改進綜合實踐活動培養數學關鍵能力

【摘要】綜合與實踐是教學改革中教師要直面的新課題，教學過程中出現表層化困境.用好教材中的素材，對教材的內容進行教學改進，更深入開展綜合與實踐活動，遵循學生的認知規律，能促進學生思維螺旋式上升，培養學生關鍵能力.

【關鍵詞】綜合與實踐;硬幣滾動;數學實驗;關鍵能力

1問題的提出

義務教育階段，數學課程內容包括四大領域，即數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐.這四大領域中，綜合與實踐的開展出現表層化困境.出現這一困境，究其原因在于學科課程至上傾向、普適性目標取向、課程統整意識欠缺、忽視課程評價的作用[1].綜合與實踐的教學應適當采用項目式學習的方式，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科知識和跨學科的知識與方法解決問題[2]16.

數學綜合與實踐是教學改革中教師要直面的新課題，要關注情境的真實性、要關注素材的學科性、要關注問題解決過程的合理性，從而突顯立德樹人的價值.本研究通過“硬幣滾動中的數學”項目式學習的教學改進，闡述培養學生數學關鍵能力的實踐與思考.

2“硬幣滾動中的數學”教學改進

數學教科書“綜合與實踐”活動的3個關鍵特征為綜合性、實踐性、開放性[3].這表明綜合與實踐活動知識要有層次性、內容要有別于教材、活動要跳出課堂.在設計上要有基于知識又超越知識的目標追求、基于教材又超越教材的活動內容、基于課堂又超越課堂的活動過程[4].

案例素材華師大版九年級下冊綜合與實踐.

如圖1，如果將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一個，而另一個沿著其邊緣滾動一周，這時滾動的硬幣滾動了多少圈呢？似乎也是一圈？你不妨動手實驗一下.你可能會發現此時實際上滾動了兩圈.嗨！怎么不一樣了？

這是什么原因呢？仔細想想，就清楚了.原來那個滾動的硬幣的

圓心移動的距離是4πr，而沿著直線滾動時圓心移動的距離還是2πr.圖1現在請你與你的同伴一起，重復以上實驗，并嘗試做一些新的實驗，看看這里隱含著什么樣的數學規律.

2.1教學改進之一：硬幣在直線上運動

2.1.1創設情境，引發認知沖突.

教師拿出兩枚硬幣并提出問題：將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一個，另一個沿著其邊緣滑動一周，這時滾動的硬幣滾動了多少圈呢？

受制于教材編寫的需要，“案例素材”把學生必需經歷的“關鍵”探索過程直白告知學生，使學生的認知沖突變淡了，加上知識的跳躍性比較大，這就考驗教師處理教材的能力，即如何引導學生“用數學的眼光觀察世界”.

學生在課堂發生了爭論，有的學生說是一圈，有的學生說是兩圈.

2.1.2實驗操作，驗證猜想結論.

師：既然大家意見不統一，請大家把準備好的兩枚硬幣拿出來，動手演示，看看結果如何.

全班氣氛馬上活躍起來，學生動手操作，得出了比較一致的結論.

生：兩圈.

師：明明是在圓周上滾動一圈，為什么轉動的圈數是兩圈呢？

教師引導學生提出問題：硬幣在圓周上滾動，轉過的圈數由什么決定？

2.1.3過程剖析，得到關鍵結論.

如何計算硬幣滾動的距離具有重要的教學價值.

引導學生觀察：滾動的硬幣圓心起什么作用？

師：如圖2，將一枚半徑為r的硬幣沿直線滾動一圈，硬幣滾動的距離是多少？

生：等于圓的周長2 πr.

師：為什么？

生：圓周上任意一點滾動一周的距離，等于圓的周長.

師：大家觀察一下，圓心在這個運動過程中，運動的路徑是什么？運動距離等于多少？

生：圓心運動的路徑是線段，因為四邊形ABO′O是矩形，所以AB=OO′，即硬幣滾動時，圓心經過的路徑長等于硬幣滾動的距離.

找到解決問題的關鍵：硬幣在直線上滾動，硬幣滾動的距離等于圓心經過的路徑長.

師：反過來，當一枚半徑為r的硬幣，在長為a的線段AB上從A點滾動到點B時，需滾動多少圈？

生：a2πr圈.

現實背景中，要計算“硬幣滾動的距離”比較困難，幫助學生在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，轉化為“圓心移動的路徑長”進行數學探究，就找到問題的關鍵，為解決上述問題找到“鑰匙”.

2.2教學改進之二：硬幣在折線上運動

2.2.1直折結合，進行簡單抽象.

引導學生循序漸進，運用從特殊到一般的思想，用數學的思維思考世界.

師：如圖3，若線段AB長為a，點C為線段AB上任意一點，在C處將線段AB折成直角，這時這枚半徑為r的硬幣從點A滾動到點B需多少圈？

學生解決硬幣在直線上滾動的問題后，繼續引導學生發現問題、提出問題：如果硬幣不是在直線上滾動，而是在折線上滾動，硬幣滾動了多少圈？滾動的路徑長又如何計算？

2.2.2辨析問題，從特殊到一般.

留下足夠的時間，引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析等方法分析問題和解決問題，從而培養學生的數學關鍵能力.

生1：a2πr圈.

生2：不對，a2πr+14圈.

師：為什么？

生2：因為∠ECF=90°，所以圓心滾動的路徑比直線段增加了90360·2πr=12πr的弧長，所以滾動了a+12πr2πr=a2πr+14圈.

師：如圖4，若線段AB長為a，點C為線段AB上任一點，在C處將線段AB折成∠ACB=α，這時這枚半徑為r的硬幣從點A滾動到點B需多少圈？

生：因為∠ECF=（180－α）°，所以圓心滾動的路徑比直線增加了180－α360·2πr=1－α180πr，所以滾動了a+1－α180πr2πr=a2πr+180－α360圈.

圓在折線上滾動，把圓心運動的路徑，分解成圓在線段上和圓繞折角頂點滾動的路徑，這就是“會用數學思維思考世界”的體現.

2.3教學改進之三：硬幣在多邊形外側滾動

師：以上的研究都是硬幣在線段和折線上運動，本案例中硬幣在封閉的圖形中滾動，怎么把折線變成封閉圖形？

生：如果折線經過多次彎折，就可能使圖形封閉成三角形、四邊形或n邊形.

師：如圖5，若一個三角形的周長為a，這枚硬幣沿三角形的外側滾動一周需轉多少圈？

師：如圖6，若一個四邊形的周長為a，這枚硬幣沿四邊形的外側滾動一周需轉多少圈？

師：如圖7，若一個n邊形的周長為a，這枚硬幣沿n邊形的外側滾動一周需轉多少圈？

生：不管是三角形、四邊形、還是n邊形，多邊形外角增加的圓弧的圓心角為180n－180（n－2）=360°，即增加的圓弧長為2πr，所以轉的圈數為a+2πr2πr=a2πr+1圈.

當圓在多邊形外側邊緣滾動時，把圓心經過的路徑進行分解，從而回歸簡化模型.這種思維是自然而然、合乎邏輯發生的，不是教師強加給學生，而是學生在教師的啟發下“會用數學思維思考世界”.

2.4教學改進之四：硬幣在圓周外側滾動

通過前面的探究，基本可以達成以下三點共識：

第一，硬幣在直線、折線和多邊形外側滾動，滾動的距離等于圓心經過的路徑長.

第二，圓在多邊形上滾動，可以分解成圓在線段上滾動和繞頂點滾動，每一個折線處的軌跡是圓弧，每一個折角處的度數之和等于360°.

第三，把多邊形的邊數無限增加，多邊形就會無限接近于一個圓.

師：前面所提出的兩個硬幣轉多少圈的問題能否解決？可以嘗試利用極限思想.

生：如圖8，移動的硬幣圓心的路徑是以點O為圓心，半徑等于原來半徑的兩倍的圓周上，此時，圓心經過的路徑長是硬幣周長的兩倍，所以移動的硬幣轉了兩圈.

至此，問題得到解決.通過綜合與實踐，學生在教師的啟發和引導下，探究出事物運動的一般規律，培養了學生“用數學的語言表達現實世界”.

2.5教學改進之五：硬幣在多個圓周外側滾動

創設相同或相似的問題，讓學生通過知識遷移解決問題.

如圖9，將一枚半徑為r的硬幣沿著另一枚半徑為2r的硬幣的邊緣滾動一周，這時滾動的硬幣滾動多少圈？

如圖10，將4枚相同硬幣擺放在桌上，固定1，2，3枚，讓第4枚沿它們的邊緣從圓O滾動到圓O′的位置，這枚硬幣滾動多少圈？

“綜合與實踐”的教學，不要過于急“趕”進度，而是要引導學生經歷解決問題的活動過程，這樣所能起到的效果，一定也不亞于教師的講解[5]．在“硬幣滾動中的數學”的教學中，學生經歷了完整的解決問題的活動過程（圖11）.

本案例高度契合《新課標》中新增的“學業質量”內涵的描述.以結構化數學知識主題為載體，讓學生形成抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念等.；第二，從符合學生認知發展規律的、熟悉的數學情境中，形成模型觀念、數據觀念、應用意識和創新意識等；第三，學生經歷數學的學習運用、實踐探索活動的經驗積累，初步養成獨立思考、探究質疑、合作交流等學習習慣，初步形成自我反思的意識[2].

3改進綜合與實踐、培養關鍵能力的幾點思考

尋找綜合與實踐方面的素材不易，不要輕易舍棄教材中的素材，而是要挖掘課本習題中有價值素材并加以改進，這是培養學生數學關鍵能力的重要抓手，處理得當，事半功倍.培養學生的數學關鍵能力，勢必要關注到綜合與實踐活動的綜合性、實踐性和開放性的特征，據此開展實踐活動才能取得良好的效果.

3.1綜合性要求教師要關注“問題”

教什么永遠比怎么教更重要，因為教什么體現了教育背后的價值意義[6].“問題”的選擇方面，要避免課程內容與學科的割裂，忌淺層體驗、忌知識堆砌、忌個人主義.通過探究動機、解構、創生、生長的發生機理，期待深度學習在綜合實踐活動中的回歸[7].教師有必要對活動問題進行校本建構，充分考慮學生的認知水平、思維方式、性別差異等，在主題活動過程中生成活動主題[8].

“問題”開發方面，要通過借鑒、整合、超越現實素材，形成項目式學習問題，開發具有數學學科本質的綜合與實踐課程，由點到面，由單項活動拓展到多項活動.問題的開發要遵循量力而行的原則，要注意體現學科本質，要注意跨學科素材的積累；要能引發學生的學習動機，誘發認知沖突；要解構素材，有探究的價值與意義；要有利于“創生”，進行內容與形式的“再創造”；要有利于“生長”，讓學生從小課堂走向大社會.

3.2實踐性要求教師要關注“過程”

課程目標中“四基”“四能”的提出，都指向學生數學關鍵能力的培養要重視學生的學習過程.從小學階段的主題式學習到初中階段的項目式，均要求教師要以合作者的身份參與活動過程，成為綜合與實踐活動的共同體.

關注綜合實踐活動的“過程性”，要求教師首先要探明學生的認知基礎，并據此采取不同的對策：如果學生缺乏實踐經驗，教師要做好活動規劃，再進行必要示范.對于較復雜的活動，教師要分解活動的過程，找出學生開展活動的難點，做好活動前的充分準備，再根據學生的實際，進行必要的活動示范與說明，增加學生活動體驗與參與過程.

如果學生具備一定的基礎，教師要為學生提供必要工具與技術支撐.常見的支架包括：（1）獲取和收集信息的渠道；（2）可視化的數據分析工具；（3）交互和分享信息的平臺；（4）模型設計和驗證的技術；（5）展示作品和觀點的途徑[9]．提供支架本質就是關注學生的活動“過程”，讓學生活動得以順利、高效地開展.

3.3開放性要求教師要關注“評價”

“綜合與實踐”活動的開放性是指：在活動的條件、問題、過程、結果等環節上具有的多種可能[3]．這決定了教師要對活動的條件、問題、過程等進行全方位的評價，評價指向學生的學習能力發展.參考學業質量標準，評價的主體要多元化，評價的方式要多樣化，評價要有利于學生自我監控活動的過程和結果.

評價活動的“問題”，要考慮是否融合“四基”的內容，問題是否具有現實意義，是否有利于學生體驗數學活動來源于生活又服務于生活，讓學生通過“問題”用數學的眼光觀察世界；評價活動的“過程”，要考慮是否融合“四能”的過程，是否充分激發學生的學習興趣，培養學習的信心，是否充分經歷猜想、操作、驗證過程，在探究過程中面對挑戰性的任務，能勇于探索，樂于實踐，讓學生在實踐“過程”中用數學的思維思考世界；評價活動的“結果”，要考慮學生是否能感悟數學思想，積累數學基本活動經驗，能否感悟尊重事實、講明道理的科學精神，體會數學表達的簡潔與統一，讓學生用數學的語言表達世界，將立德樹人落到實處.

4結束語

設計主題明確的綜合與實踐活動，圍繞該主題進行充分的建模、解模、應用，遵循認知螺旋式上升的規律，讓學生在學法上經歷“陌生—熟悉—貫通”的過程，經歷“簡單模仿—熟練掌握—創新方法”的過程，這是培養學生的數學關鍵能力的有效途徑[10].曹一鳴教授提出的數學學科能力框架，將學生關鍵能力表現分為三個階段 ，即“學習理解—實踐應用—創新遷移”，綜合實踐課包括著現實世界問題解決的全過程，屬于創新遷移階段的表現.建立在“真實情境”上的實踐改進活動，能為激發學生探究熱情提供源源不竭的動力，讓學生在問題解決的過程中不斷提升數學關鍵能力.

參考文獻

[1]高霞，陳莉，唐漢衛.中小學綜合實踐活動：困境、成因與出路[J].課程·教材·教法，2020（03）：76-80.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：人民教育出版社，2022：4.

[3]李海東，李健.新課標理念下的數學教科書“綜合與實踐”活動：“關鍵特征”“基本類型”與“呈現要點”[J].數學教育學報，2022（10）：14-18.

[4]張偉俊.數學“綜合與實踐”活動的有效設計研究[J].上海教育科研，2018（10）：82-86.

[5]吳立寶，劉穎超.比較視域下的“綜合與實踐”學習領域解析[J].數學教育學報，2022（10）：19-23.

[6]孫學東.如何設計和實施數學跨學科實踐項目[J].人民教育，2022（15/16）：102-103.

[7]沈小碚，羅章.論深度學習在綜合實踐活動中的發生機理[J].教育科學研究，2021（10）：77-81.

[8]李臣之，阮沁汐，鄧智虎.中學綜合實踐活動主題適應性調查研究[J].課程·教材·教法，2020（06）：22-28.

[9]郭衎，曹一鳴.綜合與實踐：從主題活動到項目學習[J].數學教育學報，2022（10）：9-13.

[10]潘竹樹，李祎.借助數學模型 培養關鍵能力：以“最短路徑問題”為例[J].數學通報，2022，61（10）：39-43.

作者簡介 潘竹樹（1976—），男，中學高級教師，福建省中學數學學科帶頭人；初中數學關鍵能力培養研究獲福建省教育學會評選的基礎教育教學成果類三等獎，論文類二等獎;主要從事初中數學教育教學研究，發表文章10余篇，其中1篇被中國人民大學復印報刊資料中心《初中數學教與學》全文轉載.