全等三角形的三種考查形式

全等三角形是中考試卷中常見的考點，其題型新穎多變.現從近幾年中考試卷中采擷3題，幫助同學們熟悉新題型、掌握新方法.

一、利用旋轉不變性問題考查全等

例1 （2024·四川·自貢）如圖1，在平面直角坐標系中，D（4，2），將Rt△OCD繞點O逆時針旋轉90°到△OAB位置，則點B坐標為（ ）.

A. （2，4） B. （4，2） C. （-4，-2） D. （-2，4）

解析：∵D（4，2），∴OC = 4，CD = 2.

∵將Rt△OCD繞點O逆時針旋轉90°到△OAB，

∴△OAB [≌] △OCD，

∴OA = OC = 4，AB = CD = 2，∠OAB = 90°，

∴點B坐標為（2，4），故選A．

點評：圖形的平移、翻折、旋轉不改變圖形的形狀和大小.本題通過Rt△OCD的旋轉得到△OAB [≌] △OCD，從而確定點B的坐標.

二、利用尺規作圖問題考查全等

例2 （2024·山東·煙臺）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如圖2所示，其中射線OP為∠AOB的平分線的有（ ）.

圖2

A. 1個 " " " B. 2個 " " " C. 3個 "D. 4個

解析：第一個圖為尺規作角平分線的基本方法，其原理是利用“邊邊邊”判斷三角形全等，所以OP為∠AOB的平分線.

第二個圖，由作圖可知OC = OD，OA = OB，∴AC = BD.

∵∠AOD = ∠BOC，OC = OD，OA = OB，∴△AOD [≌] △BOC，∴∠OAD = ∠OBC.

∵AC = BD，∠APC = ∠BPD，

∴△APC [≌] △BPD，∴AP = BP.

∵OA = OB，OP = OP，∴△AOP [≌] △BOP，

∴∠AOP = ∠BOP，即OP為∠AOB的平分線.

第三個圖，由作圖可知∠ACP = ∠AOB， OC = CP，

∴CP[?]BO，∠COP = ∠CPO，

∴∠CPO = ∠BOP，∴∠COP = ∠BOP，∴OP為∠AOB的平分線.

第四個圖，由作圖可知OC = OD，點P是邊CD的中點，

∴OP為∠AOB的平分線.

故選D．

點評：本題利用全等三角形考查用“直尺和圓規作角平分線”的探究依據，解題的關鍵是根據作圖痕跡，合理選擇相關條件推斷三角形全等，進而對各種作法進行判斷．

三、利用拓展綜合問題考查全等

例3 綜合與實踐.

問題探究. （1）古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9為“平分一個已知角”，即作一個已知角的平分線. 如圖3是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC = OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線. 請寫出OE平分∠AOB的依據：_________.

類比遷移. （2）小明根據以上信息研究發現：△CED不必是等邊三角形，只需CE = DE即可，他查閱資料得知我國古代已經用角尺平分任意角，作法如下：如圖4，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM = ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此作法的理由.

拓展實踐. （3）小明將研究應用于實踐：如圖5，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問：路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規在對應的示意圖6中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

解析：（1）∵△CDE是等邊三角形，∴CE = DE.

又∵OC = OD，OE = OE，

∴△OCE [≌] △ODE（SSS），

∴∠COE = ∠DOE，∴OE是∠AOB的平分線，故答案為SSS.

（2）∵OM = ON，CM = CN，OC = OC，

∴△OCM [≌] △OCN（SSS），

∴∠AOC = ∠BOC，∴射線OC是∠AOB的平分線.

（3）如圖7，點E即為所求的點．

點評：“綜合與實踐”試題注重多維度考查學科素養，因此是近幾年中考新寵.本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、角平分線定義以及尺規作圖等知識，熟練掌握全等三角形的性質和判定是解題的關鍵．

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：5分鐘

（2024·江蘇·蘇州）如圖8，△ABC中，AB = AC，分別以B，C為圓心，大于[12]BC長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接BD，CD，AD，AD與BC交于點E．

（1）求證：△ABD ≌ △ACD；

（2）若BD = 2，∠BDC = 120°，求BC的長．

（答案見第39頁）

（作者單位：江蘇省興化市文峰初級中學）