研究數學教學工具 支持兒童自主學習

［摘 要］核心素養引領下的素質教育亟須教學行為改進，一線實踐困境亟須教學革新突圍，兒童發展亟須教學技術支持。實際應用中，教學工具的選擇要關注學段特點，教學工具的應用要賦能思維發展，工具支持的學習要關注過程性評價。如此，教學工具作為技術支持的一個載體，才能以“做數學”的方式，積累兒童操作經驗并發展數學思維。

［關鍵詞］數學教學；教學工具；自主學習

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）29-0019-04

筆者有幸聆聽“射線、直線與角”一課，發現全課41次的師生問題式的教學，其課堂仍然是指令式的學習。

一、研究緣起

（一）突圍實踐困境

課堂上教師提出：“想象一下，把線段的一端無限延長，就能得到一條射線。”然而，想象是人在頭腦里對已儲存的表象進行加工后形成新形象，即在知覺材料的基礎上，經過頭腦加工而創造出新形象的心理過程。學生對于射線沒有可以加工的知覺材料，如何展開想象？

師問生答的指令式學習、無法落地的學習任務、不符合兒童發展規律的教學組織，激發了筆者想要突圍實踐困境的想法。

（二）學習理論支持

荀子的《知行學》、陶行知先生的“教學做合一”、杜威的“做中學”和弗賴登塔爾的“再創造”，都不約而同地指向相同的觀點——兒童的學習應是在教師和兒童共同組成的學習環境中，親歷探究的學習過程，即“做中學”。“做中學”有兩個特征：一是對學生適宜探究的科學問題提出基于實證的驗證過程；二是在一個具有師生互動、生生互動的環境中，由學生主動進行的探究過程。

“做數學”是“做中學”的學科化實踐路徑。江蘇省教育規劃辦董林偉主任指出，“做數學”是以“做”為支架的一種數學學習活動，是學生運用材料和工具在動手動腦協同的過程中人人參與的，且以實際操作為特征的數學活動，是實現數學學科育人的一種范式。

（三）回應教育發展

《義務教育課程方案（2022年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》都指出教學要，變革育人方式，突出學科實踐，倡導“做中學”、“用中學”和“創中學”。對小學數學學科的學習而言，倡導“做中學”“用中學”“創中學”是符合6～12歲兒童身體發展規律、認知特征、思維發展水平的，其落實上述學習方式的關鍵是要有與之相適應的教學技術。

核心素養引領下的素質教育亟須教學行為改進，一線實踐困境亟須革新突圍，兒童發展亟須教學技術支持。于是，作為技術支持的一個載體——教學工具的研究悄然開始。

二、研究內容

（一）教學工具

工具原指工作時所需的器具，后引申為用以達到目的的事物。由工具本義生發出的教學工具，是指為輔助教學，能夠促進學生自主學習的教具、學具以及必要的設備與工具，包括實物工具和非實物工具。實物工具泛指物化的工具，非實物工具指表格、表單、圖示等。本文主要闡述的是實物工具在教學中的應用。

（二）教學工具開發與應用的模型

在長期教學實踐中，對于傳統的教具、學具的應用分析也在同步進行。教師可基于傳統教具的優劣進行分析，不斷改進、優化甚至是重新開發教學工具。下面，筆者結合蘇教版四年級上冊“怎樣滾得遠？”一課，介紹教學工具開發與運用的模型。

【第一步】共情：對現有教學工具進行優劣分析。

觀察大量的課堂實例，大致上都是先借助木板和三角尺搭成角度為30°、45°、60°、90°的坡道，再測量圓柱形物體或球體滾動的距離。

通過分析，找出使用教學工具的問題和缺點。

①軌道設計不合理。由于軌道兩側沒有擋板，導致滾動物體偏離軌道，因而實際距離測量不準確。

②坡道搭建不穩固。用三角尺來支撐木板，當物體滾動時，三角尺容易松動，對實驗產生干擾。

③實驗結論不嚴謹。現有的三角尺度數有30°、45°、60°、90°，三角尺的角度固定，沒有可變化空間，實驗結論不嚴謹。

④實驗過程效率低。實驗時，三角尺、斜面、直尺等工具是單獨使用的，尚未形成一體化的工具系統。每組只有4～6名學生，加上坡道的不穩固，學生注意力容易分散，不能完全集中在數據的收集上，故實驗效率低下。

【第二步】下定義：依據需要實現的目標設計工具（如圖1-1、1-2、1-3、1-4）。

【第三步】確定模型：調整方案確定工具模型。

根據多次實驗與改進，確定以工具模型（如圖1-4）開展教學實踐，并進行工具使用效果評估。

【第四步】測試模型：以數據分析的方式開展工具測試。

①實驗效率大大提高。以往學生為解決坡道搭建、測量滾動距離等問題花費大量時間。調整方案后，學生在40分鐘的實驗課內共開展3次實驗（30°、45°、60°），實驗過程充分，實驗數據充足，為探究結論提供了充足的操作經驗與數據資料。

②實驗結果可以定量評價。通過多次比對實驗得到的數據（見表1），基本可以對實驗結果做出量化評價，從而以實證的方式支持此項研究結論。

【第五步】推廣應用：工廠進行批量生產模型，投入教學現場使用。

如圖2所示為教學工具開發與應用的研究模式。基于“現有工具分析”為起點的研究，可以聚焦實踐中的真問題，采用開發主體多元化，優化、重構，或是原創等方式，通過實證研究，測試并評估教學工具支持兒童自主學習的效能。

三、行動策略

教學工具支持和改進數學教學，而數學教學則對教學工具提出設計與優化的需求，兩者的良性互動對兒童的自主學習產生積極影響。兒童自主學習最核心的部分就是促進兒童主動完成意義建構，這也是教學工具提供的“腳手架”功能和“支撐點”功能。然而，教學工具支持下的數學教學，需要注意以下行動策略。

（一）學段遞進的教學工具選擇

教師應依據兒童認知發展的階段性特征，以學段遞進的方式選擇合適的教學工具：第一學段明確要求，重在體驗；第二學段注重方法引領，積累經驗；第三學段強調問題探究，提升思維。從心理學角度分析，體驗是指真實經歷留下的感受，經驗則是實踐與認知反復循環的產物，而思維是人類所具有的高級認知活動，是對新輸入信息與腦中已儲存的知識經驗進行一系列復雜的心智操作的過程。因此，第一學段可以多選擇實物化教學工具；第二學段以實物化教學工具為主，適當增加抽象化教學工具，如圖表、符號、文字表征等；第三學段則可以多選擇抽象化教學工具。

例如，蘇教版教材一年級“11～20各數的認識”中，借助小棒、圓片、計數器等多種工具的操作，引導學生充分體驗“10個一就是1個十”。又如，二年級“三位數的退位減法”的教學，將實物化教學工具與半抽象教學工具相結合，設計如下的操作活動。

計算606-347。

①先在計數器上撥珠表示“個位不夠減，要從十位退1，十位上是0，要從百位退1”。

②百位退1到十位，當作10個十（10個十不撥珠，采用記數的方式，讓學生加深對“十進制”計數法的理解）。

③十位再退1到個位，當作10個一，與個位上的6合起來是16個一（十位退1，采用記退位點的方式；個位不撥珠，以記數與符號結合的方式，引導學生明確十位和個位上數的變化）。

如圖3所示，將計數器撥珠改為圖示演示，即實物化教學工具與半抽象化教學工具相結合。

再如，五年級“圓的面積”一課教學，較多應用的是如圖4-1所示的教學工具，推導圓面積是將圓轉化成等積近似的長方形。由于教學工具設計的限制，學生只能將圓轉化成近似的長方形，思維沒有被充分激活，即轉化的方法比較單一。在對現有教學工具進行優劣分析的基礎上，筆者進行了調整：用磁性白板作為底板，設計直徑為10厘米的圓并分成8等份（如圖4-2），引導學生根據問題“怎么把圓轉化成已經學過的圖形來計算它的面積”開展操作活動，同時磁性白板的書寫功能也很好地支持學生將操作轉化為思維過程。

實踐中，學生得到4個數學信息：①底為πr，高為r的近似長方形；②底為[12]πr，高為2r的近似平行四邊形；③上底為[28]πr，下底為[68]πr，高為2r的近似梯形；④8個底為[28]πr，高為r的近似三角形。

和原有教學工具相比，改進后的教學工具更能觀照學生個體的思維差異，讓學生借助操作來理解轉化前后圖形的聯系，特別是轉化前后的對比圖（圓與轉化后的圖形）以及白板的即時書寫功能，都能有效幫助學生理解知識。

（二）思維進階的工具操作

教學工具的應用不單單是操作活動，它需要與兒童的思維發展聯系在一起，促進兒童思維進階。因此，教學工具的設計與應用要與發展學生思維的活動緊密結合，以“做”促“學”。

教學一年級的學生認數時會用到百數表，教師可在百數表的基礎上設計百格圖。百格圖可以用于圖形的認識、圖形的操作，還可以支持認數、計算、概念等內容的教學。如認識小數的計數單位0.1、0.01、0.001等，借助百格圖可以很好地表征小數的計數單位與整數1的關系，同時也便于學生理解小數單位之間的進率關系（如圖5）。

當然，百格圖的應用遠不止于此，它還可以開發系列數學活動課程，如數獨、數和、聰明格、挖地雷等有趣的數學游戲。拓展教學工具的應用范圍，凸顯“形”與“數”之間的聯系；拓寬學生學習數學的思路，豐富學生對數學的認知，這就是教學工具對促進兒童自主學習的支持作用。

（三）素養導向的學習評價

教學工具支持下的數學學習，其核心是發展學科素養，行為表征是“用工具做”，即用“做數學”的方式去探究、去發現、去理解、去生成。基于此，對數學學習的評價就要將結果性評價轉變為過程性評價，方能凸顯學科的育人功能。

從“預”“聽”“做”“思”“說”五個維度的課堂行為進行評價（見表2）。特別是在“做”這一維度，根據不同年段設計對應的學習行為評價指標，其內涵就更為豐富，包括“做”的行為規則、“做”的組織建構等。這種評價體系的整體規劃會更有利于教師對學生學習過程的關注，從而促進學生綜合素養的全面發展。

教學改革對學習方式的探索從未停歇。教學工具給課堂學習的意義，亦未曾估量。教學工具對數學教學的支持與改進，數學教學又不斷優化著教學工具的設計與應用。教學工具與“做數學”相互關聯，想要深刻變革課堂教學，就要研究數學教學工具，支持兒童自主學習，這也是多元路徑中的一條重要研究跑道。

【本文系南京市中小學教學研究第十四期重點課題“設計思維理念下小學數學‘綜合與實踐’教學工具的開發與應用研究”（課題編號：2021NJJK14-Z10）階段性研究成果。】

（責編 覃小慧）