多思維應(yīng)用 巧追根溯源 妙變式拓展

摘要：借助一道三角函數(shù)最值題的剖析，從多思維應(yīng)用入手進行“一題多解”，合理追根溯源進行“試題鏈接”，開拓數(shù)學(xué)思維進行“變式拓展”，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；最值；不等式；導(dǎo)數(shù)；幾何

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）25-0021-03

收稿日期：2024-06-05

作者簡介：張春梅（1981.1—），女，湖北人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

三角函數(shù)的最值問題是高考的重點和熱點之一.此類問題往往題設(shè)條件簡捷明了，切入思維方式多樣，問題突破點不盡相同，解題技巧與方法多變，是全面考查數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)能力的基本考點之一，備受關(guān)注.“一題多解”是克服學(xué)生思維定式的一種有效途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一種有效方法［1］.本文對一類三角函數(shù)最值問題進行研究，多角度、多思維探究解題方法，進一步豐富學(xué)生的解題策略，幫助學(xué)生培養(yǎng)綜合分析問題的能力，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1問題呈現(xiàn)

在實際解題時，往往是合理回歸三角函數(shù)中最值（或取值范圍）問題的解題思維與技巧，可以采用不等式思維、導(dǎo)數(shù)思維以及幾何思維等來切入，合理選用相應(yīng)的方法來轉(zhuǎn)化與求解，實現(xiàn)問題的突破與解決［2］.

2問題破解

2.1不等式思維

解后反思該方法也是通過兩次放縮來處理，綜合利用不等式的性質(zhì)（a≤|a|）與均值不等式（abcd≤（a+b+c+d4）4）等，合理配湊吻合三角函數(shù)的平方關(guān)系來轉(zhuǎn)化是利用均值不等式放縮的關(guān)鍵.

2.2導(dǎo)數(shù)思維

解后反思導(dǎo)數(shù)法是解決函數(shù)的單調(diào)性與最值等相關(guān)問題中比較常用的一種技巧方法.通過相應(yīng)函數(shù)的求導(dǎo)運算，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值判斷，進而確定相應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性，JzE0NxFSaY1lYirljLesmEzrNc/SfpF2PbrLl3xCv3A=就可以比較直接地確定相應(yīng)函數(shù)的最值.

2.3幾何思維

解后反思根據(jù)所求三角函數(shù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，充分挖掘其實質(zhì)，合理創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型的解題意境.通過構(gòu)建平面幾何圖形，抓住圖形的幾何特征與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合也是解決一些三角函數(shù)問題的一種“巧技妙法”，開拓數(shù)學(xué)思維與解題技巧.

3考題鏈接

4變式拓展

5結(jié)束語

解決涉及三角函數(shù)關(guān)系式的最值（或取值范圍）問題，往往基于三角函數(shù)的本質(zhì)與內(nèi)涵，從基本概念、基本性質(zhì)以及基本公式等入手，合理尋找問題的切入點，借助其他相關(guān)的知識加以分析與求解.這是解決此類涉及三角函數(shù)關(guān)系式的最值（或取值范圍）問題的“通性通法”，也是命題的基本基石，要加以合理把握［3］.

波利亞曾說過，掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.

這就要求學(xué)習(xí)者在實際解題中，要樹立正確的解題觀，認(rèn)真分析仔細(xì)探究，從不同思維方式的切入進行“一題多思”，從不同技巧方法的應(yīng)用進行“一題多解”，從不同應(yīng)用層面進行“一題多變”，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)與思維習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］于先金，唐鵬久.由一道高考三角最值題引發(fā)的探究[J].河北理科教學(xué)研究，2023（02）：59-61.

［2］ 施華.一個三角最值題的多種解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（02）：53.

［3］ 吳迪.一道高考三角最值題的解與變[J].數(shù)理天地（高中版），2019（03）：46-47.

［責(zé)任編輯：李璟］