基于任務統領的概念課深度教學策略

摘 要：對概念教學中存在的重講解、輕探究，重結論、輕過程，重單一、輕聯系等問題進行了分析，提出了任務統領的概念課深度教學策略，分別是：單元內容分析，提煉分解任務；課時學情分析，明確任務難點；基于任務與目標的一致性，制定教學目標；基于任務解決的邏輯鏈，構建深度教學.

關鍵詞：任務統領；概念教學；深度教學；數系的擴充；復數

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0022-05

引用格式：李偉. 基于任務統領的概念課深度教學策略：以“數系的擴充和復數的概念”為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（5）：22-26.

一、概念教學存在的問題及分析

李邦河院士認為，數學根本上是玩概念的. 由此可見數學概念的重要性和概念教學的重要性. 在聽課過程中發現，當前的概念教學中存在以下一些問題.

1. 重講解、輕探究

概念課基本上都是教師講、學生聽，學生自主探究的機會少，自然會導致數學概念學習枯燥，效果一般. 教師對教的價值認識不夠. 教是為了教會學生學習，重點在于學生的學. 因此，要上好概念課，教師就要做好任務探究的組織者、設計者和引導者，讓學生自主構建探究、交流、反思的學習過程.

2. 重結論、輕過程

經常可以看到“一個定義、三個注意 + 大量練習”模式的概念教學. 學生死記硬背結論或定義，遇到陌生問題時便會束手無策. 教師對概念的理解及對概念教學的價值認識不到位. 概念的定義或結論僅是概念的符號表征，而概念的邏輯形式和意義才是概念教學的價值所在.

3. 重單一、輕聯系

就概念論概念，忽視聯系，導致概念孤立存在. 對概念的“為何學？學什么？怎么學？”關注不夠；對新、舊概念之間的聯系關注不足. 因此，要學好概念，學生就要立足單元整體視角，縱向聯系，厘清“為何學？學什么？怎么學？”這些問題，提升理性思維；上好概念課，教師要開展深度教學，橫向聯系，促進概念知識網絡的重新構建.

如何改善和轉變？基于任務統領的概念課深度教學，是一種行之有效的方式.

二、基于任務統領的概念課深度教學

首先，任務源自對教學內容的提煉與分析，要想任務有效，勢必要進行單元內容分析，這樣才能更好地理解概念的本質，解決“為何學？學什么？”的問題；其次，一個真實情境的任務解決，必然要在“做”中學，要在探究、交流、反思等過程中自然展開；最后，對于任務的有效解決，必然要進行重點和難點分析，要攻堅克難，使概念教學的重點自然落實到位，難點能有效突破.

下面以人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊（以下統稱“教材”）“7.1.1 數系的擴充及復數的概念”為例，通過借班上課實施“基于任務統領的概念課深度教學”的全過程，從單元內容分析、課時學情分析、任務與目標的一致性、任務解決的邏輯鏈四個方面展開具體闡述.

1. 單元內容分析，提煉分解任務

復數在數學研究中具有重要的地位，在科技領域扮演著重要的角色. 在此過程中，適當融入數學文化元素，讓學生體會每一次數系的擴充都是與人類生產、生活發展密切相關的，感受思維與現實世界的矛盾與聯系，凸顯理性思維的作用.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出：“復數是一類重要的運算對象，有廣泛的應用. 本單元的學習，可以幫助學生通過方程求解，理解引入復數的必要性，了解數系的擴充，掌握復數的表示、運算及其幾何意義.”這是復數學習的知識明線，具體知識結構如圖1所示.

根據單元內容分析可知，教材“7.1 復數的概念”一課就是圍繞任務“描述復數是一種怎樣的數”來展開深入研究的. 如何有序實施并完成該任務？首先，探究復數的起源. 復數的產生源于解方程中解決負數開方的問題，需要在實數系的基礎上實現數系的擴充. 其次，數系的擴充解決了負數開方的關鍵[-1]這個基本單位，引入新數[-1=i]突破了“虛數單位”這個難點. 再次，形成復數的代數表示，歸納復數的概念；對復數的概念縱向聯系、橫向拓展，理解復數與實數的關系，理解復數是由實部和虛部共同確定的一類二元數，加深對復數概念的理解；在代數理解的基礎上，類比二元數，探究復數的幾何意義，復數既與復平面內的點一一對應，又與平面向量一一對應. 最后，深化應用復數的幾何意義，理解復數的模、共軛復數的概念，以及同類模長的復數（即具有同樣類型、性質、特征的與模長有關的復數）對應點的軌跡圖形. 最終能從代數與幾何兩個方面描述復數是一類怎樣的數.

根據上述分析進行任務分解，以任務的有序解決統領整個學習過程，發展學生的數學核心素養. 把任務、內容和過程有機結合，做到任務解決明確，過程邏輯清晰，具體如表1所示.

2. 課時學情分析，明確任務難點

根據上述內容及子任務，結合第1課時的內容進行學情分析，明確課堂教學的難點和策略，具體如下.

（1）學生已經具有數的概念，能理解集合的包含關系，能在實數集中求解方程. 但由于學生不了解數系擴充的原因，對數的生成和發展的歷史規律沒有深入思考，只知其果，不知其因，這正是子任務1的教學難點所在. 因此，教師應該借助合適的資源幫助學生了解數系的擴充歷史，設置問題和活動引導學生探究數系擴充的規律. 借班上課的學生數學基礎較弱，對于一元三次方程的求根公式，在形式和理解上都存在較大困難，不利于任務的聚焦. 基于具體學情，在復數引入時略過一元三次方程的求根公式.

（2）學生對虛數單位i的理解容易出現問題，導致后續對虛部的認識出現偏差，誤以為bi是虛部，這正是子任務2的教學難點. 因此，教師要從具體到一般，幫助學生歸納理解“單位”的含義，突破“虛數單位”的理解困境.

（3）學生對復數的“虛”及不可觸摸性，缺乏直觀的感受，難以理解. 第2課時“復數的幾何意義”從“形”的角度幫助學生直觀理解“數”. 例如，復數與復平面內點的對應，復數與平面向量的對應等，點的坐標、向量的坐標都是由一個有序實數對共同確定的. 因此，子任務3的解決顯得尤為重要，教師要引導學生認識到復數的本質是由實部和虛部兩個實數共同確定的一類二元數，這為子任務4的解決和第2課時的教學做好了鋪墊、打好了基礎.

（4）學生對復數的認識容易停留在形式層面. 教師要立足單元整體，以任務為統領，通過情境、問題、活動等方式引導學生探究和思考，使學生知道為何學、學什么、怎樣學，從而提升對復數概念的整體性、結構性、聯系性和思想性認識.

3. 基于任務與目標的一致性，制定教學目標

基于內容分析的任務分解，在了解學情的基礎上，有序設置適切性、針對性的第1課時教學目標，并進行目標解析，實現任務解決和教學目標的一致性，提升教學的有效性.

（1）教學目標.

① 通過觀看數系擴充的視頻，了解數系擴充的歷史，感悟數系擴充的意義，體會數系擴充的一般規律；通過求解方程，重走數學家的研究道路，經歷數系從實數系擴充到復數系的過程，理解引入復數的必要性.

② 通過對負數開方問題的分析和解決，理解引入虛數單位i的意義和運算規則，提升學生的邏輯推理能力和數學運算能力.（突破教學難點.）

③ 通過對復數的歸納，理解復數的基本概念和代數表示，提升學生的數學抽象能力.（突出教學重點.）

④ 能根據數系擴充的一般規律，知道復數與實數、虛數、純虛數的關系；類比向量的概念，理解復數相等的含義，提升邏輯推理能力.

（2）目標解析.

① 能敘述數系為何要擴充及數系擴充的一般方法，能敘述從自然數系擴充到實數系的歷史；感受數學是源于現實、又服務于現實的，是促進理解和改造世界的工具，體會數學家為追求真理做出的不懈努力.（對應子任務1.）

② 能說出負數開方要解決的關鍵是[-1]，理解[-1=i]是為了解決所有負數開方問題而引入的一個單位；明確解決問題的關鍵60vlc+M7QDvXfhI+8gCKrA==是對實數系進行擴充，增加新數，能敘述引進新數i的性質及歷史.（對應子任務2.）

③ 能根據求根公式寫出方程[x2-10x+40=0]的解及復數的代數表示，明確復數的代數表示中各部分的含義.（對應子任務3.）

④ 能利用Venn圖表示復數、實數、虛數和純虛數之間的關系，能說出實數、虛數和純虛數的代數表示中實部、虛部的取值規律；能類比向量的概念說明復數不能比較大小，能寫出兩個復數相等的充要條件.（對應子任務4.）

4. 基于任務解決的邏輯鏈，構建深度教學

（1）創設情境，探究復數的起源.

子任務1：類比探究，感知方程解的問題與數系擴充緊密相關.

情境1：解方程[x2+1=0，x+1=0].

情境2：播放“數系的發展史”視頻.

情境3：解下列4個方程，并完成表2.

問題1：在填表過程中，添加了新數，解決了什么問題？運算法則是否成立？

追問1：觀察方程[x2-10x+40=0，x∈R]，如果用求根公式表示方程的根，會是什么形式呢？

師生活動：學生給出方程的根為[x=5±-15]. 師生一起研究發現若要使方程有解，負數要能開方才行.

追問2：前三個方程有解是不斷擴充數系的過程，若要使第四個方程也有解，類比思考，應該如何解決？

【設計意圖】情境1引起認知沖突，激發興趣；情境2幫助回顧數系擴充的歷史；情境3引導學生充分經歷數系擴充的過程，通過問題1和兩個追問，引導學生歸納數系擴充的方法和規律，明確問題的根本是解決負數的開方問題，初步感知數系擴充的需要. 教師聚焦子任務1，有針對性地進行情境設置、問題引領、活動實施等，讓學生參與探究、交流、反思的學習過程，引導學生自然探究. 在該過程中，教師自然地成為課堂探究的組織者、設計者和引導者，能夠幫助學生“學”，特別是讓學生理解“為何學”.

（2）深入探析，突破“虛數單位”難點.

子任務2：歸納概括，理解“虛數單位”定義的合理性.

問題2：根據數系擴充的規律，引入新數，那么要解決什么問題？

追問1：若要定義某數的平方等于一個負數，是否要定義無數個數？

師生活動：教師呈現若干個數，如[-15]，[-11]，，[-8]，[-5]等，引導學生通過[-15=15×-1]，[-11=11×-1]，[-8=8×-1]，[-5=5×-1]歸納規律，得出任務的本質是解決[-1]的問題，理解[-1]是一個基本單位.

追問2：數學具有簡潔美，它的定義也應該簡潔. 我們只需要定義一個數的平方等于-1即可. 那么，這個數叫什么？用什么符號來表示呢？

師生活動：教師呈現PPT，解讀復數的發展歷史，對新數的命名尊重歷史習慣. 法國數學家笛卡兒給新數取名為“虛數”，意思是“想象中的數”；瑞士數學家歐拉用imaginary（想象的，假想的）的詞頭“[i]”來表示虛數，使[i=-1]，即[i2=-1]；德國數學家高斯發展了復數理論，使復數的應用逐步廣泛.

【設計意圖】通過問題2和追問1，逐步引領學生思考如何引入新數，通過師生活動引導學生歸納推理出[-1]是所有負數開方的一個單位，初步感知虛數單位i與實數之間的運算；追問2及相應的師生活動，在尊重歷史的基礎上，引入了新數i，在[-1]是所有負數開方的一個單位的基礎上，突破了虛數單位這個難點，引導學生理解了新數的運算法則，即實數[b]與i相乘記為[bi]，解決了負數不能開方的問題. 在子任務2的解決過程中，教師通過設置問題，立足整體視角，縱向聯系數系擴充的經驗，引領學生重走數學家的研究道路，像數學家一樣思考，歸納概括，真正理解虛數單位i，知道為何引入，有何性質，明確學什么、怎么學才能合理有意義. 在概念教學的過程中，教師要有效發展學生的理性思維和創新思維，而不是只讓學生知道虛數單位的性質是[i2=-1].

（3）歸納概括，形成復數概念.

子任務3：歸納概括，形成復數的初步概念（代數表示）.

問題3：能否求解方程[x2-10x+40=0]？

追問：我們以后還會遇到很多類似的方程，負數開方后可以得到方程的解，如[1+2i]，[2-34i]，[-13+32i]，能否把這類解（數）寫成一般的代數形式？

師生活動：學生觀察歸納，師生交流，教師點評，滲透復數的發展史. 復數的一般代數形式記為[z=a+bi][a，b∈R]，這種由實數與虛數“復合”而來的數定義為復數. 其中，i為虛數單位，[a]為復數z的實部，[b]為復數z的虛部，全體復數所構成的集合[C=][zz=a+bi a，b∈R]為復數集.

【設計意圖】問題3及其追問的求解過程就是子任務3的解決過程. 教師引導學生實踐操作、觀察歸納，通過師生活動得出復數的代數表示，提升了學生的數學抽象能力. 在尊重歷史的基礎上，形成了復數的初步概念.

（4）拓展聯系，深化復數概念.

子任務4：縱向延伸，理解復數與實數的聯系；橫向拓展，理解復數是一類二元數.

問題4：復數是由實數擴充而來的，實數[a]能否寫成復數[a+bi]的形式？

師生活動：學生交流后給出“當[b=0]時，復數[a+bi][a，b∈R]便是實數a，即[a=a+0i]”. 教師追問，復數去掉實數后剩下什么數，如何分類？學生討論，師生歸納得出虛數的分類，即當[b≠0]時，[a+bi]為虛數，當[a=0]且[b≠0]時，[a+bi]為純虛數.

追問：能否利用Venn圖對復數進行分類？

【設計意圖】通過問題4和追問，引導學生從數系擴充的角度縱向思考實數與復數之間的聯系，延伸了對復數概念的理解，即復數不是一個孤立的概念，而是數系擴充過程中的一個子概念.

問題5：實數能比較大小，向量不能比較大小，復數能否比較大小？

師生活動：師生共同討論，可以得出復數與向量類似，是一類二元數，不能比較大小，只能判斷是否相等. 類比向量相等，得出復數相等的充要條件為“當且僅當[a=c]且[b=d]時，復數[a+bi]與[c+di]相等”.

【設計意圖】問題5引導學生展開深度思考，把復數與實數、向量進行橫向聯系，從而認識到復數是一類二元數. 類比向量，理解了“復數不能比較大小，只能判斷是否相等”這一性質. 在廣度上促進了復數知識網絡的重新構建，理解了復數不僅是數系擴充的一個概念，還是二元數的一種具體數學對象，再次加深了學生對復數概念的理解，也為學習第2課時“復數的幾何意義”做好了鋪墊.

（5）評價反思，概念應用升華.

練習：完成下列題目.

① 在0，[i]，[0.618]，[i2]，[-3i]，[-2+13i]，[5i+8]，[i1-3]中，哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數？指出其中的實部和虛部.

② 當實數[m]取何值時，復數[z=m+1+m-1i]是實數、虛數、純虛數？

③ 復數[z1=a+3i]，[z2=2+bi]，若[z1=z2]，求實數a，b的值.

師生活動：學生獨立完成練習，教師點評，學生互評.

問題6：回顧整個學習過程，能否描述復數是一類怎樣的數？你是如何學習的？

師生活動：學生先獨立思考，然后小組內進行討論，最后分小組展示、學生互評，教師適時點評并追問. 學生提煉最具代表性的觀點，即學習過程就是“重走數學家的研究道路，像數學家一樣思考”的過程.

【設計意圖】練習題檢測了學生對復數概念的掌握程度. 問題6通過引導學生回顧整個學習過程，反思任務的解決過程，提升了學生對概念的邏輯形式和意義的認識，真正實現了對概念的深度理解，做到了轉識為智.

三、建議及反思

任務統領的概念課的深度教學，適合由現實問題和任務解決生成的數學概念. 通過任務解決，促使教師立足單元視角，深化對概念本質的理解，有效分解子任務，使單元視角下的課時教學實現單元的育人功能，有效提升了學生的數學核心素養；通過任務解決，促進了教師進一步轉變觀念，從而想方設法引導、幫助學生逐步解決任務，真正落實“以生為本”，有效幫助教師突破“重講解、輕探究，重結論、輕過程，重單一、輕聯系”的概念教學困境，幫助學生理解“為何學？學什么？怎么學？學得怎么樣？”等問題，提升學生的理性思維，將冰冷的數學概念轉化為火熱的數學思考，真正發揮概念教學的育人功效.

參考文獻：

［1］李邦河. 數的概念的發展［J］. 數學通報，2009，48（8）：1-3，9.

［2］郭元祥. 知識的性質、結構與深度教學［J］. 課程·教材·教法，2009，29（11）：17-23.

［3］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.