基于STEAM理念的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

【摘要】數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)指向知識(shí)的深度理解與關(guān)聯(lián)，符合學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的訴求.立足STEAM理念，結(jié)合“找尋中式古建冠冕中的數(shù)學(xué)”，從項(xiàng)目啟動(dòng)階段、項(xiàng)目規(guī)劃階段、項(xiàng)目開展階段、項(xiàng)目公開評(píng)價(jià)4個(gè)關(guān)鍵教學(xué)階段出發(fā)，探討了基于STEAM理念的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)設(shè)計(jì).

【關(guān)鍵詞】STEAM；數(shù)學(xué)文化；項(xiàng)目學(xué)習(xí)；古代建筑;中式屋頂

STEAM教育是一種綜合性的教育模式，它將科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)和數(shù)學(xué)融合在一起，旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、解決問題的能力和團(tuán)隊(duì)合作精神.STEAM教育的核心理念是將不同學(xué)科之間的知識(shí)和技能相互融合，以創(chuàng)造性的方式解決實(shí)際問題.STEAM教育可以概括為“以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，通過工程和藝術(shù)解讀科學(xué)和技術(shù)”[1].數(shù)學(xué)被視為STEAM教育的基石，能夠促成科學(xué)、技術(shù)、工程和藝術(shù)四門學(xué)科的有機(jī)融合.數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的重要組成部分，其實(shí)質(zhì)是以數(shù)學(xué)學(xué)科為核心，統(tǒng)整融合自然、人文、社會(huì)等學(xué)科[2].值得注意的是，數(shù)學(xué)文化、STEAM理念和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)在強(qiáng)調(diào)學(xué)科融合、解決真實(shí)問題、促進(jìn)創(chuàng)新能力培養(yǎng)等方面存在耦合性[3].鑒于此，開發(fā)基于STEAM理念的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)案例是值得關(guān)注和探賾的.本文嘗試以“找尋中式古建冠冕中的數(shù)學(xué)”為例，以期力證STEAM理念、數(shù)學(xué)文化和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)聯(lián)動(dòng)關(guān)系，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)開展跨學(xué)科活動(dòng)提供可行的思路與路徑；同時(shí)挖掘中國古代建筑蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，豐富中國本土化的教學(xué)資源庫以此探索具有中國特色的項(xiàng)目學(xué)習(xí).

1項(xiàng)目啟動(dòng)階段

1.1主題統(tǒng)整

主題統(tǒng)整指向的是STEAM理念下數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)層面，是項(xiàng)目學(xué)習(xí)發(fā)生的基本抓手，是整個(gè)數(shù)學(xué)文化教學(xué)的核心.而如何將文化主題以項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)的形式進(jìn)行設(shè)計(jì)，并拆解成以數(shù)學(xué)學(xué)科為中心、融合各學(xué)科的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是案例開發(fā)的關(guān)鍵.鑒于此，STEAM理念下的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)的主題統(tǒng)整可以從文化、數(shù)學(xué)和學(xué)科三大角度斟酌.

從文化關(guān)聯(lián)角度來看，屋頂是中國古代建筑的冠冕，是我國傳統(tǒng)建筑的主要構(gòu)造與形態(tài)表征，是民族審美文化的張揚(yáng).就中式屋頂?shù)奈镔|(zhì)層面而論，屋頂?shù)男螒B(tài)成因、多樣類型、精妙營造有待探究.就中式屋頂?shù)木駥用娑裕N(yùn)含著天人合一、道法自然的理念和原生質(zhì)樸、簡(jiǎn)約和諧的中式美學(xué)，凝聚著中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的氣韻神形.因此，中式屋頂作為中國本土化的教學(xué)資源亟待挖掘，可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)中國特色的項(xiàng)目學(xué)習(xí).

從數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)角度來看，以屋頂為主題的項(xiàng)目學(xué)習(xí)包含圓錐曲線和三角函數(shù)兩個(gè)主要知識(shí).以橢圓、雙曲線以及拋物線等曲線為學(xué)習(xí)生長點(diǎn)，探究最速降線的存在性；利用三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)演繹推理求解拋物線和擺線方程.其中蘊(yùn)含函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、建立數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)思想方法.通過數(shù)學(xué)文化的融入，使學(xué)生感悟約翰·伯努利、萊布尼茨等數(shù)學(xué)家們刻苦鉆研、探索真理的精神；在屋頂模型的制作與鑒賞中感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與和諧美.因此，基于屋頂蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素，可以開展數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí).

從學(xué)科關(guān)聯(lián)角度來看，屋頂中蘊(yùn)藏著多學(xué)科屬性，探究屋面中最速降線是否存在屬于科學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，而最速降線方程的推導(dǎo)借助物理學(xué)科中的光的折射、能量守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)等內(nèi)容.同時(shí)，加入信息技術(shù)軟件制作曲線、擬合曲線、工程設(shè)計(jì)并藝術(shù)欣賞屋頂模型.概言之，與物理、工程、技術(shù)和藝術(shù)等學(xué)科的知識(shí)密切相關(guān)，可以開展以中式古建屋頂為主題的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目學(xué)習(xí).

結(jié)合以上文化、數(shù)學(xué)和學(xué)科三大視角，本文嘗試將項(xiàng)目主題統(tǒng)整為“找尋中式古建冠冕中的數(shù)學(xué)”，圍繞中式古建筑的屋頂模型這一構(gòu)建性作品的制作及其蘊(yùn)含的多學(xué)科知識(shí)等展開學(xué)習(xí).

1.2目標(biāo)確定

基于STEAM理念的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目式學(xué)習(xí)不僅要凸顯數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和跨學(xué)科價(jià)值[4]，同時(shí)，項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的中國建構(gòu)需要價(jià)值觀作為靈魂[5].因此，具體細(xì)分為基礎(chǔ)知識(shí)、能力素養(yǎng)和精神品質(zhì)三個(gè)維度.

基礎(chǔ)知識(shí)：能夠借助物理中光的折射、能量守恒定律等內(nèi)容以及數(shù)學(xué)中三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容演繹推理獲得最速降線存在的條件以及相應(yīng)的曲線方程；能夠結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)探索其中蘊(yùn)含的拋物線方程；了解費(fèi)馬光速最值原理、斯涅爾定律等科學(xué)定理以及幾何畫圖軟件的基本操作.

能力素養(yǎng)：協(xié)商簡(jiǎn)易中式古建筑的屋頂模型的實(shí)施方案，培養(yǎng)全局意識(shí)和工程思維；能夠借助數(shù)學(xué)中圓、雙曲線和拋物線等曲線進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)探究的能力；推理得到最速降線方程，整理數(shù)據(jù)并提取信息，構(gòu)建曲線模型，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；利用GeoGebra技術(shù)軟件繪制圓錐曲線和最速降線、擬合拋物線，實(shí)現(xiàn)數(shù)字化學(xué)習(xí)與創(chuàng)新，發(fā)展批判性思維；在欣賞并制作屋頂模型中，增強(qiáng)創(chuàng)新設(shè)計(jì)和物化等能力.

精神品質(zhì)：滲透最速降線的數(shù)學(xué)文化，卷入曲折的探索歷程，在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家們堅(jiān)持不懈、追求真理的精神的同時(shí)，生成動(dòng)態(tài)的、易謬主義的數(shù)學(xué)觀，感受數(shù)學(xué)臻于完善的過程；在認(rèn)識(shí)曲線與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)中，感悟數(shù)學(xué)的跨學(xué)科內(nèi)涵與科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值等價(jià)值觀念，塑造樂學(xué)善學(xué)、探究創(chuàng)新和團(tuán)結(jié)合作的態(tài)度與品質(zhì)；在屋頂模型的物化中，洞見中國古代勞動(dòng)人民的智慧，理解文化保護(hù)的社會(huì)責(zé)任，實(shí)現(xiàn)文化持續(xù)性教學(xué).

2項(xiàng)目規(guī)劃階段

師生活動(dòng)：在確定項(xiàng)目主題與目標(biāo)后，挖掘最速降線的相關(guān)史料、數(shù)學(xué)家故事等數(shù)學(xué)文化作為項(xiàng)目素材.聚焦項(xiàng)目成果，師生統(tǒng)籌規(guī)劃后，降維拆解如下三大關(guān)聯(lián)任務(wù).

任務(wù)1：探究屋頂?shù)摹巴滤病保航柚∏蜍壍赖目茖W(xué)實(shí)驗(yàn)，探究能夠使雨水下落速度最快的屋頂?shù)淖顑?yōu)曲線，并用技術(shù)工具擬合曲線.

任務(wù)2：探究屋頂“溜水遠(yuǎn)”：在保證排水速度最快的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究能夠使屋頂雨水排至最遠(yuǎn)的曲線.

任務(wù)3：舉屋營造制作屋頂模型：補(bǔ)充舉架、舉折和提棧等相關(guān)建筑知識(shí)，制作簡(jiǎn)易的中式屋頂模型并規(guī)劃與舉辦展覽活動(dòng).同時(shí)，進(jìn)一步優(yōu)化改進(jìn)模型并延伸思考，制作更多不同類型的傳統(tǒng)屋頂.

同時(shí)，師生立足STEAM理念，共建項(xiàng)目知識(shí)網(wǎng)（圖1），為學(xué)生的持續(xù)性探究提供索引，回歸最終成品的產(chǎn)出.本項(xiàng)目規(guī)劃為2個(gè)課時(shí)，其中第一課時(shí)完成任務(wù)1，第二課時(shí)展開任務(wù)2，3.

3項(xiàng)目開展階段

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，識(shí)別問題

我國傳統(tǒng)建筑從外形上分為下中上三部分，大體為三段式結(jié)構(gòu)，即由屋頂、屋身和臺(tái)基三個(gè)基本部分構(gòu)成.屋頂是房屋建筑的冠冕，承載著中華五千年的歷史.無論是廡殿、歇山、硬山還是懸山屋頂式的建筑，在屋頂曲線中都呈現(xiàn)出一種越向上越陡峭，越向下越平緩的反曲屋面形式.這種反曲屋面是中國古代建筑的重要特征之一，是功能、結(jié)構(gòu)、形式的高度統(tǒng)一.今天，就讓我們一起走進(jìn)中式建筑的冠冕，找尋屋頂中的數(shù)學(xué)密碼.

問題1-1：如圖2，觀察中西方單體類建筑的屋頂圖樣，它們的屋頂面有什么不同？而中式建筑的屋頂具有什么樣的特征？

問題1-2：為什么中國古建筑的屋頂大都采用曲形屋面？

問題1-3：屋頂模型的制作過程蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)知識(shí).建筑和數(shù)學(xué)究竟有著什么關(guān)系？我們是否可以借助數(shù)學(xué)知識(shí)，動(dòng)手制作一個(gè)簡(jiǎn)易的中式古建筑的屋頂模型呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生小組間展開交流，比較中西建筑屋頂?shù)男螤钐卣骷肮δ苄枨螅饾u將話題聚焦于中式建筑特有的凹面屋頂，鼓勵(lì)不同文化背景、不同發(fā)展水平的學(xué)生提出屋頂生成機(jī)制的合理猜想，加深學(xué)生對(duì)中式建筑的文化感知與鑒賞.為豐富學(xué)生的認(rèn)知，教師補(bǔ)充生成凹面屋頂?shù)囊延型普摚◣つ徽f、杉樹說、構(gòu)造說和功能說等，為后續(xù)的項(xiàng)目探究埋下伏筆.

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)文化情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極的情緒準(zhǔn)備，體會(huì)中西建筑文化的異同，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)中式建筑的文化感知與文化鑒賞.從兼具開放性和彈性的真實(shí)問題出發(fā)，為不同文化背景、發(fā)展水平的學(xué)生留有適切的思考起點(diǎn)和充盈的思考空間，以此生成的答案富有原創(chuàng)性和復(fù)雜性，培養(yǎng)學(xué)生收集信息的能力和批判性思維.同時(shí)，制作屋頂模型這一項(xiàng)目成果為學(xué)生能夠以數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維以及數(shù)學(xué)的語言觀察、思考和表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題提供機(jī)會(huì)，構(gòu)建貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)始終的數(shù)學(xué)生態(tài)場(chǎng)域，進(jìn)一步找尋中式古建冠冕屋頂中的數(shù)學(xué).

任務(wù)1：探究屋頂?shù)摹巴滤病?

環(huán)節(jié)2：組建團(tuán)隊(duì)，科學(xué)實(shí)驗(yàn)

師生活動(dòng)：學(xué)生討論坡曲屋頂?shù)某梢蚍治龊螅處熞龑?dǎo)學(xué)生集中于功能說，進(jìn)一步探究屋頂排水這一功能的合理性和科學(xué)性.考慮到接下來的任務(wù)形式多樣且具有一定的挑戰(zhàn)性，學(xué)生通過填寫索引卡選擇合作伙伴以此組建有效合作團(tuán)隊(duì).

問題2-1：當(dāng)雨水分別從斜面屋頂和曲面屋頂向下滑，哪種屋面下滑速度快？你能嘗試用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證你的猜想嗎？

師生活動(dòng)：基于對(duì)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一定理的熟知，學(xué)生容易產(chǎn)生思維定勢(shì)，即錯(cuò)誤推測(cè)斜面屋頂上的雨水下落最快.為了糾正這一誤解，開展科學(xué)實(shí)驗(yàn)顯得尤為必要，而真實(shí)的屋頂實(shí)驗(yàn)存在安全隱患，師生進(jìn)行乒乓球軌道的模擬實(shí)驗(yàn)，利用硬紙板、熱熔膠和鐵絲等材料分別制作兩條等高等底的直線和曲線軌道.實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生把乒乓球放置在軌道頂端后，同一時(shí)間松開小球令其自行下滑.考慮到乒乓球的彈性和重量等因素產(chǎn)生誤差，調(diào)換乒乓球所在的軌道，重復(fù)以上實(shí)驗(yàn)并取平均值.

問題2-2：在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中我們發(fā)現(xiàn)在曲面軌道上的小球下滑速度更快，相當(dāng)于曲面屋頂?shù)呐潘δ芨茫Y(jié)合之前所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，你能否試著猜想一下這是一條怎么樣的曲線？

師生活動(dòng)：學(xué)生聯(lián)系過去所學(xué)習(xí)的不同曲線，猜測(cè)這條曲線可能是圓弧、橢圓、雙曲線或拋物線.為了驗(yàn)證猜想，小組合作制作以上的曲線軌道與教師課前準(zhǔn)備好能使小球最快下落的軌道進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn).

數(shù)學(xué)文化融入：追溯至1630年，意大利科學(xué)家伽利略也陷入了同樣的困惑：當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，從一給定的點(diǎn)滑向其下方不垂直的另一點(diǎn)時(shí)，若不考慮摩擦力，質(zhì)點(diǎn)沿著怎樣的曲線滑下所需時(shí)間最短.伽利略的猜想是圓弧，但從以上實(shí)驗(yàn)中我們可以發(fā)現(xiàn)圓弧并非正確答案.直到1696年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利就這一問題向全歐洲的數(shù)學(xué)家發(fā)起公開挑戰(zhàn).約翰·伯努利在求解這一問題時(shí)運(yùn)用到了幾何光學(xué)的知識(shí)，接下來我們一起來看看他是如何探究的？

設(shè)計(jì)意圖：鑒于學(xué)生的文化認(rèn)知兼具同喻性和不均衡性，教師應(yīng)思慮創(chuàng)建什么樣類型的團(tuán)隊(duì)，以及什么時(shí)候需要進(jìn)行團(tuán)隊(duì)合作，才能使生生共創(chuàng)形成學(xué)習(xí)共同體，在互動(dòng)中培養(yǎng)合作技能以及引發(fā)深度學(xué)習(xí).學(xué)生熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”這一定理，自然會(huì)產(chǎn)生思維定勢(shì)，由路程最短猜測(cè)斜面屋頂上的雨水下落時(shí)間最短，這正符合最初古希臘數(shù)學(xué)家的論斷.開展小球軌道的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，既可以積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又直接得到路程最短的線路并不等同于所用時(shí)間最短的路線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)探究興趣.數(shù)學(xué)文化的融入，使學(xué)生能夠跟隨數(shù)學(xué)家的腳步經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，從中讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的生長性和建構(gòu)性，進(jìn)而產(chǎn)生文化共鳴.

環(huán)節(jié)3：類比推理，數(shù)學(xué)求解

科學(xué)融入：學(xué)生在課前回顧物理選擇性必修中的幾何光學(xué)知識(shí)，包括折射、折射率、折射率與速度之間的關(guān)系和光程等基本概念.教師補(bǔ)充介紹費(fèi)馬光速最值原理，引導(dǎo)學(xué)生將小球下滑的過程等效成光在折射率連續(xù)變化的介質(zhì)中傳播的過程，類比折射光線在不同介質(zhì)中光程取極值路徑的性質(zhì)，小球在軌道的下落運(yùn)動(dòng)過程中也可以分成若干個(gè)不同區(qū)域.

問題2-3：如圖3所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)分別位于折射率為n1，n2的介質(zhì)中，A，B兩點(diǎn)的橫向距離為d，縱向距離為2l.兩種介質(zhì)的分界面位于x軸，光在C點(diǎn)發(fā)生折射，位置為（x，0）.其中入射光線AC為l1，出射光線CB為l2，入射角為θ1，折射角為θ2.能否利用數(shù)學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的光程取極值時(shí)應(yīng)滿足什么條件嗎？

師生活動(dòng)：由于數(shù)學(xué)所研究的是純粹的量，因此，不能滿足于對(duì)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行實(shí)際的檢驗(yàn)，還必須從理論上加以論證[6].學(xué)生首先計(jì)算得到光線從A點(diǎn)到B點(diǎn)走過的路程為s=n1l1+n2l2=n1l2+x2+n2l2+（d-x）2，因?yàn)閟是x的函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)后可得dsdx=n12x2l2+x2+n22（x-d）2l2+（d-x）2=n1xl1+n2x-dl2=n1sinθ1-n2sinθ2，當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)，滿足n1sinθ1=n2sinθ2.學(xué)生發(fā)現(xiàn)光線從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，傳播方向通常會(huì)發(fā)生改變，其入射角、折射角與兩種介質(zhì)的折射率之間存在關(guān)系.教師進(jìn)行補(bǔ)充說明該結(jié)論最初由荷蘭數(shù)學(xué)家威里布里德·斯涅耳發(fā)現(xiàn)，稱為斯涅爾定律（光的折射定律）.

學(xué)生進(jìn)行公式代換，將v1=cn1，v2=cn2代入n1sinθ1=n2sinθ2，其中v1，v2分別是光線在兩種介質(zhì)中傳播的速度，c為真空中的光速，可得sinθ1v1=sinθ2v2，可以發(fā)現(xiàn)光在介質(zhì)中的傳播速度與界面法線的夾角的比值為常數(shù)，記為sinθv=C.

問題2-4：如圖4所示，設(shè)屋頂面的雨水從A到B運(yùn)動(dòng)過程中任一位置縱坐標(biāo)y對(duì)應(yīng)的速度為v，v與y軸方向的夾角α，與x軸方向的夾角為φ，是否存在這樣一條使雨水下滑時(shí)間最短的屋頂曲線呢？類比光線傳播，你能試試推導(dǎo)這條曲線的方程嗎？

師生活動(dòng)：類比光線沿著光程為極值的路徑傳播應(yīng)滿足的條件sinθv=C，雨水下滑運(yùn)動(dòng)同樣適用.根據(jù)機(jī)械能守恒定律，雨水的運(yùn)動(dòng)速度記為v=2gy.因?yàn)橛晁\(yùn)動(dòng)位置與x軸方向的夾角為φ，所以y′=tanφ，而sinα=cosφ=11+tan2φ=11+y′2.那么sinαv=12gy1+y′2=C，可以求出這條使雨水下滑時(shí)間最短的曲線的微分方程y（1+y′2）=C.

學(xué)生將y（1+y′2）=C轉(zhuǎn)化為dx=yC-ydy后，發(fā)現(xiàn)方程形式依舊復(fù)雜.故教師引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的知識(shí)將方程中的根號(hào)去掉，令y=Csin2φ，則dx=C（1-cos2φ）dφ，x=C2（2φ-sin2φ）+C0（C0為任意常數(shù)）.出于對(duì)方程簡(jiǎn)潔性的考慮，由A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)確定C0=0，令θ=2φ，R=C2，最終得出曲線方程為x=R（θ-sinθ），y=R（1-cosθ）.

數(shù)學(xué)文化融入：數(shù)學(xué)家約翰·伯努利將這條曲線稱為“最速降線”，又名擺線.最速降線問題可以說是數(shù)學(xué)史上最鼓舞人心的一次公開挑戰(zhàn).首先，參與挑戰(zhàn)的人數(shù)空前，且得出正確答案的數(shù)學(xué)家頗負(fù)盛名.例如，牛頓和萊布尼茨從不同角度入手建立了微積分；而伯努利兄弟二人是奇跡家族中的杰出人物；洛必達(dá)年幼時(shí)就展露出數(shù)學(xué)天賦并解決了擺線難題.其次，挑戰(zhàn)中出現(xiàn)的解法各有千秋，其中雅各布·伯努利的解法表露出了變分的思想且更具普適性和廣泛應(yīng)用性[7].

設(shè)計(jì)意圖：由于數(shù)學(xué)所研究的是純粹的量，任何觀察或?qū)嶒?yàn)的對(duì)象都必然具有特定的質(zhì)的內(nèi)容，因此，不能滿足于對(duì)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行實(shí)際的檢驗(yàn)，還必須從理論上去對(duì)此加以論證[7].另外，教師應(yīng)明確項(xiàng)目學(xué)習(xí)并非從始至終在團(tuán)隊(duì)中進(jìn)行，同時(shí)并非所有的任務(wù)都適合團(tuán)隊(duì)合作.于是，相較于上一環(huán)節(jié)的探究實(shí)驗(yàn)，該環(huán)節(jié)更關(guān)注學(xué)生獨(dú)立思考、推理運(yùn)算的過程，利用導(dǎo)數(shù)求極值的數(shù)學(xué)知識(shí)確定光程應(yīng)滿足的條件，進(jìn)而通過嚴(yán)格的推理求出最速降線的曲線方程，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).與此同時(shí)，結(jié)合約翰·伯努利的的求解思路與費(fèi)馬光速最值原理和斯涅爾定律等科學(xué)原理，以數(shù)學(xué)史料和其他學(xué)科的聯(lián)系來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化性，親歷數(shù)學(xué)曲折的創(chuàng)造過程，體會(huì)數(shù)學(xué)家們勇于探索、追求真理的精神.

環(huán)節(jié)4：虛擬驗(yàn)證，技術(shù)制作

問題2-5：我們發(fā)現(xiàn)最速降線是具體存在的并且明確了其參數(shù)方程，傳統(tǒng)的手繪難以處理復(fù)雜的曲線，你能否試著運(yùn)用技術(shù)軟件繪制出最速降線呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生查閱相關(guān)文獻(xiàn)和程序資料后，師生共同利用GeoGebra軟件繪制直線、最速降線、圓弧和拋物線等曲線.在最速降線的繪制中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)最速降線的參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化（注意縱坐標(biāo)軸改變，y取負(fù)值），轉(zhuǎn)化為xy=θ-sinθcosθ-1，R=xθ-sinθ.于是，教師逐步拆解并詳細(xì)解釋程序，學(xué)生按照提示在GeoGebra指令欄中輸入“θ=x（描點(diǎn)（x（A）/y（A）（cos（x）-1）=x-sin（x）））”，求出θ的值；再輸入“R=x（A）/（θ-sin（θ））”，求出R的值；進(jìn)而繪制出最速降線（圖5）.隨后，教師利用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)模擬小球在不同曲線上的下滑實(shí)驗(yàn)（圖6），無論參數(shù)如何調(diào)整，可以發(fā)現(xiàn)沿最速降線下滑的小球所需時(shí)間始終是最短的.

生活應(yīng)用：最速降線在生活中有著廣泛的應(yīng)用.在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，最速降線用于預(yù)測(cè)藥物在體內(nèi)的釋放速率和吸收路徑，確保藥物以最優(yōu)的方式達(dá)到治療效果；在工程領(lǐng)域，電影院或報(bào)告廳中座椅前低后高的坡度安排，可以提供觀眾最佳的觀賞體驗(yàn)；在藝術(shù)與設(shè)計(jì)領(lǐng)域，繁花曲線規(guī)這一玩具通過大小齒輪的配合與滾動(dòng)，可以繪制出流暢而多變的擺線花紋.

設(shè)計(jì)意圖：在之前的科學(xué)實(shí)驗(yàn)中我們能夠判斷小球下滑的快慢，但并未精確求出小球下滑所需的時(shí)間.考慮到時(shí)間求解的復(fù)雜性，利用技術(shù)軟件進(jìn)一步佐證結(jié)論.GeoGebra技術(shù)軟件輔助最速降線的項(xiàng)目學(xué)習(xí)，為學(xué)生提供“再創(chuàng)造”的環(huán)境，將圓弧、圓錐曲線等曲線圖象可視化，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)舊知的動(dòng)手操作與合作體驗(yàn)，體會(huì)深層的數(shù)學(xué)思想；通過對(duì)最速降線化簡(jiǎn)與繪制的過程，體會(huì)知識(shí)生成與“微創(chuàng)造”的過程.而教師利用GeoGebra制作演示動(dòng)畫，再現(xiàn)并驗(yàn)證科學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，使其更具說服力.而最速降線的生活應(yīng)用的融入，正是揭示了數(shù)學(xué)對(duì)科學(xué)、工程與藝術(shù)等其他學(xué)科發(fā)展的影響，加深對(duì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值的理解.

任務(wù)2：探究屋頂“溜水遠(yuǎn)”.

問題3-1：為了加快排水速度，屋頂曲線采用了最速降線；為了減少雨水的侵害以此來保護(hù)建筑的“中分”和“下分”，即屋身和臺(tái)基，如何進(jìn)一步優(yōu)化屋頂曲線呢？

師生活動(dòng)：教師重提古籍中的經(jīng)典名句“上尊而宇卑，則吐水疾而溜遠(yuǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生考慮古文中的第二層含義“溜遠(yuǎn)”.學(xué)生大膽猜想飛檐的制作與“溜水遠(yuǎn)”之間存在一定的關(guān)系，保護(hù)屋身和臺(tái)基，為優(yōu)化屋頂模型指引方向.

問題3-2：雨水離開切線基本水平的屋檐后，是以何種軌跡下落的？

師生活動(dòng)：因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)形似拋物線，學(xué)生容易猜想雨水的下落軌跡可能是拋物線.為了驗(yàn)證猜想，學(xué)生開展平拋實(shí)驗(yàn)來收集相關(guān)數(shù)據(jù)，由教師示范傳感器和計(jì)算機(jī)并分別測(cè)得物體的水平和豎直位移，接著師生合作完成9組數(shù)據(jù)的采集工作（表1）.

若拋出點(diǎn)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，軌跡應(yīng)滿足一元二次函數(shù)的解析方程，則具體解析式可以表示為f（x）=ax2.學(xué)生在GeoGebra軟件的表格區(qū)中輸入數(shù)據(jù)，再將其創(chuàng)建為點(diǎn)列.執(zhí)行“fit”指令將點(diǎn)列擬合成與f（x）同樣形式的函數(shù)F（x）.從圖7中觀察發(fā)現(xiàn)，并非所有點(diǎn)都滿足函數(shù)F（x），但總體來說與圖象基本吻合，說明猜想有其合理性.為了進(jìn)一步檢驗(yàn)和完善模型，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“rsquare”這一新指令，以此獲得點(diǎn)列與F（x）的相關(guān)系數(shù)為b=0.985，說明誤差在可接受范圍內(nèi)，那么平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡確實(shí)為拋物線.學(xué)生掌握指令后，自主探究點(diǎn)列與一次函數(shù)（c=0.925）、三次函數(shù)（d=0.864）以及其他函數(shù)的相關(guān)系數(shù).最后，從數(shù)值上顯示，二次函數(shù)的相關(guān)系數(shù)最高，即點(diǎn)列最符合二次函數(shù)關(guān)系（圖7）.

問題3-3：我們已經(jīng)知道切線基本水平的屋檐的排水軌跡，你能試著證明這樣的屋檐能夠把雨水排到最遠(yuǎn)嗎？[TPZWZ-8a.TIF;Z1，Y][TS（1][JZ]圖8[TS）]

師生活動(dòng)：學(xué)生利用物理中所學(xué)的能量守恒定律以及平拋運(yùn)動(dòng)等相關(guān)知識(shí)，假設(shè)從B處以水平速度v0將物體拋出（圖8），若不計(jì)空氣阻力，則物體在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)，豎直方向h為下落高度，可表示為h=12gt2，而物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間只與平拋運(yùn)動(dòng)開始時(shí)的高度有關(guān)，t=2hg.又因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)中物體在水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，將t代入水平位移公式x=v0t=v02hg.觀察公式，可以發(fā)現(xiàn)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移由初速度與平拋開始時(shí)的高度共同決定；當(dāng)小球拋出的方向與水平方向的夾角越小，則拋出的水平距離也就越遠(yuǎn)，從而科學(xué)解釋了水平切線的檐口“溜水遠(yuǎn)”的原因.

設(shè)計(jì)意圖：在探究屋頂?shù)摹巴滤病边@一任務(wù)后，以古籍中的經(jīng)典名句為索引，自然過渡至探究屋頂“溜水遠(yuǎn)”，以此進(jìn)一步優(yōu)化最終作品.借助平拋運(yùn)動(dòng)的物理背景，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)并分析問題，到通過實(shí)驗(yàn)收集數(shù)據(jù)，再到利用技術(shù)軟件擬合曲線，確定函數(shù)模型，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).同時(shí)，教師并未止步于模型的建立，通過讓學(xué)生學(xué)習(xí)操作指令獲得函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，檢驗(yàn)與完善數(shù)學(xué)模型，養(yǎng)成學(xué)生的誤差意識(shí)、反思能力以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.在確定軌跡后，對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)一步“數(shù)學(xué)化”，證明切線基本水平的屋檐能夠達(dá)成“溜水遠(yuǎn)”的效果，從感悟推理這一數(shù)學(xué)基本思想躍升至嚴(yán)密化的數(shù)學(xué)精神，從而使學(xué)生理解數(shù)學(xué)文化的本質(zhì).

任務(wù)3：舉屋營造制作屋頂模型.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，中國古代營造者在不知曉最速降線的情況下是如何近似擬合曲線的，并適時(shí)介紹舉屋制度.舉屋制度是中國傳統(tǒng)建筑確定屋頂曲面曲度的營造方法，這一方法在宋《營造法式》中名為舉折，在清工部《工程做法》中稱為舉架，在記述江南建筑做法的《營造法源》中謂之提棧.教師邀請(qǐng)匠人講授不同時(shí)期確定屋頂曲度的營造之法，各小組選擇不同的營造方法制作個(gè)性化的項(xiàng)目制品，彰顯項(xiàng)目學(xué)習(xí)的核心要素“學(xué)生的發(fā)言權(quán)與選擇權(quán)”[8]，發(fā)展學(xué)生對(duì)圖樣的識(shí)讀和物化能力，感受工匠們的智慧巧思與民族的文化積累.

4項(xiàng)目公開評(píng)價(jià)階段

師生活動(dòng)：各小組完成模型后，教師組織學(xué)生參與古建展覽會(huì)的規(guī)劃與實(shí)施，提前確定活動(dòng)日期并邀請(qǐng)學(xué)生的家庭成員.該階段不僅僅是項(xiàng)目作品的展示，也應(yīng)重視項(xiàng)目過程的公開，即讓學(xué)生解釋自己如何思考和完成項(xiàng)目，匯報(bào)并展示各項(xiàng)成果，包括屋頂模型、項(xiàng)目里程碑和匯報(bào)發(fā)言等.

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的評(píng)估量規(guī)應(yīng)緊密圍繞項(xiàng)目主題與目標(biāo)，整合學(xué)生、同伴、教師及行業(yè)匠人等多方視角，融合結(jié)果性、表現(xiàn)性及精神品質(zhì)評(píng)價(jià)等多種方式（表2）.在結(jié)果性評(píng)價(jià)方面，以屋頂模型為例，需綜合考量其外部美觀度、結(jié)構(gòu)完整性和排水功能等核心指標(biāo)，并為各指標(biāo)合理分配權(quán)重.通過學(xué)生自評(píng)、同伴互評(píng)、教師評(píng)價(jià)及匠人評(píng)估，確保評(píng)估的全面性和公正性.基于這一評(píng)價(jià)量規(guī)的持續(xù)追蹤與即時(shí)反饋，學(xué)生個(gè)體及團(tuán)隊(duì)能夠不斷優(yōu)化項(xiàng)目方案，促進(jìn)成長性思維的培養(yǎng).同時(shí)，教師與匠人也能據(jù)此提供更為精準(zhǔn)的個(gè)性化指導(dǎo)，構(gòu)建相互支持的項(xiàng)目文化氛圍.

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作者簡(jiǎn)介

張維忠（1964—），男，甘肅天水人，教授、博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.

胡姣靈（2000—），女，浙江寧波人，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.