巧用一次函數分析電學實驗系統誤差

電學實驗的系統誤差分析是學生的重點、難點，甚至是痛點．如何快速地判斷測量值比實際值大還是小呢？本文將巧用一次函數法來快速判斷，即在數據處理時列出理想電表和實際電表對實驗結果的函數關系，利用一次函數的斜率和截距就能快速地判斷測量值和真實值的誤差關系，此方法不僅能培養學生“運用數學工具解決物理問題”的能力，而且比解析法、等效法、列表法等方法更簡便，以彰顯數理結合的獨特魅力．

一、伏安法測電阻

1.外接法

圖1

電流表外接法測電阻的實驗原理如圖1所示．如果將電表視為理想電表，由閉合電路歐姆定律Rx測=UI①，變形為一次函數形式，得：U=Rx測I②．如果將電壓表視為實際電表，由閉合電路歐姆定律Rx真=UI-URV③，變形為一次函數形式得：U=Rx真1+Rx真RVI④，比較①式和④式，得：Rx測=Rx真1+Rx真RV⑤，顯然Rx測<Rx真⑥．

2.內接法

圖2

電流表內接法測電阻的實驗原理如圖2所示．如果將電流表視為理想電表，由閉合電路歐姆定律Rx測=UI①，變形為一次函數形式，得：U=Rx測I②．如果將電流表視為實際電表，由閉合電路歐姆定律Rx真=UI-RA ③，變形為一次函數形式得：U=（Rx真+RA）I④，比較①式和④式中一次函數的斜率，得：Rx測=Rx真+RA⑤，顯然Rx測>Rx真⑥．

二、測電源電動勢和內阻

1.外接法

圖3

圖4

測電源電動勢和內阻的實驗原理如圖3所示（對被測量的電源可視為外接法）．如果將電壓表視為理想電表，由閉合電路歐姆定律E測=U+Ir測，變形為一次函數形式，得：U=（-r測）I+E測①．由于電壓表的分流（IV）原因會引起誤差，流經電源的電流不是電流表測得的I測，而是I真=I測+IV ②， IV=URV（RV為電壓表的內阻），電壓表視為實際電表時，由閉合電路歐姆定律E真=U+（I+URV）r真③，變形為一次函數形式，得：U=（-r真1+r真RV）I+E真1+r真RV ④，比較①式和④式中一次函數的斜率和截距，有：E測=E真1+r真RV，r測=r真1+r真RV⑤，顯然E測<E真，r測<r真⑥．對如圖4所示的伏阻法，同理可得E測<E真，r測<r真．

2.內接法

圖5

圖6

測電源電動勢和內阻的實驗

原理如圖5所示（對被測量的電源可視為內接法）．如果將電流表視為理想電表，由閉合電路歐姆定律E測=U+Ir測，變形為一次函數形式，得：U=（-r測）I+E測①．由于電流表的分壓（UA）原因會引起誤差，電源兩端的電壓不是電壓表測得的U測，而是U真=U測+UA②， UA=IRA（RA為電流表的內阻），電流表視為實際電表時，由閉合電路歐姆定律E真=U+I（r真+RA）③，變形為一次函數形式，得：U=-（r真+RA）I+E真④，比較①式和④式中一次函數的斜率和截距，有：E測=E真，r測=r真+RA⑤，顯然E測=E真，r測>r真⑥．對如圖6所示的安阻法，同理可得E測=E真，r測>r真成立．在以上兩種測量電路中，內接法雖然測量的電源電動勢準確，但電流表分壓較為明顯，所以內阻測量的誤差很大；外接法雖然電動勢和內阻測量均偏小，但是電壓表內阻很大，分流不明顯，所以電動勢和內阻的測量誤差較小，所以實驗室一般選擇外接法來減小由電表內電阻引起的系統誤差．

三、半偏法測電表內阻

1.半偏法測電流表內阻

圖7

半偏法測電流表內阻的實驗原理如圖7所示．根據實驗原理，如果不考慮閉合S2后干路電流的變化，RA測=R2①，對實際電路，閉合S2前，由閉合電路歐姆定律，有：E=（r+R1+RA真）Ig ②，閉合S2后，有：E=12IgRA真+（12Ig+12IgRA真R2）（r+R1） ③，變形為一次函數形式，得：E=12［（r+R1）+RA真（r+R1+R2）R2］Ig④，比較②式和④式中一次函數的斜率，有：r+R1+RA真=12［（r+R1）+RA真（r+R1+R2）R2］⑤，化簡得：RA真=r+R1r+R1-R2R2 ⑥，得出結論：RA測=R2<RA真 ⑦，且R1RA滿足得越充分，系統誤差越小．

2.半偏法測電壓表內阻

圖8

半偏法測電壓表內阻的實驗原理如圖8所示．根據實驗原理，如果不考慮斷開S2后電壓表所在支路電壓的變化，RV測=R0①，對實際電路，斷開S2前，由閉合電路歐姆定律，有：E=Ug+（UgRV真+UgRp1）（r+Rp2） ②，變形為一次函數形式，得：

E=1+（1RV真+1RP1）（r+Rp2）Ug ③，斷開S2后，有：E=Ug2+Ug2RV真R0+Ug2+Ug2RV真R0Rp1（r+Rp2） ④，

變形為一次函數形式，得：E=

12+12RV真R0+12+12RV真R0RP1（r+Rp2）

Ug ⑤，比較③式和⑤式中一次函數的斜率，有：

1+（1RV真+1Rp1）（r+Rp2）=12+12RV真R0+12+12RV真R0Rp1（r+Rp2） ⑥，化簡得：RV真=R0-2Rp1（r+Rp2）r+Rp2+Rp1 ⑦，得出結論：RV測=R0>RV真 ⑧，且RVR1滿足得越充分，系統誤差越小．

四、歐姆表測電阻

圖9

歐姆表的實驗原理如圖9所示．由閉合電路歐姆定律，有：E=IgR內，E=I（R內+Rx測）①，變形為一次函數形式得：Ig=（1+Rx測R內）I ②，如果電池用久了，電動勢變小，內阻變大，但仍然能調零，由閉合電路歐姆定律，有：E′=IgR′內，E′=I（R′內+Rx真） ③，變形為一次函數形式得：Ig=（1+Rx真R′內） I④，比較②式和④式中一次函數的斜率，有：Rx測=R內R′內Rx真⑤，得出結論：Rx測>Rx真，且定量計算誤差的大小，有：Rx測Rx真=EE′=R內R′內成立⑥．

五、實例分析

【例1】（2024年湖南卷）某實驗小組要探究一金屬絲的阻值隨氣壓變化的規律，搭建了如圖10（a）所示的裝置．電阻測量原理如圖10（b）所示，E是電源，V為電壓表，A為電流表．

圖10

（1）保持玻璃管內壓強為1個標準大氣壓，電流表示數為100 mA，電壓表量程為3 V，表盤如圖10（c）所示，示數為 V，此時金屬絲阻值的測量值R為 Ω（保留3位有效數字）；

（2）打開抽氣泵，降低玻璃管內氣壓p，保持電流I不變，讀出電壓表示數U，計算出對應的金屬絲阻值；

（3）根據測量數據繪制R-p關系圖線，如圖10（d）所示；

（4）如果玻璃管內氣壓是0.5個標準大氣壓，保持電流為100 mA，電壓表指針應該在圖10（c）指針位置的 側（填“左”或“右”）；

（5）若電壓表是非理想電壓表，則金屬絲電阻的測量值 真實值（填“大于”“小于”或“等于”）．

【解析】 （1）電壓表量程為0-3 V，分度值為0.1 V，則電壓表讀數需估讀一位，讀數為1.23 V，根據歐姆定律可知，金屬絲的測量值R=UI=12.3 Ω；

（4）據圖（d）可知氣壓越小電阻越大，再根據U=IR可知壓強p減小，則電阻R增大，故電壓增大，電壓表的指針位置應該在題圖10（c）中指針位置的右側；

（5）由歐姆定律U=R測I，因電流表采用外接法會導致電壓表分流，即U=R真（I-URV），變形為：U=R真1+R真RVI，兩式相比，R測<R真．

【例2】 （2024年新課標Ⅱ卷）某探究小組要測量電池的電動勢和內阻．可利用的器材有：電壓表、電阻絲、定值電阻（阻值為R0）、金屬夾、刻度尺、開關S、導線若干．他們設計了如圖11所示的實驗電路原理圖．

圖11

（1）實驗步驟如下：

①將電阻絲拉直固定，按照圖（a）連接電路，金屬夾置于電阻絲的 ．（填“A”或“B”）端；

②閉合開關S，快速滑動金屬夾至適當位置并記錄電壓表示數U，斷開開關S，記錄金屬夾與B端的距離L；

③多次重復步驟②，根據記錄的若干組U、L的值，作出圖（c）中圖線Ⅰ；

④按照圖（b）將定值電阻接入電路，多次重復步驟②，再根據記錄的若干組U、L的值，作出圖（c）中圖線Ⅱ．

（2）由圖線得出縱軸截距為b，則待測電池的電動勢E= ．

（3）由圖線求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分別為k1、k2，若k2k1=n，則待測電池的內阻r= （用n和R0表示）．

【解析】 （1）為了保護電路，閉合開關前，金屬夾置于電阻絲的最大阻值處，由圖可知，應該置于A端．

（2）對于電路圖（a），根據閉合電路歐姆定律有U=E－Ir，設金屬絲的電阻率為ρ，橫截面積為S，結合歐姆定律和電阻定律I=UR，R=ρLS，聯立可得U=E－USρLr，整理可得1U=1E+SrEρ·1L，對于電路圖（b），根據閉合電路歐姆定律有U=E－I（r+R0），結合歐姆定律和電阻定律I=UR，R=ρLS，聯立后整理1U=1E+S（r+R0）Eρ·1L，可知圖線的縱軸截距b=1E，解得：E=1b．

（3）由題意可知k1=SrEρ，k2=S（r+R0）Eρ，又k2k1=n，聯立解得：r=R0n-1．

【點評】 從本題可看出，利用一次函數法不僅可以分析誤差，還對實驗數據的處理有優勢，當然利用閉合電路歐姆定律這個核心規律列方程是解決問題的關鍵．

六、啟示

利用“一次函數法”對主要電學實驗進行誤差分析是對其他方法的補充，同時能加深學生對數學和物理結合、代數與圖形的理解，“一次函數法”除了分析誤差，對實驗數據的處理也很方便，提倡利用數學方法處理物理問題，進一步促進學生的實驗探究科學素養．

【作者簡介：特級教師，正高級教師，全國先進工作者，教育部國培計劃專家，公開發表論文百余篇，出版專著7本】

責任編輯 李平安