“概率與統計”在實際問題中的應用分析

摘要：“概率與統計”知識被廣泛應用于解決日常生活中的各類實際問題之中，其知識內容和實際生活有著緊密的聯系.文章通過分析典型的實際問題強化學生數學知識點的內化與遷移能力，使學生能夠擁有利用數學知識解決生活實際問題的能力.

關鍵詞：高中數學；概率與統計；實際問題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）27-0050-03

正確理解與熟練運用“概率與統計”中的一些分析方法，能夠有效幫助學生分析與處理一些日常生活中難以解決的實際問題.在利用“概率與統計”相關知識解決實際問題時，要先確定好事件性質，判斷事件的運算，進而選擇合適的數學公式進行問題求解.

1最大利潤問題中應用數學期望

在“概率與統計”中，數學期望具有分析隨機變量總體取值平均水平的能力，其最終所得結果是表示其平均水平的重要數字特征.數學期望的應用范圍具有較強的寬泛性，其在實際生活中主要用于經濟決策的相關問題中，經過縝密計算后所得的期望結果可以為決策者的各類決策提供可靠的理論依據，使其通過數字了解各項決策后潛在的風險和利潤[1].

例如，某人存在投資需求，其投資金額為1 000萬元整，由于個人原因，其投資期限僅為一年.各大投資機構所提出的投資方案有兩種，分別是存入銀行獲取固定利息以及購買股票[2].通過對股票市場環境進行分析，可以得出1 000萬元投入股市一年后存在三種結果：經濟形勢良好的情況下可以獲利約400萬元；經濟形勢不好的情況下約損失200萬元；經濟形勢普通或宏觀不變的前提下可以獲利約100萬元，且上述三種經濟形勢的出現概率依次是30％，20％以及50％.若將1 000萬元存入銀行，假設千萬級別的年利率為7.6％，則可獲利約76萬元.請問，若投資人想獲取最大利潤，則應當選擇哪種投資策略？

分析根據現有的已知條件，若想保證投資人獲取最大利潤，則理想狀態下應當選擇購買股票且股市經濟形勢處于良好趨勢，但若股市的經濟形勢不好，則存入銀行獲取固定利息的方案可以為投資人帶來最大利潤.此外，若股市經濟形勢普通，則購買股票可以為投資人帶來最大利潤.由于購買股票的策略中存在三種不同且彼此獨立的情況，無論是股市經濟形勢良好還是普通，購買股票策略均優于存入銀行獲取固定利息策略，反之則存入銀行獲取固定利息策略優于購買股票.但股市經濟形勢瞬息萬變，僅能獲知不同情況的出現概率，無法得知真實情況，因此需要比較兩種投資方案的獲利期望大小，從而判斷兩種方案的優先性.

2實際問題中應用中心極限定理

對于高中概率統計而言，其中的中心極限定理、大數定律等相關概念具有十分關鍵的地位與重要作用，是數理統計和概率論之間承上啟下、承前啟后的重要樞紐.隨著社會經濟的不斷發展，各個行業均已開始應用中心極限定理、大數定律等相關概念的數學模型，并逐漸滲入至人們的日常生活中.

例如，已知在A保險企業內存在一萬人參保壽命保險，續保條件為每人每年在壽命保險中投入12元保費.假設某年內單人死亡概率為0.6％，且該人員死亡后其家屬可以通過壽命保險依據向保險公司領取1 000元.（1）在上述行業背景下，A保險企業出現負營收概率為多少；（2）在上述已知條件不變的前提下，若想保證A保險企業的年利潤高于60 000元，則需要將賠償金額設置在多少？

3路線選擇問題中應用正態分布

正態分布無論是在數學研究領域還是實際生活中均有著較強的應用普適性和寬泛性，究其原因是在各個領域或行業所產生的實際問題中的大多數隨機變量的分布概率均服從正態分布規律，諸如生產條件標準、規范的前提下，產品的長度與口徑等指標；個人能力統計中，人員的實際操作能力、學習能力等；醫學領域中，個體的血紅蛋白數量、紅細胞數量、白細胞數量等；物理領域中，測量相同物體時所產生的誤差等.上述所存在的隨機變量均相似地呈正態分布規律.

例如，已知人員A需要在上海某地乘車前往上海站乘坐高鐵，綜合考慮時間、是否堵車等相關因素，人員A在上海某地前往上海站的行程路線有兩條，其一是乘坐上海市內公交車，該行程路線的優勢在于行程短，劣勢在于所需時間長且交通擁堵，服從正態分布N（50，102）；其二是乘坐上海市內某地鐵，該行程路線的優勢為交通通暢，不存在擁堵情況，劣勢在于整體路線較長，服從正態分布N（60，42），問題中所涉及的時間均以min為單位.（1）若人員A需要在68 min內抵達上海站，應當選擇哪種行程路線；（2）若人員A的可用時間從68 min縮減至62 min后，其應當選擇哪種行程路線？

4實際問題中應用古典概率

對于古典概率而言，其本質上屬于概率學中最為古老、簡單的一種概率模型.由于古典概率模型的結構簡單，因此其在各個行業中的應用局限性相對較弱，具有較強的普適性.在諸多問題中均可以使用古典概率進行解決.

例如，在某屆某局的國際象棋比賽中，出戰雙方分別是國際選手A與國際選手B，通過對國際選手A與B的往屆戰績、實際排名等相關數據進行分析、統計，可以發現國際選手A在每局國際象棋比賽中的勝率為0.45、國際選手B在每局國際象棋比賽中的勝率為0.55.假設本屆國際象棋比賽中存在五局三勝制度和三局兩勝制度兩種比賽方式，則若想提高國際選手A的勝率，則應當選擇哪種比賽方式？

5結束語

綜上所述，“概率與統計”知識與實際生活緊密相關，教師要根據實際學情，選擇合適的實際問題案例培養學生利用“概率與統計”知識解決問題的能力，進而通過典型問題案例引導學生自主完成知識的內化與遷移，提高教學的有效性.

參考文獻：

［1］ 于珊珊，趙越，劉丹. 新冠疫情防控問題在教學中的應用探討：以《概率論與數理統計》課程為例[J]. 高等數學研究，2023，26（4）：46-49.

[2] 李亞瓊，潘禹辰，徐文彬，等. 高考概率與統計試題的統計與分析：以2021年全國課標卷為例[J]. 數學教育學報，2022，31（3）：20-25.

[3] 張麗靜，趙魯濤，李娜. 基于唯物辯證法的概率論與數理統計課程思政建設與實踐[J].大學數學，2022，38（2）：51-65.

［責任編輯：李璟］