對一道2024屆T8聯(lián)考題的解法探究與拓展

摘要：直線與圓錐曲線的綜合題一直是近幾年高考及模考的重點和熱點問題，其內(nèi)容豐富，涵蓋了代數(shù)、幾何等模塊的眾多知識，還涉及許多解題技巧，能考查考生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；直線斜率；圓的切線

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）25-0017-04

收稿日期：2024-06-05

作者簡介：賀鳳梅（1979—），女，湖北省隨州人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圓錐曲線的切線的斜率求解問題逐漸成為高考及模考的常考題型，通常把直線、圓及圓錐曲線等知識融合在一起，注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是對函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想等的考查[1]，符合課程標準中“對數(shù)學(xué)能力的考查要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想和方法為基礎(chǔ)”的要求.下面以2024屆T8聯(lián)考圓錐曲線解答題為例進行分析與探究，以饗讀者.

1試題呈現(xiàn)

2總體分析

本題是2024屆高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評價數(shù)學(xué)試題（即T8聯(lián)考）第20題，是直線與圓錐曲線的綜合題.此題以橢圓為載體，第（1）問是求橢圓方程，根據(jù)題目所給信息以及a，b，c之間的關(guān)系，列出等式即可求出，屬于基礎(chǔ)題.第（2）問常規(guī)方法易求，設(shè)直線AC的斜截式方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式以及三角形面積公式聯(lián)合求解即可.不過筆者通過計算與求解發(fā)現(xiàn)，除了參考答案中的常規(guī)解法外，還可以以AB為底邊，點C到AB的距離為高轉(zhuǎn)化求解.因為直線AC與圓相切，也可以借助切點寫出切線方程，再利用兩種轉(zhuǎn)化策略求解.另外，還可以將問題進行進一步拓展和推廣，得到一般結(jié)論.以下具體分析與探討，期待能對大家有所啟發(fā).

3試題解答

評注 此解法是以切點坐標設(shè)出直線AC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，處理方法與解法1異曲同工，讀者朋友們自行閱讀與領(lǐng)會.

評注此解法是結(jié)合了解法3設(shè)直線AC的方法，面積的轉(zhuǎn)化和求解與解法2如出一轍.只要我們善于研究與探討，一定會發(fā)現(xiàn)各種解法之間的關(guān)聯(lián)性，從而拓寬解題思路，提升解題能力.

4拓展與推廣

以上的探討與解答只是對此道題的分析，如果就此止步，未免可惜.根據(jù)題目數(shù)據(jù)的設(shè)置，結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，圓的半徑是橢圓的短軸長，由此猜想，△ABC面積是否與橢圓中的a，b，c以及直線AC的斜率k有內(nèi)在聯(lián)系呢？于是嘗試將問題一般化，進行推廣.

評注此法采用的是解法1的求解方法，得出了△ABC的面積與橢圓中的a，b，c以及直線AC的斜率k的關(guān)系.據(jù)此，試題就有了研究與應(yīng)用的價值，大家可以依托數(shù)據(jù)關(guān)系給出相關(guān)的變式題了，感興趣的同仁們不妨一試！

5試題鏈接

評注直線與圓錐曲線試題中涉及求直線斜率與方程的題在歷年高考與模考題中均有體現(xiàn)，需要引起大家的重視.

6結(jié)束語

直線與圓錐曲線的綜合題在高考與模考中均以壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定、弦長問題、面積問題、定點定值問題、最值問題、直線的斜率問題等.解答這部分試題，需要較強的運算求解能力和識別圖形的能力，常常需要快速準確地進行“數(shù)”與“形”的語言轉(zhuǎn)換與運算，運算過程中注重思維的嚴密性，以保證結(jié)果的完整性.突出考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，對分析問題和解決問題的能力要求都很高[2].

參考文獻：［1］

劉雄杰.圓錐曲線的切線斜率研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（21）：46-47，53.

[2] 劉志浩.圓錐曲線問題的幾何思考[J].課程教學(xué)研究，2013（11）：132.

［責(zé)任編輯：李璟］