對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識：從量率對應(yīng)走向分率關(guān)系

［摘 要］學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的過程中，會因?yàn)閷α柯屎头致实母拍罾斫獠煌笍囟霈F(xiàn)錯誤。針對這一現(xiàn)象，文章對常見的錯誤類型進(jìn)行了深入分析，并對教學(xué)材料及教學(xué)方法進(jìn)行改進(jìn)，通過對例題進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，使其具備開放性和探索性，幫助學(xué)生更深入地理解量率與分率的區(qū)別，進(jìn)而準(zhǔn)確把握分?jǐn)?shù)的概念。

［關(guān)鍵詞］分?jǐn)?shù)；量率；分率

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）29-0055-03

【案例呈現(xiàn)】

師（出示圖1）：你們猜猜，每只燕尾蝶分得這籃杜鵑花的多少呢？

生1：我覺得每只燕尾蝶分得一半，也就是這籃花的[12]。

師（出示圖2）：如果知道花籃里杜鵑花的具體數(shù)量，每只燕尾蝶又能分得這些杜鵑花的多少呢？

師：還是[12]，因?yàn)闊o論花籃里的杜鵑花有幾枝，還是裝成一籃，即一個整體，被平均分的對象是一籃，每份就是半籃，也就是所有花朵的一半。

（教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考并嘗試解決類似問題，再集體分享答案并進(jìn)行討論。教師在講解教材中的例題和練習(xí)題時，不斷強(qiáng)調(diào)使用規(guī)范的句式來表述整體的幾分之一。）

【案例分析】

在教學(xué)分?jǐn)?shù)概念時，盡管教師不厭其煩地強(qiáng)調(diào)部分與整體的關(guān)系，但許多學(xué)生在獨(dú)立練習(xí)時依舊感到力不從心。這主要是因?yàn)榻滩奈闯浞终宫F(xiàn)分?jǐn)?shù)的直觀應(yīng)用，使得學(xué)生難以把握。學(xué)生的基礎(chǔ)知識儲備和認(rèn)知發(fā)展水平也影響他們對分?jǐn)?shù)概念的理解。此外，教師的教學(xué)方法未能幫助學(xué)生建立起對分?jǐn)?shù)的直觀理解，例如，教師僅進(jìn)行了抽象和籠統(tǒng)的解釋，而未使用具體的物品或視覺輔助工具。這三個方面的問題，共同指向了一個根源——量率和分率的關(guān)系混淆。

一、量率關(guān)系模糊不清

在小學(xué)一、二年級，學(xué)生接觸的數(shù)量都是基數(shù)，用以表達(dá)物品的多少，通常都與實(shí)物數(shù)目一一對應(yīng)。到了三年級上學(xué)期，分?jǐn)?shù)概念開始進(jìn)入學(xué)生的視野，在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”單元中，教材以“分蛋糕”為例引入分?jǐn)?shù)的概念：將一個蛋糕平均分給兩個小朋友，每個小朋友得到半個蛋糕。這里的“半個”便是分?jǐn)?shù)的一種直觀表現(xiàn)形式，即[12]。

然而，教材中并未明確區(qū)分表示部分?jǐn)?shù)量的分?jǐn)?shù)和表示部分與整體關(guān)系的分?jǐn)?shù)。在分哈密瓜和冰紅茶等其他物品時，學(xué)生誤認(rèn)為分到的每份也是一個具體的數(shù)量，而非一個分率。這種混淆使得學(xué)生無法理解部分與整體的關(guān)系。

由于分?jǐn)?shù)無論是表示部分?jǐn)?shù)量，還是表示分率，書寫形式都是一致的，因此，學(xué)生在日常作業(yè)中并不會遇到問題。但是，當(dāng)課程進(jìn)展到更高級的分?jǐn)?shù)概念時，尤其是分?jǐn)?shù)不再直接對應(yīng)于具體數(shù)量，而是表示為一個分率時，學(xué)生就會感到困惑。這時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己難以理解分?jǐn)?shù)問題，因?yàn)樗麄儧]有完全掌握“量”與“率”之間的關(guān)系。

為了幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)，教師需要明確區(qū)分表示部分?jǐn)?shù)量的分?jǐn)?shù)和表示部分與整體關(guān)系的分?jǐn)?shù)，并通過多種教學(xué)方法和實(shí)踐活動幫助學(xué)生正確理解分?jǐn)?shù)概念。這包括提供清晰的解釋，使用具體的實(shí)例，進(jìn)行互動式探索活動，以及練習(xí)鞏固。

二、教學(xué)活動需要重構(gòu)

三年級的學(xué)生已對具體數(shù)量有了基本理解，但對于分?jǐn)?shù)這一表示部分與整體關(guān)系的概念仍感陌生。如果教師只是簡單直接地講授分?jǐn)?shù)，學(xué)生可能僅停留在表面的記憶與模仿，難以深入理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。為了幫助學(xué)生深刻地理解分?jǐn)?shù)，教師應(yīng)當(dāng)采取一系列活動，引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)量逐步過渡到分?jǐn)?shù)的概念。

1.利用具體物品進(jìn)行演示：使用日常生活中的物品，如水果、糖果或積木，來直觀展示整體與部分的關(guān)系。

2.通過比較來揭示差異：通過比較具體數(shù)量和分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生認(rèn)識它們之間的相似性和區(qū)別。

3.使用視覺輔助工具：借助餅圖、條形圖等工具幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的概念。

4.動手操作和實(shí)踐：鼓勵學(xué)生親自切割物品或操作分?jǐn)?shù)模型，以增強(qiáng)他們對分?jǐn)?shù)的直觀感知。

5.結(jié)合生活實(shí)例：將分?jǐn)?shù)的概念與學(xué)生的日常生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，如分享食物、分配時間等。

6.逐步增加難度：從簡單的分?jǐn)?shù)開始教學(xué)，逐步引入復(fù)雜的分?jǐn)?shù)概念，給予學(xué)生足夠的時間來理解和吸收。

7.鼓勵提問和討論：創(chuàng)造一個開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵學(xué)生提問、與同伴討論。

8.重復(fù)練習(xí)：通過不斷重復(fù)練習(xí)各種題型，幫助學(xué)生鞏固分?jǐn)?shù)的知識。

通過上述活動，教師可以有效地幫助學(xué)生從具體數(shù)量中抽象出分?jǐn)?shù)的概念，并將其內(nèi)化為自己的知識結(jié)構(gòu)。這樣，學(xué)生不僅能夠理解分?jǐn)?shù)的意義，還能夠在實(shí)際生活中靈活運(yùn)用分?jǐn)?shù)的概念。

【教學(xué)重構(gòu)】

在重構(gòu)教學(xué)活動的過程中，教師首先呈現(xiàn)了一個情境圖，接著邀請學(xué)生針對圖中的問題進(jìn)行回答。學(xué)生回答完畢后，教師將依據(jù)學(xué)生的反饋來調(diào)整教學(xué)策略，從而提高教學(xué)效果。

師：有一個裝著杜鵑花的籃子，2只美麗的燕尾蝶想要分得一些花朵。如果籃子里只有1枝花，每只燕尾蝶能分得多少呢？

生1：每只燕尾蝶分得半枝花。

師：沒錯！如果籃子里有2枝花呢？

生2：每只燕尾蝶分得一整枝花。

師：如果籃子里有3枝花呢？

生3：每只燕尾蝶分得一整枝花加半枝花。

師：非常好！無論籃子里有多少枝花，每只燕尾蝶分得的比例都是一樣的，對嗎？

生4：對！不管有多少枝花，每只燕尾蝶分得的都是這籃花的一半。

師：沒錯！這就是我們今天要學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的概念。為什么每只燕尾蝶分得的都是籃子里花數(shù)的一半呢？

生5：因?yàn)槲覀兛偸菍⒒ㄆ骄殖?份，每份就是一半。

師（出示圖3）：說得好！記住，無論總數(shù)是多少，只要平均分成2份，每份就是整體的一半。這就是分?jǐn)?shù)[12]的含義。

【案例反思】

在上述案例中，通過改編例題中的問題，教學(xué)效果有顯著的變化，包括：問題更貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，有效提升了學(xué)生的興趣和參與度；經(jīng)過修改的問題設(shè)計(jì)巧妙，能夠激發(fā)學(xué)生的高階思維能力，如分析和評價能力；調(diào)整后的問題滿足了不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，實(shí)現(xiàn)了差異化教學(xué)；問題的修改考慮到了學(xué)生的已有知識，確保了問題與學(xué)生知識結(jié)構(gòu)相匹配；鼓勵學(xué)生進(jìn)行交流和合作，提高了課堂互動的質(zhì)量和深度；在提問過程中，教師的引導(dǎo)方式既精準(zhǔn)又有效；問題引發(fā)了學(xué)生的情感共鳴，使學(xué)生在積極的情緒狀態(tài)下學(xué)習(xí)，進(jìn)而提高了學(xué)習(xí)效率；問題難度的適當(dāng)調(diào)整使學(xué)生感到挑戰(zhàn)適中，既避免了因難度過大而引起挫敗感，也避免了因過于簡單而失去興趣；修改后的問題直接指向教學(xué)目標(biāo)，確保了教學(xué)的目的性和方向性?？傊?，即使教師和教學(xué)流程保持不變，精心設(shè)計(jì)和調(diào)整問題，也能顯著提升教學(xué)效果。這要求教師必須不斷反思和優(yōu)化教學(xué)策略，以適應(yīng)學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求。

一、問題的提法從封閉轉(zhuǎn)向開放

在小學(xué)三年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中，處理部分與整體關(guān)系的問題時，教材往往采用封閉式問題，要求學(xué)生必須以分?jǐn)?shù)形式作答。這種做法并不完全順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

為了更好地契合學(xué)生的思維特點(diǎn)，可以對問題進(jìn)行重新構(gòu)建，設(shè)計(jì)開放式問題。這類問題允許學(xué)生以多種方式回答，既可以計(jì)算出具體數(shù)量，用實(shí)際數(shù)量來回答，也可以在具體數(shù)量變化時，用分率來表述。開放式問題更符合學(xué)生的思維習(xí)慣，使他們能夠從具體數(shù)量自然過渡到分?jǐn)?shù)。這樣，學(xué)生不僅能激活并運(yùn)用他們現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)，還能在實(shí)際操作中探索具體數(shù)量與分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而理解分?jǐn)?shù)的含義和用途，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時也能提高他們對數(shù)學(xué)概念的整體把握。

二、知識講解從零散趨向系統(tǒng)

對于那些易混淆的概念，若教學(xué)過程中不將它們與其他內(nèi)容聯(lián)系，往往難以深入理解。為了解決這一難題，可以運(yùn)用對比和關(guān)聯(lián)的教學(xué)策略幫助學(xué)生區(qū)分并理解這些概念。

在重構(gòu)前的教學(xué)中，教師過于強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的形式和計(jì)算規(guī)則，而未能充分突出分?jǐn)?shù)與其他數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系。這導(dǎo)致學(xué)生在面對具體問題時，難以判斷何時使用分?jǐn)?shù)，以及如何正確應(yīng)用。重構(gòu)后的教學(xué)則引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)際例子和操作活動，感受“量”和“率”之間的內(nèi)在聯(lián)系。例如，學(xué)生可以通過分配一定數(shù)量的物品來直觀地理解分?jǐn)?shù)所代表的部分與整體的關(guān)系。這種方法有助于學(xué)生從具體情境中抽象出分?jǐn)?shù)的概念，并理解分?jǐn)?shù)在不同情境下的適用性。學(xué)生的回答顯示，他們已能在不同情境中識別和應(yīng)用分?jǐn)?shù)，這表明他們對分?jǐn)?shù)有了深刻的理解。盡管重構(gòu)教學(xué)后，教學(xué)時間有所延長，但學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念的深入理解使得后續(xù)學(xué)習(xí)更加高效，減少了教師重復(fù)強(qiáng)調(diào)規(guī)范表述的需要。從整體來看，教學(xué)效果得到了顯著提升。

總之，面對眾多易混淆且相互關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)，單純地教學(xué)單一知識點(diǎn)往往無法達(dá)到理想效果。教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注知識點(diǎn)之間的異同，通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略向?qū)W生詮釋每個概念的內(nèi)涵，并揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生才能對數(shù)學(xué)知識有準(zhǔn)確、清晰的認(rèn)識，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 孫婷.“靶向”學(xué)情 順學(xué)而教 “深融”延學(xué)：以“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)參考，2023（32）：63-65.

[2] 吳汝萍.基于數(shù)概念的一致性，探索分?jǐn)?shù)的意義：以《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》教學(xué)為例[J].河北教育（教學(xué)版），2023（12）：32-35.

[3] 高杰，韓微微.當(dāng)“舊教材”遇上“新課標(biāo)”：“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”內(nèi)容重構(gòu)與教學(xué)實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2024（Z2）：21-23.

（責(zé)編 黃 露）