函數為

函數是高中數學的重要板塊，也是數學學習能力和數學核心素養的重要載體．在綜合題的復習中，要突出函數的本體特征，以函數的具體形式為出發點;科學選擇工具輔助分析，合理運用導數研究函數的性質．

２０２４年北京市海淀區高三期末測試第２０題，立足于函數自身的特征，要求學生通過對函數形式的分析，逐漸抽絲剝繭，合理轉化函數形態，并適當利用導數解決問題．該題以不等式為研究起點、以函數極值為主要研究對象、以曲線切線為創新點逐漸展開，函數形式新穎，深度考查了學生對函數極值概念的理解以及基于函數自身性質和圖像分析的解題方法，對函數綜合題的復習有一定的啟發意義．題目涉及的概念都是學生非常熟悉的，但是通過試卷反饋，學生對概念的準確把握和函數形式的合理應用還存在一定困難．本文通過對題目第（２）問的切線討論，探尋分析復雜問題的優選路徑．此外，本文將重點研究題目第（１）問，結合變式，突出函數本體，優化解題策略．

１ 題目分析解讀

題目 已知函數f（x）＝ax２－xsinx＋b．

（１）當a＝１時，求證：

（ⅰ）當x＞０時，f（x）＞b;

（ⅱ）函數f（x）有唯一極值點．

（２）若曲線C１ 與曲線C２ 在某公共點處的切線重合，則稱該切線為C１ 和C２ 的“優切線”．若曲線y＝f（x）與曲線y＝－cosx 存在兩條相互垂直的“優切線”，求a，b 的值．

分析 從直觀上看，本題考查函數極值的概念與判定方法，以及基于新定義的曲線切線問題．更深層次地看，本題考查了函數形式的轉化以及題目設問的轉化，突出函數的本體功能和導數的靈活應用，強調基本函數自身的變形，是設問由淺到深、分析問題的抓手由易到難的優秀案例．

本題第（１）問和第（２）問的設問方式看似獨立，實則考查了同一內核，即函數為體，導數為用．實際上，兩問都可以從函數的基本性質入手，例如，求解第（１）問時，可對函數f（x）的解析式合理分拆重組，求解第（２）問時，先初步判斷三角函數的有界性，再借助導數解決問題．如果選擇一味地求導，只會讓問題越來越撲朔迷離，與原本的問題實質漸行漸遠．特別是第（２）問的切線問題，首先需要抓住簡單函數進行處理，得到結論后再代入較復雜函數進行驗證，如果簡單列出導數求切線的基本步驟，很有可能止于復雜的計算，無功而返．接下來，我們從第（２）問開始談起．

２ 關于第（２）問中“優切線”的分析與思考

在研究一般曲線在某點處的切線問題時，若導數f′（x）存在，可以運用以下方法解決：設切點的坐標為（x０，f（x０）），函數f（x）在該點處的導數值即為切線的斜率，故得到切線方程

y－f（x０）＝f′（x０）（x－x０）．

就題目第（２）問而言，應該先從函數本身出發，考慮到函數解析式的簡潔性，先處理y ＝ －cosx，記g（x）＝－cosx．根據題意，首先要求曲線自身存在相互垂直的兩條切線，這對于g（x）＝－cosx 而言非常直觀易得;而后再研究兩條曲線在公共點處的“優切線”．g（x）＝－cosx 的導函數g′（x）＝sinx，其值域為[－１，１]．設曲線y＝f（x）與曲線g（x）＝－cosx的兩條互相垂直的“優切線”的切點的橫坐標分別為x１，x２，其斜率分別為k１，k２，則k１k２＝－１．因此兩點處的導數值只能取１ 和－１，即{sinx１，sinx２}＝{－１，１}，故切點的橫坐標基本確定．

我們先選定一個符合條件的切點x１＝２kπ＋π／２（k∈Z），滿足sinx１＝１．根據題目的描述，兩條曲線在x１ 處有“優切線”，其草圖大致如圖１所示．

條件等價于{f′（x１）＝g′（x１），f（x１）＝g（x１）． 函數f（x）的導函數為