小學(xué)階段“尺規(guī)作圖”教學(xué)路徑的設(shè)計(jì)與實(shí)踐

［摘 要］尺規(guī)作為測(cè)量工具，有助于學(xué)生感悟線(xiàn)段的可加性及長(zhǎng)度單位的累加，從而提升量感。尺規(guī)是作圖的重要工具，能夠表示等長(zhǎng)線(xiàn)段的集合，有利于提升學(xué)生的推理和論證能力。文章探討了如何通過(guò)尺規(guī)比較線(xiàn)段長(zhǎng)度、深化概念理解、完善圖形知識(shí)，以及推導(dǎo)三角形三邊關(guān)系，以助力學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］尺規(guī)作圖；等長(zhǎng)線(xiàn)段的集合；三邊關(guān)系

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）29-0034-04

尺子和圓規(guī)是圖形與幾何學(xué)習(xí)中的核心作圖與測(cè)量工具，它們對(duì)于學(xué)生深入理解圖形概念、培養(yǎng)量感和形成空間觀念至關(guān)重要。特別是在小學(xué)階段，通過(guò)尺規(guī)探究三角形的三邊關(guān)系，可以有效提升學(xué)生的推理能力和核心素養(yǎng)。然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖以及運(yùn)用尺規(guī)解決問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)遇到各種難題。筆者就“脫離了圓的‘定點(diǎn)定長(zhǎng)’概念，學(xué)生對(duì)圓規(guī)的理解是怎樣的”課題對(duì)四年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研：給所有未接觸過(guò)尺規(guī)的學(xué)生一副圓規(guī)，要求學(xué)生介紹圓規(guī)、說(shuō)明用途并嘗試操作。結(jié)果顯示，76%的學(xué)生知道圓規(guī)的名稱(chēng)，68%的學(xué)生知道它可以用來(lái)畫(huà)圓，15%的學(xué)生能夠自主用圓規(guī)畫(huà)出圓，但對(duì)圓規(guī)的其他用途知之甚少，沒(méi)有學(xué)生想到用它來(lái)比較線(xiàn)段長(zhǎng)度。對(duì)此，筆者以小學(xué)階段尺規(guī)作圖經(jīng)歷的幾個(gè)階段為入口，基于大任務(wù)驅(qū)動(dòng)架構(gòu)教學(xué)環(huán)節(jié)，淺談尺規(guī)作圖不同階段的教學(xué)要點(diǎn)。

一、從尺規(guī)到長(zhǎng)度單位的累加

圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量緊密相連，學(xué)習(xí)測(cè)量能夠深化對(duì)圖形的理解。尺規(guī)作圖蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，可以培養(yǎng)學(xué)生的量感，讓他們體會(huì)到線(xiàn)段的可加性，以及長(zhǎng)度單位的累積。在小學(xué)階段，尺規(guī)與長(zhǎng)度概念的聯(lián)系主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

（一）尺規(guī)與線(xiàn)段的聯(lián)系

在第二學(xué)段，學(xué)生在學(xué)習(xí)“線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)”時(shí)，需要比較線(xiàn)段的長(zhǎng)度。比較線(xiàn)段長(zhǎng)短時(shí)，可以通過(guò)尺子精確地測(cè)量長(zhǎng)度，即感受單位長(zhǎng)度的累積；也可以使用圓規(guī)或無(wú)刻度的尺子進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度比較，即通過(guò)線(xiàn)段的移動(dòng)來(lái)感知長(zhǎng)短。在教學(xué)過(guò)程中，教師可圍繞三個(gè)任務(wù)（見(jiàn)表1）引導(dǎo)學(xué)生探究，讓學(xué)生在沒(méi)有刻度的尺子上進(jìn)行標(biāo)記，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生使用圓規(guī)來(lái)刻畫(huà)線(xiàn)段長(zhǎng)度，即以圓規(guī)兩腳尖的距離為標(biāo)準(zhǔn)，在學(xué)生理解長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)的概念后，通過(guò)移動(dòng)尺子或圓規(guī)將一條線(xiàn)段“搬運(yùn)”到另一條線(xiàn)段上。

在任務(wù)一中，學(xué)生通過(guò)無(wú)刻度的尺子或圓規(guī)比較線(xiàn)段長(zhǎng)度，深化對(duì)“線(xiàn)段長(zhǎng)度是兩點(diǎn)間的距離”這一概念的理解。在無(wú)刻度的尺子上進(jìn)行標(biāo)記和固定圓規(guī)兩腳尖的距離，都是將線(xiàn)段從有形轉(zhuǎn)化為無(wú)形的過(guò)程，學(xué)生在移動(dòng)尺規(guī)時(shí)經(jīng)歷了線(xiàn)段重疊的過(guò)程，提高了空間想象力。在任務(wù)二中，學(xué)生可以借助尺規(guī)在射線(xiàn)上截取與線(xiàn)段③等長(zhǎng)的線(xiàn)段。在任務(wù)三中，學(xué)生可以利用尺規(guī)在定點(diǎn)畫(huà)出多條等長(zhǎng)線(xiàn)段，感受到線(xiàn)段集合形成的圖形，為后續(xù)學(xué)習(xí)借助尺規(guī)初步認(rèn)識(shí)三角形和圓打下基礎(chǔ)。

（二）尺規(guī)與周長(zhǎng)的聯(lián)系

“周長(zhǎng)”是測(cè)量中的重要內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“線(xiàn)段”之后，將學(xué)習(xí)周長(zhǎng)。筆者利用常見(jiàn)的平面圖形，設(shè)計(jì)了三個(gè)教學(xué)任務(wù)（見(jiàn)表2），以尺規(guī)探究圖形周長(zhǎng)。

在任務(wù)一中，先讓學(xué)生探究三角形和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，引導(dǎo)學(xué)生理解三角形和四邊形的邊長(zhǎng)可以“展開(kāi)”成一條線(xiàn)段，從而感受到圖形周長(zhǎng)是可以測(cè)量的，理解周長(zhǎng)是長(zhǎng)度單位的累積。再通過(guò)類(lèi)比，讓學(xué)生理解圓的周長(zhǎng)也可以“展開(kāi)”成一條線(xiàn)段來(lái)測(cè)量。在任務(wù)二中，教師引導(dǎo)學(xué)生使用圓規(guī)和尺子將三角形的三條邊轉(zhuǎn)化到同一條直線(xiàn)上，感受三角形的周長(zhǎng)是三條線(xiàn)段長(zhǎng)度的累積。在任務(wù)三中，學(xué)生通過(guò)自主探索，靈活運(yùn)用周長(zhǎng)知識(shí)解決問(wèn)題。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形①和三角形②有一條邊重合，只需比較另外兩條邊之和，這也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短原理做好鋪墊。

通過(guò)尺規(guī)“展開(kāi)”圖形的周長(zhǎng)，學(xué)生可以體驗(yàn)尺規(guī)作圖，感受作圖過(guò)程中蘊(yùn)含的豐富轉(zhuǎn)化思想，形成空間觀念；同時(shí)，理解長(zhǎng)度的可加性，感悟測(cè)量的本質(zhì)是長(zhǎng)度單位的累積，從而在圖形與幾何領(lǐng)域培養(yǎng)量感。

二、從尺規(guī)到圖形概念的建構(gòu)

尺規(guī)不僅是測(cè)量線(xiàn)段長(zhǎng)度的工具，而且是繪圖過(guò)程中的得力助手。在引入三角形概念時(shí)，學(xué)生通常能直觀地認(rèn)識(shí)到三角形具有三個(gè)角和三條邊，然而能抽象出“三角形是由三條線(xiàn)段圍成的圖形”這一定義的學(xué)生并不多。通過(guò)尺規(guī)繪制三角形，學(xué)生能更深刻地理解“圍成”這一概念，從而更好地把握三角形的定義。認(rèn)識(shí)三角形的教學(xué)，可以圍繞以下三個(gè)任務(wù)展開(kāi)（見(jiàn)表3）。

由于學(xué)生對(duì)于三角形已積累了不少生活經(jīng)驗(yàn)，因此任務(wù)一鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)作和語(yǔ)言表述，幫助他們形成抽象的圖形概念。在任務(wù)二的探索中，學(xué)生可能會(huì)遇到三條線(xiàn)段畫(huà)的位置不對(duì)無(wú)法圍成三角形的情況，從而產(chǎn)生困惑。從學(xué)生的困惑入手，探討“為什么要找兩圓的交點(diǎn)”，聯(lián)系“三角形是由三條線(xiàn)段圍成的圖形”，通過(guò)尺規(guī)操作進(jìn)行思辨，從而完善三角形的概念。在任務(wù)三中，學(xué)生初步理解“三角形三邊確定后，其形狀是唯一的”，這既與三角形的穩(wěn)定性相關(guān)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形三邊關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

在“認(rèn)識(shí)三角形”這節(jié)課中，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生的需求和圖形的本質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行尺規(guī)作圖，以完善三角形的概念，幫助學(xué)生從對(duì)圖形的直觀認(rèn)知過(guò)渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念。在初中階段，學(xué)生還將學(xué)習(xí)使用圓規(guī)繪制角平分線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)等。圓規(guī)作為理解圖形的重要工具，可助力學(xué)生更深入地理解幾何概念。

三、從尺規(guī)到三角形三邊關(guān)系的推導(dǎo)

通過(guò)尺規(guī)作圖獲得的線(xiàn)段集合涵蓋了各種角度的等長(zhǎng)線(xiàn)段，還能使三角形三邊關(guān)系的建構(gòu)從應(yīng)用不完全歸納法轉(zhuǎn)向完全歸納法。下面探討基于尺規(guī)作圖的“三角形三邊關(guān)系”教學(xué)的課前準(zhǔn)備、課堂架構(gòu)和課后反思。

（一）“三角形三邊關(guān)系”的課前準(zhǔn)備

1.區(qū)分線(xiàn)段與邊的概念

在幾何圖形中，邊是基本構(gòu)成要素，只有當(dāng)線(xiàn)段構(gòu)成圖形時(shí)，才能稱(chēng)之為邊。教學(xué)三角形三邊關(guān)系的路徑通常有兩種：一種是通過(guò)觀察特殊三角形的三邊長(zhǎng)度，推測(cè)并驗(yàn)證三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)研究的焦點(diǎn)是邊；另一種是判斷三條已知長(zhǎng)度的線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形，進(jìn)而推測(cè)三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)研究的焦點(diǎn)是線(xiàn)段。注意在采用第二種路徑教學(xué)時(shí)，最好不要將未構(gòu)成三角形的線(xiàn)段稱(chēng)作邊。

2.關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知盲點(diǎn)

在探討三角形三邊關(guān)系時(shí)，教學(xué)往往側(cè)重于線(xiàn)段的長(zhǎng)度屬性。邊和角都是三角形的顯著特征，但角這一特征常被學(xué)生忽視。學(xué)生在研究三角形時(shí)，可能會(huì)錯(cuò)誤地將問(wèn)題歸因于線(xiàn)段的長(zhǎng)度，而忽略了線(xiàn)段的角度，從而導(dǎo)致認(rèn)知沖突。在這種情況下，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)作品進(jìn)行討論，幫助他們認(rèn)識(shí)到在構(gòu)建三角形時(shí)線(xiàn)段的角度是可以調(diào)整的，并意識(shí)到直接用尺子畫(huà)線(xiàn)段容易忽略三角形的角。在學(xué)生進(jìn)行自主探究后，教師可以利用這一認(rèn)知沖突作為引入尺規(guī)作圖的契機(jī)。

3.擺脫邊長(zhǎng)為整厘米的限制

為了便于學(xué)生比較，并減少測(cè)量誤差對(duì)分析三角形三邊關(guān)系的影響，教學(xué)中可以使用邊長(zhǎng)為整厘米的三角形進(jìn)行探究，以幫助學(xué)生找到解題思路。但在建立數(shù)學(xué)模型后，還應(yīng)關(guān)注解模過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從邊長(zhǎng)為整厘米的情況擴(kuò)展到邊長(zhǎng)為非整厘米的情況，從而經(jīng)歷從特殊三角形到一般三角形的探究過(guò)程，培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。

（二）“三角形三邊關(guān)系”的課堂架構(gòu)

1.尋求任務(wù)驅(qū)動(dòng)下的教學(xué)推進(jìn)

結(jié)構(gòu)化的課堂教學(xué)能顯著提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。筆者以?xún)蓷l長(zhǎng)度分別為9厘米和5厘米的線(xiàn)段為例，設(shè)計(jì)了兩個(gè)環(huán)節(jié)和三個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)，并采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法推進(jìn)教學(xué)，確保了教學(xué)的整體性和連貫性（如圖1）。

在環(huán)節(jié)一中，學(xué)生依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛑赋黾液蛯W(xué)校之間路線(xiàn)②最短。隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將路線(xiàn)①的兩條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為一條，將路線(xiàn)③的曲線(xiàn)變?yōu)橹本€(xiàn)，并比較各路線(xiàn)的長(zhǎng)度。環(huán)節(jié)二設(shè)計(jì)了難度逐漸增加的三個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生理解第三條線(xiàn)段長(zhǎng)度的限制，并通過(guò)開(kāi)放式活動(dòng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜測(cè)和驗(yàn)證，從而鞏固知識(shí)。通過(guò)環(huán)節(jié)一的“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，引出環(huán)節(jié)二的“三角形三邊關(guān)系”的數(shù)學(xué)論證，再利用環(huán)節(jié)二的結(jié)論和尺規(guī)作圖來(lái)解釋環(huán)節(jié)一的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，課堂環(huán)節(jié)緊密相連。

2.通過(guò)探究活動(dòng)經(jīng)歷猜想和驗(yàn)證過(guò)程

環(huán)節(jié)二中，筆者創(chuàng)設(shè)開(kāi)放式的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索和驗(yàn)證猜想的過(guò)程，并在操作后記錄自己的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生完成任務(wù)一后，筆者展示了四幅學(xué)生作品（如圖2），包括用紙條擺放（作品①）、紙條圍成（作品②）、尺子畫(huà)線(xiàn)（作品③）和圓規(guī)旋轉(zhuǎn)（作品④）的方法。學(xué)生認(rèn)為作品③不正確，筆者通過(guò)提問(wèn)“你認(rèn)為作品③失敗的原因是什么？”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考，豐富學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)，使尺規(guī)成為驗(yàn)證猜想的工具和學(xué)習(xí)需求。

3.借助尺規(guī)作圖完善定理建構(gòu)

僅有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不能形成系統(tǒng)的認(rèn)知體系，教師需要對(duì)學(xué)生的活動(dòng)結(jié)論進(jìn)行總結(jié)和提煉，以更接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在任務(wù)二中，筆者將紙條擺放和尺規(guī)作圖的方法相結(jié)合，從1厘米長(zhǎng)的線(xiàn)段開(kāi)始嘗試，每次增加1厘米，直至15厘米。

學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，第三條線(xiàn)段長(zhǎng)度在1～4厘米時(shí)無(wú)法構(gòu)成三角形，在5～13厘米時(shí)可以構(gòu)成三角形，而在14厘米及以上時(shí)又無(wú)法構(gòu)成三角形。學(xué)生發(fā)現(xiàn)第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度大于兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度之差，且小于兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度之和。筆者通過(guò)問(wèn)題“只有這些整厘米長(zhǎng)的線(xiàn)段才能與任務(wù)二中的線(xiàn)段構(gòu)成三角形嗎？”引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生很快通過(guò)散點(diǎn)找到了第三條邊的長(zhǎng)度范圍。

然后，筆者利用問(wèn)題“這些三角形的其中兩條邊都是長(zhǎng)5厘米和9厘米，那么一般三角形的三邊有什么關(guān)系呢？”，引導(dǎo)學(xué)生從特殊三角形過(guò)渡到一般三角形。學(xué)生在學(xué)習(xí)單上自由繪制三角形，用自己喜歡的方法驗(yàn)證想法，突顯了尺規(guī)作圖方法的普適性。

4.從數(shù)學(xué)定理回歸數(shù)學(xué)現(xiàn)象

在任務(wù)三的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)實(shí)物紙條開(kāi)展探究，將9厘米的紙條剪開(kāi)后與5厘米的紙條一起圍成三角形，并將這些三角形的5厘米邊重合，感受這些三角形的共性。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些三角形的頂點(diǎn)能形成一個(gè)封閉圖形——橢圓（如圖3）。這種幾何直觀不僅拓寬了學(xué)生的思維，也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味性，為后續(xù)探究圖形特征埋下了伏筆。

從數(shù)學(xué)定理回歸數(shù)學(xué)現(xiàn)象的教學(xué)過(guò)程，使得課堂結(jié)構(gòu)更加完整，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)定理之間的聯(lián)系。這樣的教學(xué)過(guò)程將難以用語(yǔ)言描述的內(nèi)容變得清晰，完善了學(xué)生的認(rèn)知。

（三）基于尺規(guī)作圖實(shí)踐的課后反思

尺規(guī)作圖能力的培養(yǎng)需經(jīng)歷一段較長(zhǎng)的時(shí)間。教師應(yīng)把握恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐與體會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用多種方法驗(yàn)證自己的猜想，而非僅限于尺規(guī)作圖。在探究過(guò)程中，學(xué)生自然能夠體會(huì)到尺規(guī)作圖的獨(dú)特價(jià)值和重要性。

總之，尺規(guī)作圖蘊(yùn)含了豐富的轉(zhuǎn)化與對(duì)應(yīng)思想。通過(guò)尺規(guī)作圖的教學(xué)，能夠促進(jìn)學(xué)生空間想象能力的提升，進(jìn)而增強(qiáng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 范林偉.從常識(shí)走向數(shù)學(xué)，突出數(shù)學(xué)化過(guò)程：特級(jí)教師朱國(guó)榮“三角形三邊關(guān)系”教學(xué)片段賞析[J].江西教育，2023（10）：46-50.

[2] 王廣科.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)：以“三角形三邊的關(guān)系”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（Z2）：31-32.

（責(zé)編 楊偲培）