學生立場·真實體驗·感悟本質

［摘 要］圓形是學生在小學階段需要掌握的最后一個平面圖形，也是他們接觸的第一個曲線圖形。文章分析了兩節課中“三次畫圓”的過程，從畫圓任務、畫圓順序、畫圓應用三個維度進行了深入分析，并探討“變式畫圓”與“感悟極限”的獨特價值和意義。

［關鍵詞］圓；三次畫圓；變式畫圓

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）29-0049-03

在2023年第十五屆小學數學教學改革觀摩交流展示培訓活動中，浙江省諸暨市暨陽街道暨陽小學的魏瓊老師執教的“認識圓”一課，所展現的“三次畫圓”教學策略，不禁讓筆者回想起十年前（2013年）自己也曾運用“三次畫圓”的方法幫助學生理解圓的概念。那么，魏老師設計的“三次畫圓”環節與筆者當年（2013年）設計的有何共通之處？又在哪些方面體現了更加深入的思考呢？筆者以為，通過對比分析前后十年兩節課的教學設計及其背后的理念，可以構建一個積極的對話平臺，開啟教研之路上的探索。

一、教學設計（見表1-1、表1-2）

二、比較分析

（一）兩節課的相同點

“基于學生立場，引發真實學習”是兩節課的顯著共性。兩節課均深入解讀了圓的“一中同長”本質，并基于學生學習的思維邏輯精心設計了畫圓活動，讓學生在活動中體驗，在體驗中感悟。

1.畫圓任務：動手操作助推概念形成

圓的靜態定義是指“平面上到定點的距離等于定長的所有點的集合”，而其動態定義則為“平面上一動點以一定點為圓心、一定長為距離運動一周所形成的軌跡”。面對這樣的抽象概念，如何引導學生認識并理解它？兩節課均采用了概念形成的教學策略，即通過畫圓活動，讓學生在眾多同類事物的不同例證中，探尋并發現相同的關鍵屬性。

在筆者的教學設計中，通過圓規畫圓、體育老師使用粉筆在地上畫圓，以及利用繩子畫圓這三種各具特色但本質一致的畫圓方法，使學生深刻體會到，唯有遵循“中心點保持不動”和“中心點到圓上任意一點的距離相同”這兩個原則，才能繪制出真正的圓。這三個例證讓學生在“能夠畫出圓”與“無法畫出圓”的對比中，逐步構建起圓的概念表象。

魏老師設計了“你能畫出2個大小不同的圓嗎？沒有圓規的情況下能否畫圓？用直尺可以畫圓嗎？”這三個核心任務，引領學生親歷畫圓的過程。學生從依賴圓規畫圓逐漸過渡到不依賴圓規，從使用工具畫圓發展到“想象”中的畫圓，從直觀到抽象，逐步探索并理解圓的本質特征。同時，魏老師還通過直尺畫圓的方法，讓學有余力的學生進一步體會到圓的“一中同長”特性，并領悟到“圓出于方”的理念。

借助畫圓時定點、定長的具體經驗，學生對圓的認識已經提升至“一中同長”的層面。兩節課都沒有簡單地采用畫圖、折疊、測量的操作方式，而是讓學生在活動經驗的基礎上進行想象，理解“圓的每條半徑相等”。這兩節課都強調了通過具體內容的教學，幫助學生培養數學思維的能力。

2.畫圓順序：遵循認知確定材料立序

教學過程中需要深入研究學習內容與學習者。對于學習內容，應探討其來源及其發展趨勢；對于學習者，則需重視其生活背景和學習基礎。

就學習內容而言，通過畫圓任務激發學生的主動性和獨立思考，從而讓他們體驗并理解圓的本質屬性：“一中”揭示了圓心在平面上的獨特地位，“同長”則是對圓內所有半徑等長的簡潔描述。例如，體育老師以自身為圓心畫圓，這便是圓規畫圓的現實原型。可以設想，必然存在其他畫圓工具，但圓規因其完美契合“一中同長”的本質特性，成為目前最常用的畫圓工具。

然而，對于學生來說，圓規往往是他們認知中的第一種畫圓工具。魏老師在課堂上提到：“我剛才讓大家畫圓，并沒有指定工具，但你們都自然而然地選擇了圓規。”這一現象在筆者的教學中也出現過。學生認識事物的順序與數學知識的形成過程往往并不一致。對數學家而言，從用繩子畫圓到用圓規畫圓是一種創新，而對學生來說，從用圓規畫圓到用繩子畫圓，則是在逐步理解圓的本質意義后的一種創新。

兩節課都嚴格遵循了學生的認知規律，從用圓規畫圓入手，引導學生將注意力從動手操作轉向動腦思考，從關注“如何畫好圓”轉向探究“圓的性質”，從日常生活經驗過渡到數學知識的理解。

3.畫圓應用：現象解釋深化圓的本質

在概念運用的環節中，兩節課都提出了這樣的問題：“你能用圓的知識解釋生活現象嗎？”除了“吃火鍋時使用的圓桌，其設計僅僅是為了美觀嗎？人們在觀看表演時，為何總是自然而然地圍成圓形？”這兩個問題，筆者還提出了“為什么車輪要做成圓形”的問題，而魏老師則提出了一個更具啟發性的問題：國際圓桌會議，桌子實際上是方形的，那么為什么被稱為圓桌會議呢？

這一環節有效地促使學生將抽象的概念用于現實情境中，進而加深對圓的本質屬性的理解。這種設計超越了簡單的知識點記憶和技能訓練，強調了知識學習應從理解過渡到應用，在真實情境中解決問題的過程，實際上就是發展學科核心素養的過程。

（二）兩節課的不同點

1.變式畫圓：從“操作認識”到“結構認知”

筆者展示的用圓規畫圓和體育老師用粉筆畫圓，以及用繩子畫圓的方法，本質上都是圓規或其原始形態的應用。這恰好體現了“變式理論”給予的重要啟示：為了幫助學生順利實現從具體實例過渡到抽象概念，在教學中不僅應提供“概念變式”和“標準變式”，還應提供“非概念變式”和“非標準變式”。

魏老師提出了問題，如“你能畫出2個大小不同的圓嗎？沒有圓規還能畫圓嗎？用直尺可以畫圓嗎？”。學生在使用圓規畫圓之后，魏老師會問：“有沒有什么經驗可以和大家分享？”而在不用圓規的情況下畫圓時，魏老師又會提問：“為什么旋轉一周就可以畫出一個圓，是把圓的什么特點表現出來了呢？沿著這個思路繼續思考，你還能想到其他畫圓的方法嗎？”接著，通過探討“這些方法為什么都能畫圓”的問題，引導學生意識到“萬物皆可畫圓”。當學生嘗試用直尺畫圓時，魏老師進一步提問：“為什么要畫正方形來構圖？哪些方法也能體現圓的半徑相等？有沒有方法可以畫得更圓？”每一次畫圓的過程，都不只是停留在實際操作的層面，還通過深入本質的操作來促進學生思考，從而實現從“操作性認識”到“結構性認識”的轉變。

2.感悟極限：從“想象猜圓”到“實踐畫圓”

筆者在課程的引入部分巧妙地融入了這一概念：從正三角形到正四邊形、正五邊形……隨著邊的數量不斷增加，當邊數趨向于無窮時，便形成了圓。這種引入方法旨在讓學生通過想象去感受圓與其他圖形之間的聯系，以及通過想象去領悟極限思想。

“圓擁有無數條半徑”和“圓出于方”的理念，揭示了從有限到無限的過渡，這是一種質的飛躍。因此，學生很難僅通過簡單的思考就能順利地接受這一概念。魏老師在教學中巧妙地運用了“直尺畫圓”的活動，將抽象的想象轉化為具體的實踐。學生在操作之后，魏老師展示了畫圓的過程圖（如圖1），并引導學生思考：如果繼續向下畫，會出現什么情況？如果擁有足夠的時間去畫，這個圓是否就能成為一個完美的標準圓？

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾曾說：“對學生而言，與其說學數學，不如說學習數學化。” 基于學生立場的三次畫圓練習，為個體生命成長的不確定性提供了發展空間；以學生為中心的教學設計激發了學生的想象力和創造力，使得學習過程充滿了樂趣。

（責編 黃 露）