問題驅動的向量數量積的概念教學

摘 要：向量的數量積是重要的運算和核心的概念. 通過對向量線性運算功能與價值的反思，發現定義新運算的必要性. 基于問題驅動教學原理，以被改造過的余弦定理為本原性問題，驅動學生通過問題解決實現數量積的概念建構，利用解決過程中自然產生的投影向量揭示數量積的幾何意義并建立運算律，實現概念理解. 最后對問題情境的適切性、投影變換保持認知方式的連貫性、數量積對認知發展的促進作用和促進向量方法的生長拔節等問題進行了反思.

關鍵詞：向量的數量積；概念教學；問題驅動

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0012-05

引用格式：李昌，朱松. 問題驅動的向量數量積的概念教學［J］. 中國數學教育（高中版），2024（5）：12-16.

在向量知識體系中，數量積既是核心的概念又是重要的運算. 因此，對數量積的學習既要理解概念本質，又要掌握運算技能. 運算技能的掌握只需要正確合理地操作訓練就能實現，而對概念本質的深刻理解則要求學生的思維必須真正進入概念形成的過程中去. 對概念本質的深刻理解能夠促進運算技能的快速掌握. 因此，做好數量積的概念教學顯得尤為重要.

在高中數學中，數量積是通過與實數運算的類比，以物理學中“功”的計算為原型，將其抽象為力和位移這兩個矢量“相乘”的結果，然后推廣為向量的運算，并依據運算結果的數量特征來命名的乘法運算. 在教學實踐中，由于數量積概念高度的抽象性，學生難以將其融合到功的原型中進行抽象概括，也就很難水到渠成地實現從功到數量積的意義建構. 而且，依照與實數運算進行類比的邏輯來引入數量積的概念，無法彰顯數學內部發展的需求和動因，也就不能體現引入數量積的必要性和價值. 再加之數量積喪失了運算的封閉性和可逆性，學生關于運算的數學現實不僅無法進行概念同化，反而容易成為一種阻礙理解的思維定式.

綜上所述，學生容易把機械記憶和文本復述作為理解數量積概念的主要途徑，數量積的概念教學也容易走偏為直接告知. 那么，如何讓學生認識到引入數量積的內在動因和價值？如何水到渠成地實現數量積的概念建構？如何讓學生在數量積的概念教學中體會到蘊含其中的思想方法？筆者根據問題驅動教學的原理，對數量積的概念教學進行了實踐和思考，期待大家批評和指正.

一、問題驅動的數學教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）強調：“教學活動應該把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題. 教學情境包括：現實情境、數學情境、科學情境……情境創設和問題設計要有利于發展數學學科核心素養.”問題驅動的教學是基于《標準》要求進行的理論和實踐探討，其核心觀點是以發現數學結論的本原性問題為教學的出發點，通過教學法將其加工成適合學生認知的教育形態，從而引發學生火熱的思考. 實施問題驅動教學的基本要求是，教師在設計教學時，要實現內容知識由學術形態向教育形態的轉變，即要在整體把握教學單元、深入理解課時內容的基礎上，聯系學生的數學現實，提出真實的問題并賦予有效的情境；教師在實施教學的過程中，要基于“數學化”的方法組織教學內容，引領學生圍繞問題情境進行探究、發現和解決問題，并在探究、發現和解決問題的過程中體驗數學知識的再發現過程，獲得相應的數學思想，構建具有聯系的知識結構.

二、數量積的概念教學

1. 反思線性運算，體會引入新運算的必要性和目的性

問題1：通過與實數運算的類比，我們定義了向量加法、向量減法和向量數乘. 這些線性運算能夠定量地描述線段平行、圖形相似等幾何性質，其中蘊含了數形結合的思想方法. 那么，能否利用這些線性運算來刻畫向量的長度和夾角？為什么？用于計算長度和夾角的向量運算應該具有怎樣的特征？

追問：類比實數的運算，在建立向量加法、向量減法和向量數乘的定義后，應該建立向量的乘法，并用于刻畫長度和夾角. 對于同向向量的特例，如何進行乘法運算？理由是什么？

【設計意圖】問題1旨在引導學生通過對向量線性運算的特點、意義和價值的回顧反思發現定義新運算的必要性和目的性，并為學生提供發展質疑能力和理性思維的契機和載體. 追問旨在用特殊向量如何相乘的問題引發學生合情推理，激發學生的求知欲望，并為學生在后續學習中產生積極的情感體驗提供機會.

實際的教學反饋是，大多數學生認為同向向量的乘法是其模相乘. 他們的理由集中于兩點：一是從幾何上看，兩個同向向量在直線上的位置與兩個正實數在數軸上的位置相同，因此它們的乘法應該與實數的乘法相似；二是與向量加法相對照，同向向量相加時，只需要對模相加，類似地，它們相乘時，也只需要將模相乘. 筆者認為，這兩點理由雖然牽強，但以此進行合情推理，與學生的認知相符.

2. 以計算和向量長度的問題，驅動數量積的概念建構

問題2：根據向量加法的三角形法則，容易得到模的關系式[a+b≤a+b]，若記非零向量[a，b]的夾角為[θ]，則當[θ=0]時，其中的[“=”]成立. 那么，當[θ≠0]時，[a+b， a， b]和[θ]之間是否也存在某種等量關系？先以[θ]取特殊值時的情形為例進行探究.

追問1：當[θ=π2]時，由[a，b]和[a+b]確定了直角三角形，三邊長滿足勾股定理，即[a+b2=a2+b2]，變形為[a+b2-a2-b2=0]. 若記[f=a+b2-a2-b2]，

則當[θ≠π2]時，[f≠0]. 那么，[f]的值是多少？與哪些因素有關？不妨先保持[a， b]不變，觀察并想象[f]隨[θ]的變化情況，再保持[θ]不變，觀察并想象[f]隨[a， b]的變化情況.

追問2：如圖1，[△ABC]是由[a，b]和[a+b]確定的，[a]和[b]的夾角[θ≠π2]. 如何將這些三角形轉化直角三角形，進而求得前述[f]的值？

追問3：求得的[f=2abcosθ]對于[a，b]共線的情形是否成立？

追問4：數學上把[abcosθ]定義為向量[a，b]的數量積，用符號[a ? b]來表示，即[a ? b=abcosθ]，并規定[0 ? a=0].“積”是乘法的稱謂，乘法是一種二元關系，表達某種不變性或規律性. 據此談談你對[a ? b]的理解，說明以“數量”修飾“積”的道理. 此外，現實中有數量積的例子嗎？例如，物理中計算物體在力的作用下發生位移的功，是數量積嗎？

追問5：當非零向量[a，b]具有某種特殊關系時，如[a∥b]，[a⊥b]，[b=a]等，[a ? b]的數值或形式有什么特殊性？能由此得到計算向量長度和夾角的路徑嗎？

【設計意圖】余弦定理與數量積具有相同的數學本質. 以被改造了表達形式的余弦定理為建構數量積的本原性問題，能夠展示數量積概念形成的過程和邏輯，并驅動學生思維的發展. 向量加法的三角形法則和模的關系式[a+b≤a+b]都是學生熟悉的基礎知識，在此情境中可以自然地提出探索三條邊長和向量夾角之間是否存在等量關系的問題，而不會讓學生感到突兀.

追問1以向量夾角為直角的特殊情形，引發學生關聯直角三角形，提取勾股定理，既肯定了等量關系的存在性，又提供了改造余弦定理、引入變量[f]的基礎，也為后續問題提供了轉化的方向和解決的支架. 引導學生觀察并想象[f]隨[θ]和[a， b]的變化情況，目的是讓學生建立[f]與[θ]和[a， b]緊密相關的感性認知.

追問2要求學生在由[a，b]和[a+b]確定的幾類三角形中計算[f]的值，這既是對問題2的具體解決，也是數量積概念教學的關鍵所在. 因為問題解決的過程，能讓學生看到數量積運算與向量長度和夾角的緊密聯系，問題解決的結果為學生提供了根據運算理解數量積概念的特定視角.

現在以圖1（a）為例展示問題解決的思路. 如圖2，引導學生作三角形高線[CD]，分別構造以[a+b]為斜邊和以[θ]（或[π-θ]）為內角的兩個直角三角形. 先在直角三角形中用[θ]的三角函數表示有關線段的長度，再由勾股定理建立[a+b]和[a， b，θ]之間的等量關系，進而求得[f=2abcosθ]. 并在問題解決的過程中凸顯向量與三角函數之間的關聯.

追問3是以驗證[f=2abcosθ]在[a，b]共線時也成立來說明[f]具有一般性，從而滿足數學概念在概括性和一般性上的要求，也為引出模的計算公式[a=a ? a]作鋪墊.

追問4旨在引導學生從運算的視角把[abcosθ]理解成[a]與[b]的乘法運算. 運算是一種規律，體現為一種代數不變性. 事實上，向量加法確定的三角形（共線向量的加法滿足異化了的三角形，其高為0）形狀各異且大小不同，但其三邊長之間存在的數量關系[f]是一個取決于向量長度和夾角的代數不變關系，而不受三角形其他特征的影響. 這種不變性就是規律，也是兩個向量之間的運算，之所以命名為“數量積”，是為了強調運算結果的數量特征. 最后列舉功的例子，為數量積建立概念原型，促進概念理解，也讓學生看到數量積在現實生活中的應用，感悟數學應用的廣泛性.

追問5旨在讓學生通過對[a，b]的特殊化驗證之前猜想結論的正確性，獲得積極的情感體驗，并讓學生看到數量積在刻畫平行和垂直這對幾何關系時的簡潔與直接，感悟蘊含其中的數形結合思想. 更為重要的是，讓學生通過向量的自乘看到數量積定量刻畫長度的過程和機制，進而通過運算推理發現向量的夾角公式和數量積的內在聯系.

3. 借助投影向量，揭示數量積的幾何意義并建構運算律

問題3：探討[b]在[a]上的投影向量[BD]具有的特征，計算[a ? BD]并與[a ? b]進行比較，能得出什么結論？

追問1：滿足[a ? b=a ? c]的非零向量[b，c]一定相等嗎？即[a ? b=a ? c][?][b=c]成立嗎？

追問2：由[b=BD+DC]，得[a ? b=][a ? BD+DC]. 那么[a ? BD+DC=a ? BD+a ? DC]是否成立？能否推廣到[a ? m+n=a ? m+a ? n]的一般形式？

【設計意圖】問題3旨在引導學生探索[b]在[a]上的投影向量[BD]的特征，進而認識到它是[b]和[a]共同作用的結果，因為[BD]的方向由夾角[θ]和[a]共同確定，[BD]的模由[b]和夾角[θ]共同確定. 然后在運算推理中得出[a ? BD]與[a ? b]的等量關系，從而得出數量積的幾何意義，以深化概念理解. 追問1旨在引導學生根據垂直投影的不可逆性來理解乘法消去律在數量積中不能成立的原因，以幫助學生突破認知難點. 追問2運用垂直投影的正交分解功能對代數等式進行變形，促使學生由代數等式的形式自然聯想到乘法對加法的分配律是否成立的問題. 并在此揭示歷史上將這種運算命名為數量積的道理. 因為在一個具有加法和另外一種代數運算的系統中，對加法滿足分配律的另一種運算都可以稱為乘法.

三、向量數量積概念教學的思考

1. 數量積的問題情境應該抑制疑慮并驅動思維

學生根據“積”的稱謂容易想到數量積和乘法運算緊密相關，而乘法是基于加法的簡便運算. 學生如果順著這個思路來理解數量積，自然會產生“為什么還要定義另一種乘法？”的疑慮，因為實數與向量的乘法恰好與此相符. 這種疑慮如果不及時清除，勢必會阻礙學生對數量積的接納和理解. 因此，數量積概念教學的問題情境還應該發揮幫助學生消除疑慮的功能，而最恰當的問題情境應該既能抑制疑慮的產生，又能激發學生的探究欲望. 為此，本文教學中先要引導學生反思向量線性運算的功能和價值，促使學生建立“只有定義新的運算，才能用于刻畫向量長度和夾角”的感性認知. 這種感性認知既能夠抑制上述疑慮的產生，又能促使學生期盼新運算的建立. 然后，在向量加法的三角形法則中，以對三邊長度之間數量關系的探索來驅動學生進行觀察、聯想和轉化等思維活動，在問題解決的過程中實現了對數量積的概念建構和理解. 在這樣的情境中進行問題探索和數學建構，符合學生的認知基礎，遵循學生的認知規律，既彰顯了引入數量積運算的目的和價值，又為學生的思維和探究提供了正確的方向和強勁的動力.

2. 投影變換能延續認知路徑并奠定學習基礎

雖然向量投影與數量積并沒有本質的聯系，向量投影源于距離，但從聯系的觀點看，投影變換賦予了數量積幾何意義，使抽象的數量積有了直觀的幾何意象. 這為學生設定了一條洞察數量積概念本質的幾何通道. 這個通道既是對數形結合思想的自覺運用，又是向量運算理解路徑的自然延續. 因為它與學生用三角形（平行四邊形）理解向量加法和減法、用伸縮變換理解向量與實數乘法的路徑如出一轍. 由此觀之，這種理解路徑的延續使得學生建構向量運算體系的方式保持了前后的一致性和邏輯的連貫性.

垂直投影為后續學習奠定了基礎. 一方面，垂直投影是建立坐標表示向量的基礎. 如圖2，[b]在[a]上的垂直投影實現了對[b]的正交分解，即[b][=BD+DC]. 若以[BD， DC]的單位向量為基底，則由向量共線定理可以實現對[b]的坐標表示. 另一方面，圖2中[b]在[a]上的投影向量[BD]不僅攜帶了[b]和[a]的位置關系和數量特征，而且在它們確定的[Rt△BCD]中隱藏了點到直線的距離情境，構成了用向量方法求空間距離的幾何模型. 因此，以垂直投影為知識的節點和紐帶，便于學生建立相關知識之間的多元聯系，從而獲得結構優良、提取便捷和遷移靈活的知識體系.

3. 數量積發展了幾何研究的方式和人的認知

數量積是向量幾何屬性和代數屬性的集中體現. 向量的長度和夾角是數量積運算的基本要素，數量積反過來又可以定量刻畫向量的長度和夾角. 例如，[a=a ? a]表明了向量的長度是其自乘結果的算術平方根，用單位向量[e1，e2]取代[cosθ=a ? bab]中的[a]和[b]則有[cosθ=e1 ? e2]，這揭示了兩向量夾角的余弦值是其單位向量的數量積. 數量積對長度和角度的這種定量刻畫的方式不同于線性運算的直觀描述，也有別于實驗幾何和推理幾何的綜合論證. 由于長度和角度是最基本的幾何量，其度量方式的改變必然促使幾何研究方法的更迭和人類認知的發展，前者如項武義教授所言：向量幾何在本質上是坐標解析幾何的返璞歸真，它自然而然地化解了原先在坐標解析幾何中由坐標系的選取所引入的各種各樣非不變量的困擾. 后者集中體現在角的內涵概括上. 在此之前角是一個靜態或動態的幾何圖形，兩邊和頂點是構成角的基本要素且必不可少，而在此后角被進一步抽象為兩個方向的差異，頂點和邊已不再是必不可少的要素了. 這種認知對于立體幾何中空間角的學習和理解十分必要.

4. 數量積的教學應該促進向量方法的拔節生長

向量方法是研究幾何的一種方法論，不是具體的顯性知識，而是內隱于向量概念和運算體系的思維策略，是凝聚人類理性精神和體現向量價值旨趣的大觀念，也是貫穿在高中數學課程體系中的核心思想. 策略性知識不是通過簡單記憶和機械重復就能習得的，它需要學生先經歷問題解決的過程并獲得過程性體驗，然后在實踐應用中將過程性體驗進一步轉化成數學活動經驗，最后在總結反思的內省活動中得以形成. 如果說向量數乘運算的教學應該促使向量方法的萌生，那么向量數量積的概念教學則應該促進向量方法的拔節生長. 因為數量積的概念引入、運算規則的確立和幾何意義的揭示等，都是對向量思想方法的集中體現或直接運用. 對數量積概念的深刻理解需要學生融合代數運算和幾何直觀，還需要學生感悟數學知識之間的相互關聯、反思數學知識結構體系的完整統一. 由此觀之，對數量積概念進行深度的教與學，不僅可以促進向量思想方法在學生認知體系中的拔節生長，還可以提升教師的教學品位.

四、結語

知識具有內容、形式和旨趣的三重意涵. 向量數量積的概念教學形式上是學生對特定的概念、命題與理論等知識的掌握，但是根本上是要通過對方法、思想和思維的孕育，來生長學生的智慧，涵育學生的人文情懷和科學精神.

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