常量代換齊次化 整體思維構(gòu)斜率

摘要：在求解直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題時(shí)，如果借助整體思維，通過齊次化的思想方法就可以巧妙構(gòu)造斜率，得到關(guān)于y/x的一元二次方程，從而將問題中涉及的兩條直線的斜率直接視為該一元二次方程的兩個(gè)根，然后根據(jù)韋達(dá)定理直接得到斜率之和與斜率之積的表達(dá)式．

關(guān)鍵詞：齊次化；圓錐曲線；斜率之和；斜率之積

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）25-0011-06

收稿日期：2024-06-05

作者簡(jiǎn)介：朱賢良（1981—），男，安徽省樅陽人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

對(duì)于涉及直線斜率之和為定值或斜率之積為定值的直線與圓錐曲線相交的解析幾何問題，其常規(guī)求解過程是先將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元，得到一元二次方程后利用韋達(dá)定理得到兩根的關(guān)系，再與題設(shè)條件中的直線斜率之和或斜率之積相關(guān)聯(lián)，最后求出結(jié)果.在求解過程中，聯(lián)立消元得到的方程的正確性以及由韋達(dá)定理得到的式子的形式與題設(shè)條件之間的合理轉(zhuǎn)化是運(yùn)算的關(guān)鍵［1］.這樣的“解題套路”的思路非常清晰，但其運(yùn)算量較大，考生常常一步算錯(cuò)，滿盤皆輸.能否找到一種計(jì)算量較小且容易獲得答案的方法，而且又能一般化？本文以近些年高考與模考中出現(xiàn)的此類解析幾何問題為例，探索齊次化方法的應(yīng)用.

1一道高考試題和它的常規(guī)求解思路

2整體思維與斜率的巧妙構(gòu)造

2.1“齊次化聯(lián)立”巧構(gòu)斜率

2.2“平移齊次化”化解疑難

評(píng)注利用“平移齊次化”解題的關(guān)鍵有二：一是坐標(biāo)系的平移，要注意平移前后的“變”與“不變”，特別是不能弄錯(cuò)曲線在新坐標(biāo)系中的方程；二是“齊次化聯(lián)立”，本題之所以將直線l′的方程設(shè)為mx′+ny′=1，就是考慮到接下來的常量代換，需要簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，從而順利實(shí)現(xiàn)齊次化的目的．

3齊次化方法解決一類斜率之和（積）問題

如例1的求解過程，“齊次化”是一種通過構(gòu)造關(guān)系式（等式或不等式）兩邊各項(xiàng)的次數(shù)相等，轉(zhuǎn)化為齊次式結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)解題的一種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方法．在求解圓錐曲線問題時(shí)，如果借助齊次化的思想方法，就可以由直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于y/x的一元二次方程，從而將題目中涉及的兩條直線的斜率直接視為該一元二次方程的兩個(gè)根，再根據(jù)韋達(dá)定理，即可直接得到斜率之和與斜率之積的表達(dá)式［2］.

4結(jié)束語

從以上四例的求解可以看出，齊次化方法充分體現(xiàn)了運(yùn)用坐標(biāo)法求解圓錐曲線綜合問題的整體構(gòu)思.齊次化聯(lián)立能得到什么樣的結(jié)論？能解決什么樣的問題？平移齊次化又能達(dá)到什么樣的效果？平移后的“變”與“不變”怎樣來解釋平移前的問題？只有對(duì)齊次化方法有了整體的認(rèn)知，才能將求解的思路形成一個(gè)整體構(gòu)思，從而更好地領(lǐng)悟解析方法的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

參考文獻(xiàn)：

［1］魏欣.齊次平移巧解一類圓錐曲線問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（21）：3-6.

[2] 項(xiàng)海圓，黃永明.巧用齊次化方法解圓錐曲線問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（07）：40-42.

［責(zé)任編輯：李璟］