基于需求彈性的多模式鐵路客運票價優化模型及算法

摘要：為增強鐵路客運市場競爭力、提高其運營收入，對多模式鐵路客運票價的多目標系統優化問題進行了研究。采用變分不等式模型對不同鐵路客運產品客運需求之間的平衡關系進行描述，采用靈敏度分析的方法給出了多模式鐵路客運產品需求彈性的計算方法，并構建了多模式鐵路客運的市場需求函數；在此基礎上，綜合考慮了鐵路客運企業的市場需求、客運收入、利潤以及旅客出行費用等多個優化目標，提出了多目標雙層規劃模型來描述多模式鐵路客運票價的系統優化問題。最后，采用北京至天津的真實鐵路客運數據對提出的模型進行驗證。結果表明本文提出的票價優化方法可以有效兼顧客運需求、客運收入以及利潤等多個指標，為鐵路客運部門在不同市場競爭階段制定科學合理的鐵路客運票價體系提供參考和支撐。

關鍵詞：鐵路客運；鐵路客運票價；需求彈性；多目標；雙層規劃

中圖分類號：U293.1文獻標志碼：A文章編號：1002-4026（2024）05-0069-10

開放科學（資源服務）標志碼（OSID）：

Optimization model and algorithm for multimodal railway-passenger

transportation fares based on demand elasticity

WANG Hongyin1，YUAN Yuan1， CUI Hongmeng2，ZHENG Xuanchuan3 ， SI Bingfeng2

（1. Zhengzhou Metro Group Co.， Ltd.， Zhengzhou 450000， China；2. School of Systems Science， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China;

3. Beijing Urban Construction Design &Development Group Co.， Ltd.， Beijing 100037， China）

Abstract∶To improve the competitiveness of the railway-passenger transportation market and increase its operational revenue， this study investigates the multiobjective system optimization issue of multimodal railway-passenger transportation fares. A mathematical model was used to describe the equilibrium relationship among the demands of different railway-passenger transportation products. Sensitivity analysis was performed to provide a calculation method for the demand elasticity of multimodal railway-passenger transportation products， and a market demand function for multimodal railway-passenger transportation was formulated. Considering multiple optimization objectives such as market demand， passenger transportation revenue， and profit of railway-passenger transportation enterprises along with passenger transportation costs， we proposed a multiobjective bi-level planning model for describing the system optimization issue of multimodal railway-passenger transportation fares. Finally， we used real passenger transportation data of the railway line between Beijing and Tianjin to validate the proposed model. The results show that the proposed method can effectively balance multiple objectives such as passenger transportation demand， passenger transportation revenue， and profit， providing reference and support for railway-passenger transportation departments to develop scientifically reasonable fare systems in different market competition stages.

Key words∶railway-passenger transportation; railway-passenger fare; demand elasticity; multi-objective; bi-level planning

隨著我國高速鐵路的快速發展，客運市場競爭愈加激烈。票價作為主要競爭手段，對國內客運市場的健康發展極為重要。中國鐵路總公司對高鐵的自主定價權。面對日益激烈的市場競爭，鐵路運輸企業應該考慮出行需求的差異性，對票價機制進行完善，并建立科學的綜合票價體系。

國內外很多學者對鐵路客運票價問題進行了研究。例如，Daniel［1］通過對悉尼到堪培拉的客運數據分析，指出鐵路客運票價應按客流變化分時段制定，并分別以社會福利最大化和效益最大化為目標建立了票價優化策略；Kaan［2］考慮了旅客的時間價值并構建了基于時間價值的票價優化模型，通過美國新澤西州的鐵路客運數據進行了驗證；陳建華等［3］分析了鐵路客運服務質量對需求的影響，采用交通網絡平衡理論構建了基于雙層規劃的鐵路客運票價優化模型；四兵鋒等［4］分別考慮了鐵路客運中的企業效益和乘客出行兩個因素，通過雙層規劃構建了以市場占有率最大為目標的鐵路客運票價優化模型。近些年來，隨著我國高速鐵路的快速發展，一些學者對高鐵客運的票價問題展開研究。例如，陳方遒等［5］基于改進的LSTM（long short term memory networks，長短時記憶網絡）模型，提出了考慮現行浮動定價策略的高鐵定價模型，以京滬高鐵為案例進行了分析；夏陽等［6］構建價格-時空的三維網絡，建立了鐵路客運票價優化問題的整數線性規劃模型，以京滬高鐵為例進行了分析；秦進等［7］構建了考慮停車方案的非線性混合整數規劃模型來研究高鐵動態票價優化問題，以京滬高鐵為例對模型進行了驗證；閆振英等［8］以高鐵客運收益最大化為優化目標，基于偏好序選擇行為建立了考慮高鐵票價和售票時間窗的非線性規劃模型，并給出了求解算法。

盡管這些研究從不同方面對鐵路客運票價優化問題進行了研究，但只考慮了公路、民航、鐵路等不同客運方式之間的市場競爭，并沒有考慮鐵路客運內部不同列車服務模式之間的競爭。而事實上，在客運市場競爭中，除了以高鐵和民航為代表的不同運輸方式之間的競爭，鐵路內部也存在動車、高速、直達、普快、特快等多種客運產品。不同的客運產品在價格、行駛速度、服務質量等方面存在差異，這些差異在一定程度上會影響乘客的選擇。因此，不同客運產品之間也存在著競爭關系。同時，隨著國內客運市場的變化以及鐵路客運市場化改革的推進，鐵路客運企業參與競爭的目標也更加多元化，而不僅僅局限于某個單一目標。票價對客運市場中的需求起主要作用，票價變化會導致需求的變化，進而影響客運企業的市場份額、收入及利潤，并且票價的變化對于這些不同指標的影響存在顯著差異，鐵路客票定價應在多個優化目標中尋優，或兼顧多目標進行系統優化。然而，目前關于鐵路客運票價多目標優化的研究還很少。

在市場競爭中，需求彈性是指需求對其影響因素的敏感程度，反映了相關影響因素發生變化而引起的需求變化率，這一指標在產品價格制定中具有重要作用。在交通領域，關于需求彈性方面的研究主要集中在城市公交方面，例如，Johan［9］通過回歸方法研究了公交需求彈性的偏差，計算了美國幾個城市的公共交通價格需求彈性；David等［10］分析了城市人口、票價等因素對公交吸引程度的作用機制，同樣采用統計方法分析了公交需求彈性；陳伯陽等［11］研究了城市公交價格對其需求的定量關系，并對不同情況下的公交客流需求以及價格需求彈性的變化規律進行了分析。近年來，一些學者對我國鐵路客運的需求彈性進行了研究，例如，李文君等［12］采用需求彈性理論分析了我國高鐵的需求變化規律，通過實際運營數據研究了企業收入、票價水平及車輛速度等關鍵因素的需求彈性；韋濤［13］分析了旅客出行需求的時間彈性及購票行為特征，提出了鐵路客票銷售的需求彈性控制及實施方法；車瑤等［14］引入交叉彈性表示客運產品之間的可替代程度，構建了指數需求函數以描述客運需求與票價之間的關系，并進一步研究了客運產品之間不同可替代程度下的最佳動態票價策略。然而，目前關于鐵路需求彈性的研究大多是基于調查數據并采用統計方法來進行分析，這些研究只適用于特定的線路或者區域，而無法將其應用于鐵路客運票價優化問題中。

本論文針對以上問題，對某兩個城市之間的鐵路客運票價優化展開研究。首先，分析了鐵路乘客的選擇行為，基于用戶平衡準則構建了一個變分不等式模型，對不同客運產品客運需求之間的分配關系進行描述，并采用靈敏度分析的方法來表達鐵路客運的需求與票價間的定量關系，再通過需求彈性分析給出了多模式鐵路客運需求函數，在此基礎上，綜合考慮了鐵路客運需求、票價收入、利潤等市場競爭目標，構建了多目標雙層規劃模型來描述多模式鐵路客運票價系統優化問題，并設計了求解算法。最后，采用北京到天津之間的實際鐵路客運數據對模型及算法進行了驗證。

1基于需求彈性的多模式鐵路客運需求函數

由于本文針對同一起訖點建模，故假定在某兩個城市之間的鐵路客運共有N種模式，鐵路客運總需求Q固定，不同模式的客運需求滿足以下基本條件：

∑Nn=1qn=Q，（1）

式中，qn表示第n種客運方式的需求量。

旅客在確定鐵路作為城際出行方式后，會根據各種條件選擇鐵路客運方式，比如高鐵、動車、普通列車等。采用廣義出行費用定量表達鐵路客運產品之間的競爭差異性，廣義出行費用是乘客對出行過程的整體評價，是旅客進行鐵路客運產品選擇的主要依據。本文根據鐵路運輸供給條件和乘客自身感受，將各種影響因素分為兩類指標：第一類指標是可以量化的固定費用，包括列車運行時間和票價等；第二類指標是隨情景變化且難以量化的因素，如舒適性、安全性、排隊檢票時間、排隊上車時間等。

第二類指標難以直接量化，卻與客運量有一定的關系［15］。如果客運量大，可能造成擁擠，存在一定的安全隱患，乘客的排隊時間、找座時間也會增加，乘客在整個乘車過程中的舒適性隨之降低，這些都會增加乘客的廣義出行費用。第二類指標與客運量之間通常是反函數關系［16］：

Cn=Cn（qn），（2）

式中，Cn表示第n種客運方式的第二類綜合指標。

本文將旅客的廣義出行費用表示為：

GCn=αCn+βTn+Pn， n，（3）

式中，GCn表示客運方式n的廣義費用；Tn和Pn分別表示第n種客運方式的列車運行時間和票價；α和β為參數。

按照消費者行為理論，旅客一般會選擇廣義費用最小的鐵路客運方式，同時，旅客的選擇行為又會受到其他旅客選擇的影響。比如，假定某種鐵路客運方式的廣義出行費用低，此時，所有旅客都會選擇該種方式，對應的客運需求就會上升，基于式（3），旅客廣義費用也會隨之上升，上升到一定程度時，就會有部分旅客轉移到其他鐵路客運方式，而其他客運方式的費用同樣會隨其需求的增長而上升。因此，在不同的鐵路客運產品之間存在競爭和博弈關系。根據市場平衡原理，在長期旅客出行選擇行為的作用下，客流需求會在不同的鐵路客運產品間達到平衡狀態，這就是交通系統中的用戶平衡狀態，可用下式進行描述：

GCn=Cmin ，

GCn≥Cmin ， qn>0qn=0，n，（4）

式中，Cmin表示平衡狀態下的最小出行費用。

根據文獻［16］，可通過求解變分不等式模型（5）得到滿足用戶平衡條件（4）的多模式鐵路客運需求：

GC（q*）T（q－q*）≥0，（5）

式中，q*表示變分不等式模型（5）的解，q=q1，q2，…，qNT，q*=q*1，q*2，…，q*NT，GC（q*）=GC1（q*），GC2（q*），…，GCN（q*）T。

根據變分不等式的靈敏度分析方法，可將票價作為模型（5）的擾動參數，即當票價變動時，各客運方式的廣義費用會隨之變化，同時，各方式客運需求也會隨之改變。

下面給出應用靈敏度分析方法計算多模式鐵路客運需求彈性的過程。

首先，在給定的鐵路票價P（0）n下，變分不等式模型（5）解的一階必要條件可寫為［17］：

GC（q*）－μ=0，（6）

Q=ΔTq*，（7）

式中，μ為基本守恒條件（1）的拉格朗日乘子向量；Δ=（1，…，1）T。

設y=q*，μT，用Jy表示公式（6）和（7）對于q，μ的雅克比矩陣，用JPn表示公式（6）和（7）對參數Pn的雅克比矩陣，可得出［17］：SymbolQC@yPn=J－1y·（－JPn）。（8）

根據式（8），就能計算出不同鐵路客運方式下的客運需求對其票價的導數，即：qn/Pn。參考需求彈性的定義，鐵路客運的需求彈性可以通過式（9）進行計算：

En=qnPn·P（0）nq*n，（9）

式中，q*n表示在給定的鐵路票價P（0）n下第n種客運方式的滿足用戶平衡條件（4）的需求量。

根據鐵路客運的需求彈性，就可以得出多模式鐵路客運的需求量和票價之間的函數關系，基于式（9），應用泰勒展開式可得到如式（10）的多模式鐵路客運需求函數：

qn（Pn）≈q*n1+En（P（0）nPn－1），n。（10）

2鐵路客運票價多目標系統優化模型

隨著我國鐵路系統市場化改革的加快，票價改革已被提到越來越重要的位置。同時，由于我國鐵路客運還承擔著社會公益服務的職能，這在一定程度上也限制企業收入最大化。目前，對于鐵路客運企業來說，在市場競爭中，客運量、客運收入以及企業利潤是衡量鐵路客運經濟效益的三大指標，這三個指標可分別表示如下：

F1=∑Nn=1qn（Pn），（11）

F2=∑Nn=1qn（Pn）·Pn，（12）

F3=∑Nn=1qn（Pn）·（Pn-pminn×ln），（13）

式中，pminn和ln分別表示第n種鐵路客運方式的最低票價率以及運營里程，pminn×ln代表了第n種鐵路客運方式的最低客運成本。

客運成本是鐵路票價制定的主要依據，而基于鐵路客運社會公益性，政府會對鐵路票價進行限定。假定宏觀政策無較大變動，則鐵路客運票價應在政府最高限價和鐵路客運成本之間進行制定。即：

pminn×ln≤Pn≤Pmaxn（14）

式中，Pmaxn表示第n種鐵路客運方式的政府限價。

在本文中，綜合考慮了鐵路客運企業的多種經濟目標和旅客出行費用兩方面的因素，采用基于多目標雙層規劃方法來描述多模式鐵路客運的票價優化問題。其中，鐵路客運企業在政府規定的票價范圍內制定滿足不同優化目標的最佳票價為上層優化問題，而下層優化問題則對鐵路客運總需求在不同客運方式之間的平衡關系進行描述。

本文提出的多目標雙層規劃模型如下：

max（F1，F2，F3），（15）

s.t.pminn×ln≤Pn≤Pmaxn，n，（16）

qn（Pn）≈q*n1+En（P（0）nPn－1），n，（17）

其中，約束條件（17）是通過求解下層模型得到的，下層模型為公式（5）所示的變分不等式問題，即GC（q*（P））T（q－q*（P））≥0，其中P=P1，P2，…，PNT。

在雙層規劃模型中，上層優化問題的決策變量（即不同客運方式的票價）與下層優化問題的決策變量（即不同客運方式的客運需求量）是相互作用的。在其他條件不變的情況下，提高某種鐵路客運的票價水平，那么，該鐵路客運的需求必然轉移到其他方式上；反之，如果降低某客運方式票價，則該方式就會吸引更多的客運需求。一方面，乘客總希望選擇最佳的客運方式來降低自身的出行費用；另一方面，鐵路客運企業則希望通過票價和市場需求來達到其經濟目標。這兩者存在相互作用機制，最終會達到一個均衡點，即雙層規劃模型的最優解。需要注意的是，本文提出的模型是針對某兩個城市之間的鐵路客運票價進行優化，不同的城市需要重新對應求解。

3求解算法

通常，雙層規劃問題是一個NP-hard問題，導致雙層規劃問題求解困難的主要原因是非凸性。目前，求解雙層規劃的算法都是啟發式的，歸納起來，可分為五類，即K-T法、極點搜索法、下降法、非數值優化方法以及直接搜索法，其中下降法在解決實際問題中應用較為廣泛［16］。本文采用下降法來求解多目標雙層規劃問題如公式（15）～（17），該方法的基本思想為：通過求解下層變分不等式模型，根據需求彈性得到需求函數（10），將其代入到上層多目標規劃問題中，則雙層問題轉化為單層多目標優化問題，可用已有的方法求解得到最優解，最優解即為新的多方式客運票價，再對下層問題求解，可以得到新的需求函數，重復計算，最后可得到雙層多目標規劃的最優解。求解算法的具體步驟如下：

步驟1初始化，設置初始的鐵路客運票價P（0）n，n，設置迭代次數k=0；

步驟2根據當前的鐵路票價P（k）n，n，求解下層變分不等式模型得到均衡條件下的不同鐵路客運方式的需求量q*（k），n；

步驟3通過需求彈性分析得到需求函數qn（Pn）表達式，將其代到上層多目標規劃模型中，求解得出新的鐵路客運票價ω（k）n，YfypTzVi3nSkcaS5qwijPJtKwNz+9u2P68ckVvXlK18=n；

步驟4根據式（18）對票價進行迭代

P（k+1）n=P（k）n+1k+1（ω（k）n－P（k）n），n;（18）

步驟5收斂性判斷，如果max{|P（k+1）n－P（k）n|}≤ε或者k=M，則停止迭代；否則令k=k+1，轉到步驟2，其中M表示最大迭代次數，ε表示迭代精度。

主要有兩種思路來求解上層的多目標鐵路票價優化問題：一種是在多個單目標的定價方案中進行選擇，單目標定價方案指的是企業根據唯一優化目標制定的票價決策。如認為在鐵路峰值期應該以票價收入為目標定價，非峰值期應以利潤為目標定價，新線路開通宜根據客運需求目標定價等［18］；或者根據定價部門的要求將不同目標的定價方案進行對比，如以利潤、收益、客運需求量作為定價目標［19］。這種思路不會涉及多目標之間的權衡與取舍，而是將單一目標定價結果制定的最佳方案進行對比。另一種思路則是多目標定價方案，即企業同時考慮多個優化目標來制定票價策略，線性加權和法較為常見，該方法是把每個目標賦權后的加和當做目標函數，現有的多目標定價研究大多采用線性加權和方法［20-21］。

本文采用線性加權和法來求解上層多目標優化問題。加權法需要事先給定每個目標權因子，權因子與約束參數的設定受到具體應用中交通政策、決策者偏好等多種因素的影響，是較為復雜的問題。線性加權模型是最為常見的妥協模型［22-23］，該模型對目標函數進行加權求和，對于本文所提出的上層多目標規劃問題，其目標函數可轉化為如式（19）的線性加權和模型：

max∑3i=1λiF-i，（19）

其中，λ1、λ2、λ3為非負實數，且λ1+λ2+λ3=1，表示不同優化目標的權重；F-i表示各優化目標經過歸一化處理后的目標值，可采用min-max歸一化方法。

求解變分不等式模型的常用算法為松弛算法，該算法的基本思想為：在第i次迭代中，用當前解對向量函數GC（q1，q2，…，qN）進行對角化處理，即假定向量q=q1，q2，…，qN中只有一個變量為決策變量，而其他變量為常數，則函數GC（q1，q2，…，qN）的Hession陣SymbolQC@

qGC（q）是對角陣，對應的優化子問題被稱為對角化子問題，該子問題可以通過數學優化算法進行求解。

下面給出給出求解變分不等式問題（5）的一般過程［16］：

步驟1初始化，設定一個不同鐵路客運需求的初始可行點q（0）∈{q（0）｜Q=δTq（0）}，令迭代次數i=1；

步驟2松弛化，求解如下的數學優化子問題

min Z（q（i））=∑Ni=1∫qn（i）0（αCn+βTn+Pn）dx，（20）

s.t∑Nn=1qn（i）=Q，（21）

可采用Frank-Wolfe算法或MSA算法進行求解，假設最優解為q*（i）；

步驟3收斂性檢查，如果滿足收斂性，則停止；否則，令i=i+1，轉步驟2。

4算例分析

采用北京到天津之間的鐵路客運數據來對模型和算法進行驗證。目前，北京至天津的鐵路客運方式共有5種：C列車、D列車、G列車、KTZ列車和普通列車，將其分別用1～5的數字表示。北京至天津京哈線的運距為137 km，京津城際高鐵運距為120 km，根據2017年北京鐵路局的統計資料，平均每日北京到天津的發送總客流Q=45 128人次。北京到天津不同的鐵路客運方式的市場分擔率、客運量、平均時耗和平均票價等數據由表1給出。

本例對約束（2）采用對數函數Cn=ln qn的形式。根據上面的數據采用回歸方法對參數α和β進行估計，表2給出了計算結果。

基于以上數據，采用松弛算法求解下層變分不等式模型得出在均衡條件下的不同鐵路客運方式的需求量q*=（34 124.21， 378.59， 6 242.38， 4 023.44， 359.38）。根據靈敏度分析方法，計算得出如式（22）矩陣：SymbolQC@*py=-235.2230.8786.522 9.595 11.226 0.878-5.703 0.6730.9911.1596.5220.673 -63.1717.361 8.6139.5950.9917.361-45.619 12.67011.226 1.159 8.613 12.670 -20.6710.0690.0070.053 0.0780.091 ，（22）

再根據需求彈性計算公式（9），計算得到不同鐵路客運方式之間交叉需求彈性，如表3所示。

下面分析隨著不同列車票價的變化，鐵路客運需求、客運收入以及利潤的變化趨勢。圖1給出了在其他條件保持不變的情況下，當北京到天津之間不同列車的票價從30元增加到70元時，鐵路客運需求、收入以及利潤的變化趨勢。

可以看出，對于鐵路客運需求來說，隨著各類旅客票價的提高，需求是持續下降的，這符合市場規律，無論哪一類旅客列車的票價提高，都會降低鐵路客運需求，因此，當各類客運方式的票價在最低票價水平時，鐵路客運需求會達到最大。對于鐵路客運收入來說，在票價約束范圍內，隨著C列車票價的上升，鐵路客運收入持續上升，隨著普通列車票價的上升，鐵路客運收入持續下降，而隨著D列車、G列車和KTZ列車票價的上升，鐵路客運收入先上升到一個峰值后再下降。對于鐵路客運利潤指標而言，隨著C列車、D列車、G列車、KTZ列車票價的上升而持續上升，隨著普通列車票價的上升，鐵路客運利潤先上升然后再下降。因此，在鐵路客運市場中，并不是僅通過提高票價就可以增加鐵路客運收入或利潤，而是存在一個合適的客運票價體系，可以保障在其他因素不變的條件下，實現鐵路客運的不同優化目標。表4給出了在約束條件下不同優化目標的最優票價以及對應的目標值。其中優化目標用F1、F2和F3表示，分別代表客運量、客運收入以及企業利潤這三個指標。

從表中的計算結果可以看出，在不同的優化目標下，鐵路客運票價具有不同的優化結果。如果只考慮市場需求，則票價在最低票價時，鐵路客運需求達到最大，而此時對應的鐵路客運收入并不是最好的，而利潤則為0；如果只考慮客運收入最大化，此時鐵路客運需求會下降，同時，利潤也不是最佳的；而如果只考慮利潤的話，則需求會更低，客運收入也會下降。因此，在制定科學合理的鐵路客運票價體系中，需要在這些優化目標中尋找一個平衡值，這種平衡值取決于在不同市場競爭階段鐵路客運部門對于不同目標的側重情況。

下面來分析多目標綜合優化的計算過程，假定給定這三個優化目標所對應的權值λ1、λ2、λ3均取值為1/3，求解上層優化模型（19）可得到C列車、D列車、G列車、KTZ列車和普通列車的最優票價分別為60元、52元、60元、44元和30元。通過調整各個優化目標的權重，可以得到在不同市場階段的鐵路客運票價的優化結果，表5給出了在不同權重值條件下所得到的鐵路客運票價優化結果。

如表5所示，如果優化目標側重于市場需求（λ1=0.6），則票價趨于低價，此時若能更多地兼顧客運收入（λ2=0.3），就可以保障鐵路客運需求趨向最大的同時，鐵路客運收入和利潤也不是最差的；通過對比可以發現，在這種情況下，更關注客運收入（λ2=0.3）比更關注利潤（λ3=0.3）能獲得更良好的經濟效益，但無論何種權重分配，客運收入和利潤都比只考慮市場需求的單目標優化結果要高（客運收入增加18.85萬元，利潤增加3.09萬元）。同樣的，如果客運收入的權重較大（λ2=0.6），市場需求和利潤的側重點不同，不同形式的客運方式的票價會有不同的組合，但都可以在保證收入接近最大的同時，兼顧鐵路客運需求不會過少；與只考慮客運收入的單目標優化結果相比，市場需求增加1.89%，利潤增加0.67%。而如果更重視利潤的話（λ3=0.6），則票價應適當提高，此時更多地兼顧市場需求（λ1=0.3）可以更好地對客運收入和需求進行優化；與只考慮利潤的單目標優化結果相比，需求增加0.58%，客運收入增加0.65%。

綜上所述，在不同的權重下，多模式鐵路客運票價具有不同的優化結果，這些優化結果介于單目標優化結果之間，使鐵路客運票價優化在側重某一個目標的同時兼顧其他優化目標。因此，通過本文提出的優化模型和算法，可以為鐵路客運部門在不同市場競爭階段制定科學合理的鐵路客運票價體系提供參考和支撐。

5結論

本文考慮了不同鐵路客運產品客運需求之間的分離關系，利用變分不等式對滿足用戶平衡的多模式鐵路客運需求分配問題進行描述，基于經濟學中的需求彈性的概念分析了客運需求與票價之間的定量關系，綜合考慮了市場需求、企業收入及利潤等因素，構建了多目標雙層規劃模型來描述市場競爭下的鐵路客運票價優化問題，并設計了求解算法，應用京津城際的運營數據對模型和算法進行了驗證。

盡管本文在多模式鐵路客運票價優化方面進行了一定的探討性工作，但所提出的模型方法仍存在可以完善的地方，比如：（1）本文的模型并沒有考慮旅客類型的不同，而在現實中，不同類型的旅客在選擇出行方式的時候有不同的標準，在后續的研究中可以考慮面對不同類型的旅客提出更加細化的鐵路客運票價優化方法；（2）在本文的模型中，假定鐵路客運的總需求是給定且不變的，而在現實中，鐵路客運的主要競爭對象是公路客運以及航空客運，如何將鐵路客運的需求視為彈性變量，構建更為普適的鐵路客運需求模型和彈性計算方法，也是未來研究應該考慮的問題；（3）由于數據資源有限，在本文的算例分析中，采用的是2017年北京鐵路局的統計數據，這可能會對研究結論的可靠性產生影響，在后續的研究中可以考慮收集更豐富、全面的數據進行進一步的實驗分析；（4）本文僅以北京到天津的鐵路數據為例進行優化，在后續的研究中，可以考慮擴大樣本范圍，探究不同城市之間的票價優化差異，并觀察運營里程對優化結果的影響。

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