的等式性質(zhì)

1.復(fù)習(xí)已學(xué)等式知識(shí)

方程的本質(zhì)是等式，學(xué)生之前學(xué)的等式知識(shí)是其學(xué)習(xí)一元一次方程的基礎(chǔ)。在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等式的基本性質(zhì)，如“等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)相同的數(shù)，等式仍然成立”等，以激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)［1］。具體來(lái)說(shuō)，教師可列舉一些簡(jiǎn)單的數(shù)值等式，如3+2=6-1、4×5=10×2，并引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證相應(yīng)的等式性質(zhì)，以此幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知。通過(guò)知識(shí)復(fù)習(xí)，學(xué)生能夠重新審視“等式”這一概念，從數(shù)值的角度感悟等式所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，加深對(duì)等式性質(zhì)的理解，這對(duì)其理解一元一次方程的概念有重要作用。

2.引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)例中發(fā)現(xiàn)方程變換的規(guī)律

在學(xué)生掌握了等式的基本性質(zhì)后，教師要引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)方程與等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解方程的變換實(shí)質(zhì)上是依據(jù)等式性質(zhì)進(jìn)行的。例如，教師可先展示方程x+3=5，并提問(wèn)：“如何求這個(gè)方程的解？”學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時(shí)減3，能得到x=2。接著，教師可順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生思考方程變換的實(shí)質(zhì)，讓學(xué)生明白方程變換的依據(jù)正是等式的性質(zhì)。最后，教師可展示類似的方程，如x+1=6等，引導(dǎo)學(xué)生探究規(guī)律，使學(xué)生自主總結(jié)出解方程的理論基礎(chǔ)是等式的基本性質(zhì)。學(xué)生在經(jīng)歷探究、歸納的過(guò)程后，能對(duì)相應(yīng)的知識(shí)形成更深刻的認(rèn)識(shí)。

3.小組討論交流，加深學(xué)生對(duì)等式性質(zhì)的理解

在學(xué)生初步掌握運(yùn)用等式性質(zhì)解方程的方法后，教師可展示一些實(shí)例，讓學(xué)生交流解題心得，以加深其對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解。例如，教師可提供一組方程，讓學(xué)生分組討論如何運(yùn)用等式性質(zhì)解這些方程，并寫出解題過(guò)程，總結(jié)解題方法。學(xué)生在小組討論交流中能進(jìn)行思維的碰撞，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)不同的解題方法，拓寬解題思路。同時(shí)，通過(guò)與小組成員探討解題過(guò)程，學(xué)生既能加深對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)的理解，又能提高語(yǔ)言表達(dá)能力、分析能力等。在學(xué)生進(jìn)行小組交流后，教師可引導(dǎo)各小組分享他們的討論結(jié)果，并進(jìn)行相應(yīng)的點(diǎn)評(píng)，以此加深他們對(duì)等式性質(zhì)的理解。

（三）分類指導(dǎo)，探究一元一次方程的解法

1.歸納總結(jié)一元一次方程的基本類型

從形式上看，一元一次方程主要可分為ax=b、ax+b=c這兩種類型。在實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方程的類型進(jìn)行歸納，以此為后面的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。例如，教師可列舉一組方程，讓學(xué)生觀察比較，尋找其中的共性與聯(lián)系，以此讓學(xué)生明白一元一次方程主要可分為哪些類型。在此基礎(chǔ)上，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生抽象出ax=b與ax+b=c兩種一般形式。通過(guò)這樣的活動(dòng)，學(xué)生能更深刻地理解一元一次方程的內(nèi)涵，并掌握區(qū)分其他方程與一元一次方程的方法。

2.針對(duì)不同類型，講解相應(yīng)的解答技巧與方法

歸納出一元一次方程的兩大類型后，教師要針對(duì)不同類型，為學(xué)生講解相應(yīng)的解答技巧與方法。對(duì)于“ax=b”型方程，其解答方法如下：兩邊同時(shí)除以a（a不為0），進(jìn)而得出方程的解。對(duì)于此類方程解答方法的講解，教師應(yīng)幫助學(xué)生理解“等號(hào)兩邊能同時(shí)除以a的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)”，同時(shí)應(yīng)讓學(xué)生注意a不能為0。對(duì)于“ax+b=c”型方程，其基本解題思路是“移項(xiàng)”，具體解題方法是利用等式的基本性質(zhì)兩邊都減去b，并合并同類項(xiàng)，將其轉(zhuǎn)化為ax=b的形式，進(jìn)而用相應(yīng)的解法求出x的值。對(duì)于這類方程解答方法的講解，教師要強(qiáng)調(diào)“移項(xiàng)”這一關(guān)鍵步驟，讓學(xué)生在練習(xí)中熟練掌握這一技能。

3.設(shè)計(jì)梯度練習(xí)，提高學(xué)生分類解題的能力

在講完基本的解答方法后，教師可設(shè)計(jì)一定數(shù)量的練習(xí)題，讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)熟練掌握相應(yīng)的解答方法。為了逐漸深化學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)的理解，教師設(shè)計(jì)的練習(xí)題應(yīng)由簡(jiǎn)到難、由單一到綜合。首先，教師可提供一些簡(jiǎn)單的方程，如2x=10、x+5=8等，讓學(xué)生獨(dú)立完成，以使學(xué)生獲得成就感。然后，教師可設(shè)計(jì)一些有一定難度的方程練習(xí)題，如2x+1=7、3x-2=10等，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，充分掌握解題技巧。最后，教師可為學(xué)生提供一些拓展題，如5x=9+2x等，讓學(xué)生思考討論，以此培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解。

（四）強(qiáng)化應(yīng)用教學(xué)，拓寬解一元一次方程的思路

1.引導(dǎo)學(xué)生嘗試用一元一次方程知識(shí)解決生活中的問(wèn)題

一元一次方程源于生活，又應(yīng)用于生活。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并嘗試運(yùn)用一元一次方程知識(shí)解決相關(guān)的問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值［2］。例如，教師可提出這樣一個(gè)問(wèn)題：小明和小紅一起買文具，小明買了3支鉛筆和2塊橡皮，共花了11元；小紅買了2支鉛筆，花了6元。請(qǐng)問(wèn)一支鉛筆和一塊橡皮分別多少錢？這個(gè)問(wèn)題與學(xué)生的生活聯(lián)系緊密，學(xué)生能從中發(fā)現(xiàn)與一元一次方程有關(guān)的信息。首先，學(xué)生可假設(shè)一支鉛筆x元，列出方程2x=6，進(jìn)而得到x=3，即一支鉛筆3元。然后，學(xué)生可假設(shè)一塊橡皮y元，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程9+2y=11，進(jìn)而得到y(tǒng)=1，即一塊橡皮1元。通過(guò)這樣的分析探究，學(xué)生能真切地感受到一元一次方程在生活中的應(yīng)用，明白“數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活”，從而樹立起“學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)”的信心。

2.利用一元一次方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)

在引導(dǎo)學(xué)生用一元一次方程解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用一元一次方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)建模就是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的過(guò)程［3］。在一元一次方程知識(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)初步了解如何用字母表示數(shù)并列出方程，開始形成建模意識(shí)。教師要抓住這一契機(jī)，設(shè)計(jì)一些問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。例如，教師可出示這樣一道題：在一次學(xué)校組織的捐款活動(dòng)中，學(xué)生捐款金額比教師捐款金額的2倍多1000元。已知學(xué)生和教師共捐款4000元，問(wèn)教師共捐款多少元？該問(wèn)題雖然包括教師捐款金額和學(xué)生捐款金額兩個(gè)未知量，但二者之間存在“學(xué)生捐款金額比教師捐款金額的2倍多1000元”的數(shù)量關(guān)系，因此我們可據(jù)此設(shè)教師捐款金額為x元，則學(xué)生捐款金額為2x+1000元，進(jìn)而可列出方程x+2x+1000=4000。通過(guò)這樣的例題分析，學(xué)生能逐步掌握利用一元一次方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的一般步驟，即確定變量，列出方程，求解方程，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用。

3.將一元一次方程知識(shí)與其他知識(shí)相結(jié)合

一元一次方程是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，它與一次函數(shù)、不等式等知識(shí)之間有著密切的聯(lián)系。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這些聯(lián)系，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合應(yīng)用不同的知識(shí)。例如，在教學(xué)“一次函數(shù)”時(shí)，教師可運(yùn)用多媒體技術(shù)展示一次函數(shù)的圖象與一般表達(dá)式，以此讓學(xué)生了解一元一次方程和一次函數(shù)之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)從函數(shù)圖象的角度理解方程的意義，為后期的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

結(jié)語(yǔ)

總而言之，教師要不斷優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐、自主探索的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在做中學(xué)，掌握高效的知識(shí)學(xué)習(xí)方法，提升運(yùn)用一元一次方程知識(shí)解決問(wèn)題的能力。相信經(jīng)過(guò)教師的精心設(shè)計(jì)與不懈努力，學(xué)生一定能循序漸進(jìn)地掌握相關(guān)知識(shí)，準(zhǔn)確理解一元一次方程的有關(guān)概念，真正感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，體驗(yàn)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的成就感，進(jìn)而更加熱愛數(shù)學(xué)，成長(zhǎng)為具有創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的時(shí)代新人。

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