大概念視角下的初中數學教材比較研究

【摘要】“大概念”在培養與實現學科核心素養方面有其獨特的作用與價值.在闡述數學大概念的基礎上，對其劃分為課時大概念、單元大概念、單元間大概念和學科大概念四個有邏輯關系的大概念層.建立比較框架，從知識的內涵、知識的編排、知識間的關系和知識的學科價值四個維度對中國和新加坡數學教材中“一次函數”的內容進行比較研究.基于研究結果，對教材編寫者修訂教材和教師、學生使用教材提供參考.

【關鍵詞】大概念；初中數學；教材比較；人教版教材；新加坡教材

新加坡于2020年9月實施了最新的中學數學課程大綱[1]，其中包括了八個數學學科大概念（Big Ideas）.至此，新加坡成為數不多的幾個將數學大概念納入課程標準的國家之一，可見新加坡在運用數學學科大概念優化數學教育改革相較我國已有一定的經驗.本研究將對中國和新加坡初中數學教材中一次函數的內容進行比較，以期使得教材中的大概念更合理、更有效地提取出來，實現對教材資源的優化利用.

1數學大概念內涵及層級劃分數學教育也許是第一個把大概念帶進課堂的科目.

目前，具有典型意義的數學大概念內涵，是查爾斯在2005年提出的“大概念是對數學學習的核心概念的表述，能夠將人們對數學不同的理解和認識形成一個統一的整體”[2].我國學者則認為數學大概念是一種對數學知識進行再建構的過程，用“少而精”的大概念，讓學生對數學有更深刻的認識，這對于貫徹核心素養來說是至關重要的[3-5].

但是，數學大概念具有抽象性和概括性，要想獲得需得有很好的學習和總結.因此，在教學過程中，需要以單元教學為基礎.但是，它也是一個相對的概念，因而有層次的區別.義務教育課程標準將數學學科劃分為不同的領域，每個領域下又劃分為不同的單元，單元間的相互作用構成了各領域的大概念；而單元大概念則是由一個個課時的內容聯結而成.如圖1所示，學科大概念位于層級結構的頂層，可以反映學科的本質；單元間大概念是學科大概念在各個單元中的體現，以此串聯成這個領域中的核心概念；單元大概念是單元間大概念在各個單元中的體現，使得知識結構化；課時大概念則是構成單元大概念的基礎，大概念的學習需要依托課時教學內容.

2研究設計

2.1研究對象選取

我國教材選取的是人民教育出版社的《義務教育教科書·數學》（以下稱人教版教材），新加坡教材選取的是Marshall Cavendish Education出版的《New Mathematics Counts》（Academic）（以下稱新加坡教材）.選取兩國教材中與“一次函數”相關的章節進行比較分析，并提取其中有關一次函數的大概念.

2.2研究比較的框架構建

目前對于數學大概念的提取方式研究眾多.但無論是從知識邏輯提取[6]還是按學生經驗提取[7]都無法為教材比較的視角提供有效的參考.所以需要以數學大概念的層級作為依據創建相應的教材比較框架.

李松林[8]提出通過對教材的深度理解，可以讓大概念萌芽，并提出了深度理解教材的五個方面，即可以分別從知識的產生與來源、事物的本質與規律、學科思想與方法、知識的關系與結構和知識的作用與價值來深度理解教材.本研究從五個方面作為提取維度，結合數學大概念的層級結構，分別從知識的內涵、知識的編排、知識間的關系和知識的學科價值四個方面對教材進行比較.兩國初中數學教材中大概念的提煉以及教材比較框架如表1所示.

3兩國初中數學教材中“一次函數”內容比較分析

3.1課時大概念——知識內涵

課時大概念的提取目的是讓學生對每一節課的具體內容和問題有一個較好的把握.其在單元教學中起到承上啟下的作用，既要能夠促進單元大概念的理解和掌握，又要便于教師的數學教學和學生的理解，因此課時大概念的表述需要盡可能地符合學生的理解水平[9].所以在提取課時大概念時需要仔細研讀教材和課程標準，對兩國教材中“一次函數”的知識內容進行比較，聚焦知識的內涵，通過對教材每小節的內容梳理，從知識內涵的角度分析和概括出課時大概念，結果見表2.

說明：由于新加坡教材中有三本教材涉及一次函數內容，因此在整理課時內容時添加教材編號加以說明.如第2冊教材第3單元第4節中的第1小節則記為：二—3.4.1，以此類推.

從表2可知，兩國教材在“一次函數”部分的知識容量類似.包含的知識有：一般函數的概念和定義；一次函數的定義和圖象性質；確定一次函數的解析式以及一次函數與方程的關系.不同之處在于，人教版還有一次函數與不等式的關系，以及兩國在一次函數的實際運用中側重內容不同.人教版以選擇方案為實際問題情境，旨在讓學生嘗試用一次函數模型解決問題；新加坡教材則是側重一次函數圖象與物理知識結合，用一次函數模型刻畫行程問題.

3.2單元大概念——知識的編排

單元大概念讓老師對單元—課時教學有了更高的認識，它不僅是學生單元學習的終極目的，同時也是老師對整體教學進行反思的邏輯出發點.分析兩國教材中的課時大概念以及“一次函數”內容所在章節，基于知識的關系和結構，從知識編排的角度對兩國教材的單元大概念進行提煉，結果如表3.

通過梳理單元大概念，可以發現，兩國教材研究函數的一般順序均為刻畫一次函數定義，研究圖象性質，最終運用一次函數模型解決問題.雖然我國在高中階段也會從解析幾何即代數角度入手探討函數的性質，但相比之下，新加坡在初中階段就已經介紹用代數方法研究函數圖象，并且將一次函數放置在平面直角坐標系之后，直觀感受幾何直觀和代數運算的融合.

3.3單元間大概念——知識間的關系

函數作為一種刻畫變化關系的工具，不應局限在某一章節中去探討和研究.兩國教材均注意到了這一方面，因而都將函數與其他單元的知識建立起聯系.通過對單元間大概念的提煉，可以統攝同一類數學知識的核心概念或數學學科思想、方法與觀念.因此，本研究從知識間的關系對兩國教材進行較為宏觀的比較，從學科的思想和方法角度進行單元間大概念的提煉.兩版教材單元間大概念提取，如表4.

從單元間大概念提取的情況看，兩國教材均重視知識之間的內在聯系，引導學生體會函數觀點的統率作用.有所不同的是，在用函數觀點看方程、不等式方面，新加坡版教材將方程組單元構建聯系，但卻深挖方程組解的多種可能，使得學生能借助圖象尋求一次方程組的根.而人教版則是用一次函數把以前學習的方程和不等式進行整合.從函數的取值和圖象兩方面將一次方程（組）和不等式這些老概念納入新的知識體系中.

從知識運用的角度來看，人教版注重考查運用一次函數解決實際問題，并著重培養學生函數建模的思想.其單元間的大概念主要與方程、不等式建立聯系，在沒有接觸函數之前，學生解決策略最優問題時使用最多的是不等式思想，當滿足條件的情況較多時不便于快速找到問題的最優解.在引入一次函數概念時，學生可以運用其性質快速解決問題.相比人教版，新加坡版教材在編排時則更注重數學與物理的跨學科主題研究.以物理學中刻畫物體的運動狀態為引子，運用一次函數圖象研究物體運動時的四個基本量：速度、時間、路程和加速度.從一次函數的視角解讀四個基本量的意義，運用圖象性質計算具體數值.

從單元間大概念提取的情況看，兩國教材均重視知識之間的內在聯系，引導學生體會函數觀點的統率作用.有所不同的是，在用函數觀點看方程、不等式方面，新加坡教材僅將函數和解一次方程組結合，運用一次函數圖象刻畫方程組解的不同情況.雖然僅與方程組單元構建聯系，同時深挖方程組解的多種可能，使得學生能借助圖象尋求一次方程組的根.而人教版教材則是運用一次函數將以前學習的方程和不等式進行整合.從函數的取值和圖象兩方面將一次方程（組）和不等式這些老概念納入新的知識體系中.

3.4學科大概念——知識的學科價值

數學學科大概念能夠體現出數學學科的性質，處于科目的核心位置.通過對單元大概念和單元間大概念的抽象概括，可以得到學科大概念.因此將兩國教材中的單元大概念、單元間大概念進行抽象概括得到了“一次函數”內容中涉及的學科大概念，如圖2所示.從事物的本質與規律來看，人教版旨在幫助學生認識到事物變化中的不變性.例如，尋找一個二元一次方程的解，在沒有限定解集的情況下，其中一個未知量的解會隨著另一個未知量而改變，但兩個變量之間的關系是確定的，從一次函數的角度看，兩個變量不管如何變化，其始終在一條直線上.新加坡版教材則是構建出“等價”這個學科大概念來刻畫事物的本質和事物間的規律.等價是表示“相等”的兩個事物之間的一種聯系，可以用多種不同的方式來表示.從一種形式的等價到另外一種形式，是進行分析c10a4259a2f0d9d4ede9080f96b3fc54、比較和解答等多種運算的前提.圖2兩國教材中“一次函數”的大概念進階

從知識的學科價值角度來看，兩國教材都注重培養學生抽象能力.有所不同的是，人教版教材注重從實際情境中抽象出核心變量，經過數學建模后，用一次函數的圖象和性質描述變量之間的相互關系.新加坡教材則看重從跨學科的問題中抽象出變量之間的關系，尤其以數學和物理的跨學科問題居多，用一次函數的圖象刻畫物理問題從而得到一般結論和規律.另外，從新加坡教材中，筆者還提取到另一個學科大概念——“測量”.其采取的是“坐標法”研究一次函數的性質，與平面直角坐標系中的計算問題、線段長度的度量和斜率的計算合在一個大單元中，旨在幫助學生從“數”的角度量化一次函數的研究，感受幾何與代數運算的深度融合.因此，“測量”這個學科大概念貫徹在數學學習的各個領域，發揮著量化研究的重要作用.

4啟示

研究教材對比的目的在于了解不同教材的長處與短處，以便借鑒“他山之石”[10].但是，教材編排只是其中一個方面，其功能的發揮還受制于教師怎樣組織教材、采取什么樣的教學方法.因此，對教材內容進行對比分析，或許能為教材編寫者修訂教材、教師和學生使用教材提供一些新的視角.

首先，從教材編寫的角度看，人教版教材在一次函數的學習中提供了大量的現實素材，引導學生從具體到抽象地認識函數.面向真實情境的大概念教學強調讓學生看見學科知識與現實世界的關聯，注重學習過程中相關知識之間的聯系，以求得真實性的問題解決[11].以真實情境為載體，研究函數的概念和性質，這是我國教材編寫的特點與優勢.然而，與新加坡數學教材對比后發現，其還結合了物理學科的知識背景，專門用一小節的內容篇幅介紹一次函數圖形和性質在物理學中的運用，體現了其跨學科融合的思想，這是人教版教材值得借鑒的地方.因為，大概念不只是局限于特定的學科領域，而具有通用性[12]7.此外，可以發現新加坡教材在編排一次函數內容時，將其分散在不同書目中.第二冊教材介紹一次函數的概念并滲透函數思想；第三冊教材詳細介紹一次函數的變化率及其解析式的求法；第四冊教材介紹其在實際問題中的運用.用“等價”“測量”等學科大概念串聯一次函數知識，采用螺旋式編排，這樣使各個數學科目在總體內容上達到了協調和統一，體現了課程內容中各部分之間本身固有的連貫性以及各冊教材之間的聯系，同時，也符合學生心理特征[13].因此，如何用學科大概念將函數知識進行合理整合，是我國教材編寫者需要考慮的問題.

其次，從教師的角度來看，可以大概念為支點，設計教學目標及活動.教師在使用教材時，可以借助概念圖提取各級大概念，明晰單元知識結構，研究函數單元教學設計路徑，亦可引導教師以大概念為錨點連接課程與課時[14].第一步，基于課標要求與素養指向，通過構建概念圖提煉函數大概念，確定單元學習目標；第二步，根據函數概念特征及學情分析，分析課時大概念并進行每一小節的教學設計；第三步，解析概念層級之間的關系，調整教學設計，確保函數大概念在單元教學中的一致性.以大概念為支點，通過函數單元整體設計，是實現課程、教學與評價的一致性，是初中數學課堂落實核心素養培育的重要途徑[15].

最后，從學生的角度來看，大概念可以為其學習提供學習線索[12]9.掌握了變化中的不變性、數學建模思想等學科大概念時，他們可以從運動變化的視角分析問題，理解一次函數的概念；梳理了單元間的大概念和單元大概念后，可以以這些大概念為線索，自己構建出一次函數的單元知識結構圖.這能夠幫助其在不借助教材或其他教輔書時，完整地提取出單元的核心知識，并解決問題.進一步地，學生通過自我閱讀或教師指導，提取大概念后，能夠解決學生思維發展低階性、課時之間零散性和單元之間割裂性等現實問題，進而促進其對學科大概念的深度理解與學科核心素養的培育[16].

參考文獻

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作者簡介

沈愛桐（1997—）女，云南昆明人，碩士研究生;研究方向為數學教育.

楊亞平（1987—）女，云南大理人，博士，副教授，碩士生導師;研究方向為STEM教育和數學教育.