一題多解提升思維一題多變發展素養

【摘要】2024年山東省棗莊市中考數學第23題是一道以二次函數綜合問題為背景，注重考查考生的化歸轉化、由形悟質及數形結合能力的中考壓軸題.在新一屆初中畢業班復習教學中，選用該試題進行一題多解與一題多變的深度學習，以提升學生的數學思維能力為出發點，引導學生從不同視角切入，多層次挖掘試題內涵.通過一題多解開闊解題思路，提升數學思維能力，通過一題多變促進和發展數學素養.

【關鍵詞】中考數學；一題多解；提升思維；一題多變；發展素養

二次函數歷來是各地中考數學命題的重點和熱點，且常考常新.2024年山東省棗莊市中考數學第23題就是一道二次函數的綜合壓軸試題，充分體現了知識與思維能力并重，方法與數學思想交融的命題特點.下面通過選用該試題進行一題多解與一題多變的“二次開發”訓練，以促進思維能力的提升和數學素養的發展.

1試題呈現

在平面直角坐標系xOy中，點P（2，-3）在二次函數y=ax2+bx-3（a>0）的圖象上，記該二次函數圖象的對稱軸為直線x=m.

（1）求m的值；

（2）若點Q（m，-4）在y=ax2+bx-3（a>0）的圖象上，將該二次函數的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數的圖象，當0≤x≤4時，求新的二次函數的最大值與最小值的和；

（3）設y=ax2+bx-3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范圍.

2解法探究

首先來看第（1）小題的解法.

分析1把點P（2，-3）代入y=ax2+bx-3，得b=-2a，再由對稱軸公式求解.

解法1根據題意，得a×22+b×2-3=-3，解得b=-2a，所以y=ax2-2ax-3，對稱軸為x=--2a2a=1，故m=1.

分析2令x=0，得到y=-3，可知二次函數的圖象與y軸的交點為T（0，-3），根據圖象對稱性，求解即可.

解法2對于y=ax2+bx-3，令x=0，則y=-3，所以二次函數的圖象與y軸的交點為T（0，-3）.因為TP∥x軸，所以由圖象對稱性可知對稱軸為x=1，故m=1.

點評第（1）小題主要考查二次函數圖象的對稱性.解法1重在“算”，把點P（2，-3）代入解析式，得到b=-2a；然后利用對稱軸公式求出m，考查了待定系數法和對稱軸公式的應用；解法2重在“形”，通過圖象與y軸交點T的縱坐標與已知點P的縱坐標相等，可知TP∥x軸，然后利用對稱性直接得到m，考查了數形結合思想的應用.

接著來看第（2）小題的解法.

分析把點Q代入y=ax2-2ax-3，求出a的值，代回解析式并配方為頂點式后進行平移，得到新的二次函數，最后結合圖象利用二次函數的性質求得最值.

解由（1）知m=1，所以Q（1，-4）.

因為點Q（1，-4）在y=ax2-2ax-3的圖象上，所以a-2a-3=-4，解得a=1.

所以y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

將該二次函數的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數為y=（x-1）2+1.[TPZJL-1.TIF;Z1*2，

如圖1，因為0≤x≤4，所以最小值對應函數圖象的頂點的縱坐標，最大值對應x=4時的函數值.當x=1時，y=（1-1）2+1=1，當x=4時，y=（4-1）2+1=10，所以新的二次函數的最大值與最小值的和為1+10=11.

點評第（2）小題主要考查對函數圖象變換的理解和認識，考查二次函數的最值性質.由于是結合函數圖象求解的，考查了運動變化觀點和數形結合思想的應用.易錯點在于沒有結合圖象，想當然地認為最大值和最小值分別在自變量范圍的端點值處取得，從而導致錯誤.

下面重點來探究第（3）小題的解法.

分析1利用函數與方程的關系，把y=ax2-2ax-3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）轉化為x1，x2為方程ax2-2ax-3=0的根，根據根與系數的關系得到x1+x2與x1x2，結合條件4<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x2+x1）2-4x1x2<36，再建立不等式組求解即可.

解法1因為y=ax2-2ax-3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0），則x1，x2為方程ax2-2ax-3=0的根，所以x1+x2=2，x1x2=-3a.

因為4<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x2+x1）2-4x1x2<36，所以16<4-4×（-3[]a[SX）]）<36，

所以4<1+3a<9.

由4<1+3a，因為a>0，解得a<1；由1+3a<9，因為a>0，解得a>38.

故a的取值范圍是38<a<1.

分析2把函數圖象與x軸交點橫坐標轉化為方程的根后，利用求根公式得到x1，x2，代入4<x2-x1<6，再建立不等式組求解即可.

解法2因為y=ax2-2ax-3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0），則x1，x2為方程ax2-2ax-3=0的根，所以由求根公式得x1=2a-4a2+12a2a=1-a2+3aa，x2=1+a2+3aa，所以x1+x2=2，x1x2=-3a.以下同解法1.

分析3設A（x1，0），B（x2，0），根據4<x2-x1<6，得4<AB<6，根據A，B關于直線x=1對稱，結合圖象，分別求出AB的兩個臨界位置的A，B的坐標，進而求出a的值即可.

解法3設A（x1，0），B（x2，0），根據4<x2-x1<6，得到4<AB<6，又A，B兩點關于直線x=1對稱.

①如圖2，若AB=4，則A（-1，0），B（3，0），將A（-1，0）代入y=ax2-2ax-3

中，解得a=1.

②如圖3，若AB=6，則A（-2，0），B（4，0），將A（-2，0）代入y=ax2-2ax-3

中，解得a=38.

故a的取值范圍是38<a<1.

點評第（3）小題考查了函數與方程的轉化，及利用知識構建方程或不等式解題的能力.解法1和解法2都是先將二次函數圖象與x軸的交點轉化為一元二次方程的根后，分別利用根與系數的關系或求根公式得到并代入4<x2-x1<6后，建立關于a的不等式組求解，體現了化歸轉化思想及模型化觀念的運用；解法3考慮臨界位置，結合圖象推理求解，考查了根與系數的關系、求根公式等知識；考查了函數與方程的轉化，利用臨界值分析、討論及結合函數圖象分析、求解問題等方法技巧；考查了函數方程、數形結合、化歸轉化等數學思想，考查了綜合運用知識分析和解決問題的能力.

3變式探究

若試題的其他條件不變，改變相應點的坐標和二次函數圖象的開口方向，則有

變式3.1在平面直角坐標系xOy中，點P（2，3）在二次函數y=ax2+bx+3（a<0）的圖象上，記該二次函數圖象的對稱軸為直線x=m.

（1）求m的值；

（2）若點Q（m，4）在y=ax2+bx+3（a<0）的圖象上，將該二次函數的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數的圖象，當0≤x≤4時，求新的二次函數的最大值與最小值的和；

（3）設y=ax2+bx+3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范圍.

簡解（1）m=1.

（2）由（1）知，-b2a=1，所以b=-2a.因為點Q（1，4）在y=ax2-2ax+3的圖象上，解得a=-1.故y=-x2+2x+3=-x-12+4.

將圖象向上平移5個單位長度，得到y=-（x-1）2+4+5=-x-12+9.

因為0≤x≤4，所以最大值對應函數圖象頂點的縱坐標，最小值對應x=4時的函數值，當x=1時，y=9，當x=4時，y=0，所以新的二次函數的最大值與最小值的和為9+0=9.

（3）由題意知x1，x2為方程ax2-2ax+3=0的根，所以x1+x2=2，x1x2=3a，

因為4<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x1+x2）2-4x1x2<36，所以16<4-4×3[]a[SX）]<36，

所以4<1-3a<9.

由4<1-3a，因為a<0，解得a>-1；由1-3a<9，因為a<0，解得a<-38.

故a的取值范圍是-1<a<-38.

點評變式3.1以改變二次函數圖象的開口方向為切入點，以此促進了數學運算、幾何直觀、模型觀念等素養的發展.

若試題的其他條件不變，改變（2）中的平移方向和（3）中x1，x2的范圍，則有

變式3.2在平面直角坐標系xOy中，點P（2，-3）在二次函數y=ax2+bx-3（a>0）的圖象上，記該二次函數圖象的對稱軸為直線x=m.

（1）求m的值；

（2）若點Q（m，-4）在y=ax2+bx-3（a>0）的圖象上，將該二次函數的圖象向右平移5個單位長度，得到新的二次函數的圖象，當0≤x≤4時，求新的二次函數的最大值與最小值的和；

（3）設y=ax2+bx-3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若-1<x1<0<x2<4，求a的取值范圍.

簡解（1）m=1.

（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，將圖象向右平移5個單位長度，得y=（x-6）2-4，對稱軸為x=6.

因為圖象開口向上，所以當0≤x≤4時，在對稱軸x=6的左側，y隨著x的增大而減小，所以最小值對應x=4時的函數值，最大值對應x=0時的函數值，當x=4時，y=0，當x=0時，y=32，所以新的二次函數的最大值與最小值的和為32+0=32.

（3）因為y=ax2-2ax-3圖象開口向上，結合圖象可知，當x=-1時，y=3a-3>0；當x=0時，y=-3<0；當x=4時，y=8a-3>0，則由3a-3>0，8a-3>0，解得a>1.

故a的取值范圍是a>1.

點評變式3.2以改變函數圖象的平移方向及x1，x2的范圍條件為出發點，以此進一步促進數學運算、數學抽象、幾何直觀、模型觀念等素養的發展.

若試題的其他條件不變，改變二次函數解析式的形式和圖象的平移方向等，則有

變式3.3在平面直角坐標系xOy中，點P（2，-3）在函數y=ax2-2a|x|-3（a>0）的圖象上，記該函數圖象的對稱軸為直線x=m.

（1）求m的值；

（2）若點Q（m+1，-4）在y=ax2-2a|x|-3（a>0）的圖象上，將該函數的圖象向右平移5個單位長度，得到新的二次函數的圖象，當2≤x≤9時，求新的函數的最小值與最大值的和；

（3）設y=ax2-2a|x|-3的圖象與x軸交點為（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范圍.

簡解（1）設（x，y）是函數y=ax2-2a|x|-3（a>0）圖象上的任意一點，則易知（-x，y）也是圖象上的點，于是可知函數y=ax2-2a|x|-3（a>0）的圖象關于y軸，即直線x=0對稱，所以m=0.

（2）當x≥0時，y=ax2-2ax-3，當x<0時，y=ax2+2ax-3.

因為點Q（1，-4）在y=ax2-2a|x|-3（a>0）的圖象上，代入y=ax2-2ax-3，解得a=1.所以當x≥0時，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，當x<0時，y=x2+2x-3=（x+1）2-4，則函數圖象如圖4.

將圖象向右平移5個單位長度，得到新的函數：當x≥5時，y=（x-5-1）2-4=（x-6）2-4;當x<5時，y=（x-5+1）2-4=（x-4）2-4，且新的函數的圖象如圖5.

因為2≤x≤9，所以由圖5知，最小值對應x=4或x=6時的函數值，最大值對應x=9時的函數值，當x=4時，y=（4-4）2-4=-4，當x=9時，y=（9-6）2-4=5，所以新的函數的最小值與最大值的和為-4+5=1.

（3）由圖4可知x1<0，x2>0，又因為a>0，所以由ax2+2ax-3=0，解得x1=-2a-4a2+12a2a=-1-a2+3aa=-1-1+3a；由ax2-2ax-3=0，解得x2=2a+4a2+12a2a=1+a2+3aa=1+1+3a.

又因為4<x2-x1<6，所以4<2+21+3a<6，即1<1+3a<2，所以1<1+3a<4.

由于1&lt;1+3a恒成立，所以a>0；由1+3a<4，因為a>0，解得a>1.

故a的取值范圍是a>1.

點評變式3.3改變二次函數解析式的形式和二次函數圖象的平移方向，以此為突破口，進一步促進數學抽象、數學運算、幾何直觀、模型觀念、推理能力及應用意識和創新意識等素養的發展.

4教學啟示

學好數學離不開解題，在解題教學中，若對典型試題就題論題、淺嘗輒止，則是死水一潭；而重視試題的一題多解、一題多變，則能激活思維、提振士氣[1].唯有如此，才能不斷提升學生的思維能力，促進學生數學素養的形成和發展.

4.1著眼于一題多解提升思維能力

做題重在少而精，對于典型試題，重視引導學生從多角度切入，進行分析、思考，順藤摸瓜、展開聯想，努力發掘試題中豐富的思想內涵，通過尋求解決問題的不同路徑求得最終結果.通過對典型試題的求解使學生學會舉一反三，并在多角度思考、多方法求解中感悟解題的真諦，使定向思維變為多向思維，這樣一來，既可以開闊學生的解題思路，又能使學生的思維始終處于一種靈動狀態，進而使學生豐富和完善知識、方法的架構，達到提升學生數學思維能力的目的.

4.2立足于一題多變促進素養發展

一題多變最終目的是為了通過變化讓學生掌握變化中的不變，能從不同方面、不同視角和不同情況來說明某一事物，從而概括出事物的一般屬性.在數學解題教學中，立足于一題多變關注發展學生的數學素養，其實質就是落實數學的知識、方法、能力以及數學思想，既要深化已學的知識，又要把知識、技能和思想方法相聯系、融合，直至轉化為數學素養.

參考文獻

[1]李寒．一道2023年拋物線高考題的解、變與推廣[J]．數理化解題研究，2024（13）.19-24．

作者簡介

鄒金梁（1978—），男，山東泰安人，中小學一級教師;先后榮獲泰山區教學能手，泰山區教學先進個人，泰山區教學優秀班主任，泰山區中考模擬試題命制一等獎，泰安市優質課一等獎，泰安市市級優課等榮譽，參與的市級課題的研究，并已結題;發表論文多篇.