數形互助 系統結構 思想融通

【摘要】立足教材給定的小結內容與課標的相應定位，通過“以數解形，聚數成勢”“以形助數，為數賦能”“融會貫通，數往知來”“盤點收獲，數不勝數”“知識建構，數向未來”等五個教學環節，經過反思，提出了“數形互助，化難為易”“題組搭臺，運算唱戲”“明暗相合，拔節生長”三個觀點．

【關鍵詞】實數；數形結合；小結課；知識結構．

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在課程實施中指出：為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯．義務教育階段初中數學內容主要分為：數與代數、空間與幾何、統計與概率、綜合與實踐四大領域．四大領域編排順序呈螺旋上升的趨勢，幾何與代數知識穿插進行，各部分內容既相互獨立又有著千絲萬縷的聯系．基于大單元整體教學思考發現每個領域的知識都是沿著一條主線不斷生長起來的，恰如郭玉峰教授所言“數學的整體性和聯系性，是由數學學科特點決定的”[1]．因此在教學時要立足教材及數學學科自身的整體性，把握好知識生長的主線，讓學生整體建構相關領域的知識體系，發展學生核心素養．筆者以“實數”小結課為例，與各位同仁交流．

1研教材，明方向

本章是人教版七年級下冊第六章內容，是繼學生學習了有理數之后的又一類數，屬于“數與代數”范疇．本章內容比較零散、抽象，概念相對較多，主要包括平方根、算術平方根、立方根概念及性質；實數概念、分類、運算及在數軸上表示；近似數及估算等知識．面對以概念為主且抽象的數系知識，教師更應關注知識的整體性，抓住知識的生長點，形成知識生長線，將零散的知識串成串，結成塊，整體把握知識結構，通過數形結合等數學思想方法滲透，使抽象概念知識的學習變得順其自然，水到渠成．本節課以問題情境創設為引擎，以數軸為載體，低起點切入，學生經歷數及運算的發展歷程，使抽象知識具象化，發展學生的數學思維．

2依課標，定目標

根據新課標對實數部分內容要求、教學建議等，結合小結課的功能定位，確定本節的復習目標為：

（1）通過解決以正方體為背景的問題，再次歷經數及數的運算的生長與發展過程，建構實數知識框圖，體會數系擴充的必要性，發展q640bw8XIn17dAP0yGOdrdISmD9r/Ukp9VLz0EPsZWw=整體性思維．

（2）通過數形結合等數學思想方法的運用，進一步理解算術平方根、平方根、立方根、實數等概念，性質及相關運算，提高運算、抽象、邏輯推理能力，發展批判性思維和創造性思維能力．

3展過程，強建構

環節一以數解形，聚數成勢

問題1：如圖１，正方體的棱長、表面積、體積，三個量知一可求其二，請給其中一個量賦予具體數值，求另外兩個量.

學生1：棱長賦值為2，則表面積為22=4，4×6=24，體積為23=8．

學生2：體積賦值為27，則棱長也就是求27的立方根，即327=3，表面積為32×6=54．

教師借此追問什么是立方根，相關性質有哪些？并板書．

學生3：表面積賦值為36，則棱長為36÷6=6，然后求6的算術平方根，即為6，體積為（6）3=66.

教師追問：什么是算術平方根？學過算術平方根的哪些相關知識？并板書．

教師引導學生觀察第一位同學舉出的例子22=4，23=8.如果不考慮實際意義，除了22=4，還有（－2）2=4，從而得出平方根的定義，±4=±2.由23=8，得出立方根的定義，38=2．

通過這兩個例子進一步體會乘方與開方是互逆運算，繼續追問：還有哪些運算是互逆運算？得出加與減，乘與除兩組互逆運算．再追問：請對以上寫出的數進行分類？從而得到有理數與無理數的概念，深化對無理數的認識，至此數系由有理數擴充到實數范圍，得到實數概念，初步形成本章知識框圖（圖2）．

設計意圖小問題大作用．本環節充分考慮學生認知起點，以學生熟悉的正方體為載體，借助圖形低起點切入，在教師追問中建構算術平方根、平方根、立方根及實數等概念，明晰它們之間的關系，抽象的概念借助圖形實現具象化，使得無理數的出現變得順乎其然，進一步感受數系擴充是實際生活、生產以及數學內部發展的需要，體會知識的生長過程，進而勾勒出初中階段實數全貌，聚數成勢．同時在問題解決過程中體會乘方與開方之間的互逆關系，發展學生的逆向思維，感受數學中的某些規則同生活中的規則一樣，往往具有一致性、相容性、和諧性．

環節二以形助數，為數賦能

本環節類比有理數的研究路徑對實數的定義、性質、運算及應用進行總結復習．

問題2：請在邊長為1的小正方形網格中畫出面積為2的格點正方形（圖3），求正方形的邊長．

問題解決1：請沿網格線在適當位置作數軸，并標出2和-2的位置.

學生能夠正確畫出面積為2的格點正方形．教師可追問：為什么這樣畫出的正方形面積為2？邊長怎樣求？設正方形邊長為x，則x2=2，得x=2．學生通過作圖啟發，面積為2的正方形的邊長就表示2的大小，然后沿著網格線在適當位置建立數軸，以原點為圓心以正方形的邊長為半徑分別向右，向左畫弧，與數軸的交點即為2和-2的位置，從而得出實數a的相反數為-a．教師進一步舉例其它無理數也可在數軸上表示，體會實數與數軸上的點是一一對應的重要結論．

設計意圖著名數學家華羅庚說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微．通過讓學生親身經歷畫出面積為2的正方形，求出正方形邊長為2，然后借助數軸找到無理數2和-2的位置的過程，學生感受無理數也可以用數軸上的點來表示，進而得到數軸上的點與實數一一對應關系，并在教師的追問中得到實數相關性質．本環節以數軸為載體，將數與形融為一體，幫助學生更好的理解無理數及實數概念，體會數軸是學習代數知識必不可少的工具之一，數形結合思想在代數知識學習中起著舉足輕重的作用，培養了學生幾何直觀、抽象能力、應用意識，發展學生的批判性思維和創造性思維．

問題解決2：以2點為圓心，以2為半徑向左畫弧，交數軸與點M，設M點表示的數為m，如圖4，則m= ．

（1）請比較m與-1的大小；

（2）求m+1+m－1的值．

借助數軸知識能夠直接表示出m=2-2，第1題比較2-2與-1的大小，具體方法有兩種（1）通過觀察數軸看出m點在-1的右邊，從而得到2-2>-1．（2）可通過估算方法，首先確定2在哪兩個整數之間，進一步確定2-2范圍，得出2-2>-1．第2題是實數范圍內絕對值的化簡問題，具體方法有三種：（1）通過觀察數軸得到m+1為正實數，正實數的絕對值為本身；m-1為負實數，負實數的絕對值為其相反數，即1-m，化簡結果為2;（2）亦可把2-2代入后進行計算并化簡;（3）利用絕對值的意義進行化簡，m+1+m－1表示m到-1與m到1的距離之和，通過觀察數軸得到它們的和為2．

設計意圖本環節看似只有兩個簡單的問題，卻承載著多個新舊知識點，其中問題背景中通過尺規作圖找到2-2位置，學生再次體會到無理數也能在數軸上表示，同時點M也可從運動觀點看作是由2向左移動2個單位到2-2位置，為下一個環節作鋪墊．第1題比較大小中方法1目的是讓學生體會實數范圍內數的大小比較也可借助數軸進行比較，實數大小的比較與有理數大小比較方法是相通的;方法2對于無理數大小的比較可通過估算的方法確定．第2題方法1通過數形結合方式進行絕對值化簡；方法2通過代入運算確定絕對值內數的正負，然后進行化簡；方法3根據絕對值的意義進行化簡，體會到實數范圍內絕對值的化簡方法與有理數范圍內是一致的．每個問題雖有不同方法，但將數與形結合使代數知識變得更加立體，更加形象直觀，易于理解，多種方法的加持使學生思維得以發展．

問題解決3：在問題解決2的基礎上，通過線動成面，面動成體分別得到長方形和長方體（圖5）．

（1）求長方形AMBC的面積；

（2）求長方體的表面積．

由上一題可知AM的長為2，又知寬為2，則長方形面積為2×2=22．教師追問，若已知A表示2，M表示2-2，如何求AM長？AM=2-（2-2）=2，進一步體會實數范圍內數軸上兩點之間線段長仍可用大數減小數求得．第2題長方體的表面積為22×2+22×2+（2）2×2=42+42+4=82+4．追問：（2）2為什么等于2？42+42=82依據是什么？與我們學習的整式運算有什么相似地方？學生進一步深化對算術平方根概念的理解，體會加法和乘法運算律在實數范圍內仍然成立．

設計意圖承接上一環節從運動的角度得到長方形和長方體，借助兩個幾何圖形，對實數的運算進行復習．其中問題1主要體現實數的乘法運算，問題2是乘方、乘法以及加法混合運算，借助教師的追問學生進一步體會到在實數范圍內數的運算順序以及運算律仍成立．通過42+42=82，說明數的合并與整式中合并同類項是一致的，體現了數式通性，為二次根式的學習埋下伏筆，發展學生推理能力和運算能力．

問題3：如圖6，數軸上有C，D兩點分別表示實數c和d，且2c+6與d－4互為相反數，求2c+3d的平方根和立方根．

因2c+6與d－4互為相反數，可得2c+6+d－4=0，若學生不能夠求出c和d時，教師追問：一個數的絕對值是什么數？d－4表示的意義是什么？從而幫助學生求出c和d的值．

設計意圖再次借助數軸對實數范圍內絕對值的非負性及a的雙重非負性等知識進行復習，讓學生深刻理解算術平方根的概念，為二次根式相關性質學習奠定基礎．

環節三融會貫通，數往知來

問題4：已知（x－1）2=4，求x的值．

變式：請仿照以上題目編一道能用直接開立方求解的方程，并解方程．

問題5：若an=b（a>0且a≠0，b>0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即logab=n），如25=32，則5叫做以2為底的32對數，記為log232（即log232=5），根據以上運算規則，log381= ．

對問題4，學生根據平方根的定義，可知x－1=±4，x－1=±2，從而得到x=3或x=－1．變式訓練中學生仿照問題3能夠編出如（x－1）3=1形式的方程，并利用立方根相關知識快速求解．對問題5，學生通過閱讀能夠理解log381，也就是已知底數為3，冪為81時，求指數.答案為4．

設計意圖問題4使學生體會從有理數擴充到實數不單是生產生活的需要，同時也是數學知識內部生長的需要，為一元二次方程和一元三次方程的解法——直接開平方、開立方法解方程提供依據．問題5對數問題體現了與高中知識的銜接，乘方是已知底數和指數求冪，方根是已知指數和冪求底數，而對數是已知底數和冪求指數，通過此問題進一步明確了三個量底數、指數、冪之間的內在關系，是對逆運算的完善，為相關知識研究提供思路，引導學生用發展的眼光學數學．兩個問題通過遷移學生已有知識經驗和技能，在舉一反三、類比推理中逐步建構新知，完善數系結構，并通過回顧反思進一步強化遷移學習的基本經驗，提高學生高階學習能力[2]．

環節四：盤點收獲，數不勝數

引導學生從以下幾個方面進行總結：

（1）你掌握了哪些知識（基礎知識）？

（2）你學會了哪些解題方法（基本技能）？

（3）你運用了哪些數學思想（基本思想）？

（4）你總結了哪些復習經驗（基本活動經驗）？

（5）還有什么感悟和思考？

設計意圖新課標指出，核心素養導向的教學目標是對“四基”“四能”教學目標的繼承和發展，“四基”“四能”是發展學生核心素養的有效載體．基于此本節課歸納總結最終落腳在四基上，其中問題1和2主要對應本節課的目標1，問題3和4主要對應目標2，問題5是引導學生進行拓展延伸，五個問題體現了教學評的一體化，可有效促進學生核心素養的發展．

環節五：知識建構，數向未來

（1）隨著教學推進，形成本章的知識結構圖，如圖7．

（2）播放數系擴充歷程小視頻（略）．

設計意圖大單元整體觀下的章單元復習，不僅要關注不同知識點之間的縱橫關聯，更要強調知識的整體性、思想方法的一致性．基于此，本環節用整體結構圖統攝，全景展示初中階段實數知識結構脈絡，并通過實數的擴充以及實數研究路徑把整個章節貫通起來，形成前銜后含的單元，讓學生既見木又見林，便于后續知識的有序開展．為幫助學生進一步完善數系知識的整體建構，了解數系的生長擴充過程，為高中知識的學習埋下伏筆，在本節課最后通過播放小視頻方式讓學生了解數系擴充到實數之后，隨著生產生活的需要再次擴充，產生虛數，數系從實數擴充到復數域，實現小初高知識貫通整合，引領學生用數學的思維思考現實世界．

4勤反思，促成長

4.1數形互助，化難為易

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事休.”數形結合思想的運用可以使某些抽象問題變得直觀化、形象化，能夠將抽象思維化為形象思維，有助于學生把握數學問題的本質．本章主要是相關概念學習，而數與代數部分的概念無疑是抽象的、難以理解的，本節小結課首先以正方體為載體，縱橫串起實數一章的相關概念，建構起了整個實數知識體系，這種以“數”輔“形”形式，將抽象的“數”形象化、立體化，深化學生對概念的理解．其次以數軸為媒介，對實數的性質、運算以及應用進行復習，通過以“形”助“數”形式，進一步使“數”的知識直觀化，激發學生學習數系知識的興趣．本節課通過數形結合思想將抽象的實數知識具象化，讓知識有了落腳點，數與形的融合將數系知識化難為易，提高了學生復習數與代數知識的學習力，培養了學生的抽象能力、運算能力以及幾何直觀，實現了學生思維由低階到高階的轉變．

4.2題組搭臺，運算唱戲

小結課是對整章內容進行再次整體認知，加固并重構已有知識結構，多角度形成對本章“終端”認知的過程．本節課第一大環節通過以實際問題為背景的題組（追問形式呈現）為載體，圍繞學生學過的正方體的表面積、體積，深化本章相關概念，體會乘方與開方互逆關系，感受數系擴充的必要性．第二大環節以數軸為載體設置題組練習，類比有理數研究路徑對實數定義、相關性質、運算、應用四個方面進行復習．在復習過程中始終遵循以生為本，順生而學，抓住知識的生成與生長，最終形成實數知識框架，建立起六種運算認知結構的“承重墻”，在知識線整體生長的結構化過程中，整體地學、聯系地學，進而形成知法明理的運算大概念．

4.3明暗相合，拔節生長

本節課學習主要抓住兩條線．其一是運算發展明線：本節課的學習下接起小學學習的加法、減法、乘法、除法運算，平轉承初中學習的乘方和開方運算，上通達高中將要學習的“對數”運算，這條運算主線分散于三個學段不同的章節中，使得學生學習數與代數部分的知識呈現碎片狀，本節課作為中程章節發揮了前承后銜的作用，將運算貫通起來．其二是思想發展暗線：本節課始終抓住數形結合思想，通過正方體和數軸兩個載體將本章知識進行串聯，融通了整個知識結構，使得抽象的概念學習立體化、形象化．基于大單元整體教學的思考，作為小結課需要讓這明暗兩條線交互融匯，相輔相成，讓學生通過問題鏈的引思以感受知識的生成、生長和發展，融通了知識脈絡與方法架構，讓知識整體化、結構化，有效降低了學生的認知負荷，不僅便于更長久保存信息，還能促使學生深度理解概念，提振信心，提質增效，進而促進學習能力的提升．

參考文獻

[1]郭玉峰.關注數學的整體性和關聯性[J].數學通報，2024，63（03）：1-5.

[2]顧曉東. 基于高階思維的數學學習活動設計策略[J].教學與管理，2019（14）：46-48.

作者簡介

王偉燕（1984—），女，山東陽信人，中學高級教師，濱州市名師，濱州市教學能手，濱州市優質課一等獎得主;主要研究方向是課堂教學及其研究．

邢成云（1968—），男，山東無棣人，中學正高級教師（二級教授），國家“萬人計劃”教學名師，齊魯名師，山東省特級教師;主要研究方向是課堂教學及其理論研究．