以小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)為例探究“說(shuō)理任務(wù)”的有效實(shí)施

［摘 要］思維的發(fā)展往往受語(yǔ)言的制約，而培養(yǎng)數(shù)學(xué)說(shuō)理能力能夠促進(jìn)思維能力的提升，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。在四年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行“數(shù)學(xué)說(shuō)理”個(gè)性化學(xué)習(xí)任務(wù)的實(shí)踐研究，旨在幫助學(xué)生在尋找理由、探索原理、研究理論的過(guò)程中發(fā)展思維能力，實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)理解。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)說(shuō)理；任務(wù)實(shí)施；數(shù)學(xué)理解

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）29-0069-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“三會(huì)”的理念，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。實(shí)際上，思維的發(fā)展往往受到語(yǔ)言的限制，而發(fā)展數(shù)學(xué)說(shuō)理能力能夠有效促進(jìn)思維能力的提升，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者在四年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展了“數(shù)學(xué)說(shuō)理”個(gè)性化學(xué)習(xí)任務(wù)的實(shí)踐研究，目的是讓學(xué)生在尋找理由、探索原理、研究理論的過(guò)程中積極參與，促進(jìn)他們思維能力的發(fā)展，并有效地實(shí)現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)理解。

一、思索：“數(shù)學(xué)說(shuō)理”與“數(shù)學(xué)理解”

（一）有理難說(shuō)的尷尬

教學(xué)并非簡(jiǎn)單傳授，學(xué)習(xí)也不僅僅是被動(dòng)接受，甚至學(xué)會(huì)了也并不意味著真正理解。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，尤其強(qiáng)調(diào)“理”的重要性。教師在面對(duì)學(xué)生時(shí)，常常因?yàn)閷W(xué)生不理解而感到沮喪，原因是沒(méi)有給予學(xué)生充分理解的空間。

例如，在解“按照順序計(jì)算，然后列出綜合算式”這類(lèi)題目時(shí)（如圖1），學(xué)生的表現(xiàn)往往不盡如人意。

為何學(xué)生面對(duì)直接給出的算式能夠熟練計(jì)算，一旦變換形式就感到無(wú)所適從？探究這一現(xiàn)象的根源，原因是教師擔(dān)心教學(xué)時(shí)間的限制等，教學(xué)時(shí)僅停留在表面，甚至采取回避的態(tài)度。加上長(zhǎng)期以來(lái)的機(jī)械訓(xùn)練，學(xué)生的思維自然變得僵化，難以靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，無(wú)法達(dá)到“真理解”的境界。

（二）“數(shù)學(xué)說(shuō)理”的價(jià)值

數(shù)學(xué)理解具有層次性。依據(jù)教育專(zhuān)家斯根普對(duì)理解的定義，可以將數(shù)學(xué)理解分為五個(gè)層次：前理解（尚未建立關(guān)系）、誤解（將對(duì)象歸入不適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知圖式中）、不充分理解（未能認(rèn)清對(duì)象的本質(zhì)屬性，錯(cuò)誤地將非本質(zhì)屬性納入適當(dāng)?shù)膱D式中）、理解（區(qū)分對(duì)象的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性及其關(guān)系，將對(duì)象納入適當(dāng)?shù)膱D式中）、后理解（在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象形成結(jié)構(gòu)）。實(shí)際上，所謂的“理解”既包括對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解，又包括從數(shù)學(xué)的角度去理解現(xiàn)實(shí)世界，可以概括為如圖2所示內(nèi)容。

一般而言，語(yǔ)言、思維與理解緊密相連。林崇德在《發(fā)展心理學(xué)》中提到，語(yǔ)言在小學(xué)生基本思維的發(fā)展中扮演著重要角色，它能夠促進(jìn)思維的深刻性、廣闊性、批判性和自我監(jiān)控能力的提升。“數(shù)學(xué)說(shuō)理”是通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)思考的過(guò)程。因此，“數(shù)學(xué)說(shuō)理”中的“說(shuō)”不僅包括外在的表達(dá)，還包括內(nèi)在的思考。內(nèi)在思考與外在表達(dá)相互作用，只有思考清晰，才能表達(dá)明白。

二、思行：無(wú)縫融合，有理說(shuō)理促理解

數(shù)學(xué)教育應(yīng)立足于學(xué)生的視角，實(shí)現(xiàn)多維度融合，引導(dǎo)學(xué)生思考，倡導(dǎo)有理有據(jù)的說(shuō)理，以邏輯的方式推進(jìn)，直擊數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，達(dá)到“真理解”的境界。

（一）創(chuàng)造“說(shuō)”的機(jī)會(huì)，以“尋”促理解

1.課內(nèi)多說(shuō)，孕育“理”

在課堂上，教師應(yīng)為學(xué)生提供“說(shuō)理”的空間，讓學(xué)生有理可說(shuō)，從而孕育“理”。為此，需要把握兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是“說(shuō)”的內(nèi)容，可以結(jié)合機(jī)械性問(wèn)題（如判斷對(duì)錯(cuò)）、識(shí)記性問(wèn)題（如知識(shí)點(diǎn)的回憶與陳述）、理解性問(wèn)題（需要思考后回答）和應(yīng)用性問(wèn)題（需要綜合思考并應(yīng)用于問(wèn)題解決）四種類(lèi)型進(jìn)行教學(xué)，其中機(jī)械性問(wèn)題因思維含量較低，應(yīng)適量使用；二是“說(shuō)”的時(shí)機(jī)，可以在復(fù)習(xí)、新知探索、練習(xí)等環(huán)節(jié)根據(jù)需要分層設(shè)置說(shuō)的機(jī)會(huì)，并將個(gè)體說(shuō)理與同伴互助結(jié)合起來(lái)，以深化“說(shuō)”的深度，促進(jìn)更深刻的理解。

2.課外延伸，激活“理”

除了課堂上的說(shuō)理，還可以根據(jù)學(xué)生的能力水平和發(fā)展需求，采用共性與個(gè)性結(jié)合的方式設(shè)計(jì)分層作業(yè)，將“數(shù)學(xué)說(shuō)理”作為個(gè)性化作業(yè)的一部分。例如，在教學(xué)“乘法運(yùn)算律”后，可以提出問(wèn)題“56×13+87的結(jié)果與 56×（13+87）的結(jié)果是否相等？”并讓學(xué)生說(shuō)明理由。有的學(xué)生認(rèn)為相等，因?yàn)?3和87可以湊整，都可以先計(jì)算13+87；有的學(xué)生認(rèn)為不相等，因?yàn)閮蛇叺慕Y(jié)果不同；還有的學(xué)生認(rèn)為不相等，因?yàn)樽筮呏挥?3個(gè)56，不能將13和87合并。通過(guò)說(shuō)，道理會(huì)更加清晰。

通過(guò)課內(nèi)多說(shuō)、課外延伸，適當(dāng)擴(kuò)展“說(shuō)”的時(shí)間和空間，學(xué)生就能在“尋”中理解，“理”不再局限于書(shū)本，而是變得更加生動(dòng)活潑。

（二）適切啟發(fā)“說(shuō)”的方式，在“探”中理解

數(shù)學(xué)思維活動(dòng)往往以?xún)?nèi)隱的形式默默進(jìn)行，盡管稱(chēng)之為“說(shuō)”理，但“說(shuō)”并不僅限于口頭表達(dá)，它可以采用多種表征方式，通過(guò)“說(shuō)”使思維可視化。

1.用文字表達(dá)“理”

在日常生活中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用文字來(lái)表達(dá)思維過(guò)程，通過(guò)在原有思維的基礎(chǔ)進(jìn)行加工，從而實(shí)現(xiàn)清晰、有邏輯的推理，提升語(yǔ)言組織能力和理解能力。例如，對(duì)于“將4653200000改寫(xiě)為以‘億’為單位的數(shù)，是否為46億？請(qǐng)闡述你的觀點(diǎn)”，以下是一些學(xué)生的想法（如圖3）。

顯然，學(xué)生B和學(xué)生C在閱讀、提取和理解數(shù)學(xué)信息上表現(xiàn)得更為出色。學(xué)生B展現(xiàn)了單點(diǎn)思維結(jié)構(gòu)，而學(xué)生C則達(dá)到了關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平。相比之下，學(xué)生A誤將問(wèn)題理解為求近似數(shù)。在這一過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)文字表達(dá)了對(duì)問(wèn)題的感知、分析和描述，形成深刻的體驗(yàn)，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.借圖形表征“理”

與文字相比，圖形更能形象地外化思維過(guò)程。例如，學(xué)生可以通過(guò)圖形來(lái)表征0.4和0.40相等的道理（如圖4），從直觀的圖中找到相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位來(lái)支撐，在清晰表達(dá)思維的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)本質(zhì)屬性的深度理解。

3.以符號(hào)表示“理”

符號(hào)是數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的重要工具，它具有簡(jiǎn)潔性、概括性和通用性，能夠?qū)⑻厥鈫?wèn)題一般化、將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生合理使用符號(hào)來(lái)表達(dá)“理”。

例如，為了加深學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解，并加強(qiáng)對(duì)其意義的轉(zhuǎn)化和互譯，從而構(gòu)建自我認(rèn)知體系，筆者從元認(rèn)知的角度出發(fā)，在文字表達(dá)現(xiàn)象和提煉規(guī)律的基礎(chǔ)上提出了說(shuō)理的要求：用你喜愛(ài)的方式表示乘法分配律，并說(shuō)明你的理由。于是，有的學(xué)生表示為“（□+☆）×△=□×△+☆×△，即（□+☆）個(gè)△相乘等于□個(gè)△加上☆個(gè)△”；有的學(xué)生將圖形與符號(hào)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行說(shuō)理（如圖5）。在此基礎(chǔ)上，筆者提出了“（a+b）×c=a×c+b×c”這一符號(hào)表征方式，既增強(qiáng)了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，又表達(dá)得簡(jiǎn)潔明了。

（三）適宜創(chuàng)生“說(shuō)”的層次，在“研”中理解

為了提升學(xué)生在說(shuō)理過(guò)程中的理解層次，教師可以構(gòu)建“說(shuō)”的不同層次，設(shè)置“小門(mén)檻”，提供“大空間”，使學(xué)生能夠輕松進(jìn)入“說(shuō)”的領(lǐng)域，從而在“研”中深化理解，促進(jìn)思維的進(jìn)階。

1.具身說(shuō)理，激活經(jīng)驗(yàn)性理解

在日常生活中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)有一些自然的感悟和初步的認(rèn)知。通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生進(jìn)行具身說(shuō)理，可以喚醒他們的經(jīng)驗(yàn)。例如，教學(xué)“兩點(diǎn)間的距離”這一概念時(shí)，可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)說(shuō)理活動(dòng)：小倩要去圖書(shū)館，走哪條路線最近，為什么？（如圖6）盡管學(xué)生可能會(huì)本能地選擇最短路線，但這種理解往往是表面的，因?yàn)樗麄儾⑽蠢斫獗澈蟮臄?shù)學(xué)原理。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角觀察世界，建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，逆向推導(dǎo)數(shù)學(xué)知識(shí)，可以實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的改造與重組，使學(xué)生深刻理解“兩點(diǎn)間的距離”概念，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力。

2.應(yīng)用說(shuō)理，達(dá)成工具性理解

理解能力的提升需要實(shí)踐應(yīng)用的支持。設(shè)計(jì)應(yīng)用說(shuō)理題，可以喚醒學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，引導(dǎo)他們運(yùn)用概念、原理等來(lái)判斷某一事物是否為概念的具體例證，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的工具性理解。例如，在討論三角形的概念時(shí)（如圖7），學(xué)生可以從四個(gè)圖形中尋找由三條線段首尾相接圍成的圖形，通過(guò)逆向分析來(lái)明確三角形的本質(zhì)屬性。

3.關(guān)聯(lián)說(shuō)理，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性理解

在具身說(shuō)理和應(yīng)用說(shuō)理的基礎(chǔ)上激活經(jīng)驗(yàn)性理解和工具性理解，找到知識(shí)的本質(zhì)與非本質(zhì)屬性之后可以進(jìn)一步進(jìn)行關(guān)聯(lián)說(shuō)理，以幫助學(xué)生將知識(shí)納入適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知圖式中，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性理解。例如，在學(xué)生了解了三角形的分類(lèi)之后，教師可以提出“一個(gè)三角形被信封遮住兩個(gè)角，這是一個(gè)什么三角形？”這樣的開(kāi)放性問(wèn)題。學(xué)生可以從角和邊兩個(gè)方面進(jìn)行分析，并聯(lián)系三角形的類(lèi)型，從而理解分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的不同會(huì)導(dǎo)致同一個(gè)三角形屬于不同的類(lèi)別。

4.遷移說(shuō)理，獲得創(chuàng)新性理解

當(dāng)學(xué)生的理解達(dá)到結(jié)構(gòu)化水平后，下一步是向創(chuàng)新性理解邁進(jìn)。雖說(shuō)是創(chuàng)新，但并非無(wú)中生有。教師需要為學(xué)生搭建“橋梁”，以促進(jìn)他們的遷移創(chuàng)新。例如，在探索了“三角形的內(nèi)角和是180度”之后，可以提問(wèn)：“你能想辦法求出一個(gè)四邊形的內(nèi)角和嗎？”學(xué)生可能會(huì)提出多種方法，如利用長(zhǎng)方形、正方形的特性，使用量角器測(cè)量，或者將內(nèi)角剪下拼成一個(gè)周角等。通過(guò)這樣的說(shuō)理過(guò)程，學(xué)生可以運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理，不斷遷移，從而深入思考并理解。這樣，他們甚至能夠?qū)ξ暹呅巍⒘呅巍璶邊形的內(nèi)角和進(jìn)行合理推理。

當(dāng)然，“說(shuō)”雖然只是一種表達(dá)方式，但它能夠有效地將“看”與“想”聯(lián)系起來(lái)。學(xué)生在“說(shuō)”中尋理、探理、研理，不但有助于發(fā)展數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力（“三會(huì)”能力），使理解水平不斷得到提升，還能在“說(shuō)理”中實(shí)現(xiàn)真正的理解。

（責(zé)編 金 鈴）