理解六側(cè)面：低階到高階的思維進(jìn)階之路

摘 要：思維能力的提升與知識(shí)的遷移緊密相關(guān)，而理解是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的前提. 以理解六側(cè)面為依據(jù)，從理解概念到理解關(guān)系再到理解意義，使學(xué)生的思維從低階不斷走向高階.

關(guān)鍵詞：理解六側(cè)面；低階思維；高階思維

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）05-0027-05

引用格式：陳姍姍. 理解六側(cè)面：低階到高階的思維進(jìn)階之路：以“集合”問題為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：27-31.

基于理解的學(xué)習(xí)有利于知識(shí)的遷移，而思維能力的提升與知識(shí)的遷移緊密相關(guān)，思維從低階到高階的跨越主要受制于知識(shí)的遷移程度. 影響遷移能力的是人們對(duì)知識(shí)的理解程度，而不僅是對(duì)事實(shí)的記憶或?qū)潭鞒痰淖裱瑖L試快速灌輸大量內(nèi)容往往會(huì)阻礙學(xué)習(xí)，阻礙即將產(chǎn)生的遷移. 理解是學(xué)習(xí)的基石，更是促進(jìn)知識(shí)遷移的條件，死記硬背的知識(shí)由于缺乏理解而不能進(jìn)行意義構(gòu)建，無法在大腦中進(jìn)行有效存貯、加工和提取. 如何評(píng)估學(xué)生的理解程度？格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格在《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)》一書中提出理解六側(cè)面，詳細(xì)闡述了理解的多重視角，具體如表1所示.

這六個(gè)側(cè)面為理解提供了多元化的評(píng)估指標(biāo). 從更廣泛的教育視角來看，這些側(cè)面表明：在促進(jìn)知識(shí)遷移的教學(xué)中，理想情況下完整且成熟的理解是指理解六側(cè)面的全面發(fā)展. 在理解形成的過程中，通過六側(cè)面從理解概念到理解關(guān)系再到理解意義，就是思維從低階走向高階的過程，關(guān)系如圖1所示.

集合是刻畫一類事物的語言和工具，屬于高中數(shù)學(xué)的預(yù)備知識(shí)，其特點(diǎn)是概念多、符號(hào)多，抽象程度高. 集合單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)使用集合語言簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn). 因此，如何幫助學(xué)生理解相關(guān)概念，理解集合的基本關(guān)系、基本運(yùn)算，以及理解抽象符號(hào)的意義是值得研究的問題.

一、解釋與闡明：理解概念

李邦河院士認(rèn)為：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧. 技巧不足道也！”因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)理應(yīng)放在理解概念上. 集合部分概念較多，如集合的定義、基本關(guān)系（子集、真子集和相等）、基本運(yùn)算（交集、并集和補(bǔ)集）.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中對(duì)集合的基本關(guān)系和基本運(yùn)算有著明確的要求. 其中，對(duì)基本關(guān)系的要求是：理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集. 對(duì)基本運(yùn)算的要求是：理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集；理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集；能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用. 這些要求中多次提到“理解”一詞，這是一個(gè)較高的要求，是檢驗(yàn)學(xué)生習(xí)得新知的重要環(huán)節(jié). 然而，集合的基本關(guān)系與學(xué)生熟悉的大小關(guān)系不同，集合的基本運(yùn)算與加減乘除運(yùn)算也不同，這就給學(xué)生理解概念帶來了較大的困惑. 因此，教學(xué)中教師要采用多元表征對(duì)集合的概念進(jìn)行解釋與闡明，以幫助學(xué)生理解抽象的概念. 例如，圖形表征所具有的直觀性特點(diǎn)，使之成為解釋抽象概念的一種很不錯(cuò)的方式. 對(duì)于集合來說，尤其是對(duì)于一些較復(fù)雜的集合間的基本運(yùn)算，僅通過文字表征和符號(hào)表征很難理解，可以用Venn圖進(jìn)行解釋.

如表2，把集合間的基本運(yùn)算用不同的表征形式進(jìn)行解釋與闡明，根據(jù)VnfD7zjA2uf0ctE6mRSx5pg==enn圖中陰影部分表示的元素與集合A，B，C之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為文字語言“屬于、不屬于”，并用邏輯用語“且”連接，然后把文字表征直接轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征. 當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⑿畔囊环N表征形式轉(zhuǎn)化為另一種表征形式時(shí)，解釋就產(chǎn)生了. 解釋與闡明集合間的基本運(yùn)算有助于學(xué)生對(duì)集合概念的理解，為后續(xù)解決集合問題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).

二、應(yīng)用與洞察：理解關(guān)系

學(xué)習(xí)的目的是運(yùn)用，那些被保存在頭腦之中但不能被提取出來加以應(yīng)用的知識(shí)屬于惰性知識(shí). 當(dāng)知識(shí)被解釋與闡明之后，基于理解六側(cè)面來評(píng)估理解的程度，此時(shí)思維僅僅被激活而已，還不能稱之為深度理解，思維的進(jìn)一步發(fā)展取決于知識(shí)能否被靈活應(yīng)用. 理解六側(cè)面對(duì)應(yīng)用的闡述是“在各種不同的真實(shí)情境中有效使用和調(diào)整我們學(xué)到的知識(shí)”. 顯然，使用和調(diào)整所學(xué)知識(shí)是應(yīng)用的關(guān)鍵，在不同情境中應(yīng)用知識(shí)是學(xué)生知識(shí)遷移能力的體現(xiàn)，《標(biāo)準(zhǔn)》把每種情境分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的和綜合的. 在熟悉的情境和關(guān)聯(lián)的情境中知識(shí)較容易發(fā)生遷移，而要想在綜合的情境中發(fā)生知識(shí)遷移，學(xué)生必須具有敏銳的洞察能力，感知情境中隱藏的知識(shí)背景. 學(xué)生對(duì)集合基本關(guān)系的理解大多數(shù)停留在單一的集合之間，而對(duì)于較復(fù)雜的集合間的基本關(guān)系學(xué)生很難清晰理解. 對(duì)此，可以基于表2對(duì)集合間三元交互表征的解釋和闡明，引導(dǎo)學(xué)生“在先前直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行敏銳感知”，以理解六側(cè)面中的洞察維度.

例1 全集[U=R，A=x-3≤x<4，B=xy=x+2，]

則圖2中陰影部分表示的集合為（ ）.

（A）[xx≤-3] （B）[xx>-3]

（C）[xx≥4] （D）[xx≤4]

例2 已知集合[M=xxx-2<0，N=xx-1<0，]

則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合[x1≤x<2]的是（ ）.

例3 （多選題）如圖3，陰影部分表示的集合是（ ）.

[B][U][A] [B][圖3]

（A）[?UB?A] （B）[?UA?B]

（C）[?UA?B] （D）[A??UA?B]

以上3道例題與表2中的情境高度相關(guān)，屬于相關(guān)情境. 對(duì)于例1，觀察Venn圖可知陰影部分的元素由屬于[B]而不屬于[A]的元素構(gòu)成，由表2不難確定陰影部分表示的集合為[?UA?B]. 顯然，此題的考查重點(diǎn)是學(xué)生的識(shí)圖能力，把圖中陰影部分表示的集合用符號(hào)表示出來便可以求解. 例2的難度稍微高于例1，要識(shí)別四個(gè)圖形，選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示[M?N]；選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示[?UN?M]；選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示[?UM?N]；選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示[M∪N]. 例3考查集合間的運(yùn)算，可知陰影部分表示的集合為[?UB?A].

這3道例題均考查對(duì)Venn圖的識(shí)別，要求學(xué)生用符號(hào)表示出圖中陰影部分表示的元素的集合. 如果學(xué)生能夠理解表2中的5種情況，那么對(duì)這3道例題的解答將水到渠成. 隨著理解的不斷深入，學(xué)生的思維也會(huì)不斷提高.

學(xué)習(xí)知識(shí)的目的是應(yīng)用，在習(xí)得知識(shí)的過程中就要考慮應(yīng)用，做到“以終為始”，這就需要學(xué)生在習(xí)得知識(shí)之后有較強(qiáng)的應(yīng)用意識(shí)和洞察能力.

三、神入與自知：理解意義

“神入與自知”的核心是批判性思維和自我反思，即元認(rèn)知意識(shí). 側(cè)重從反思的角度對(duì)知識(shí)進(jìn)行理解，也就是對(duì)知識(shí)的復(fù)盤，這是思維由低階走向高階的轉(zhuǎn)折點(diǎn). 低階思維涉及的是“是什么”，而高階思維更多的是指“為什么”“怎樣做”“還能怎樣做”. 尤其是面對(duì)一些抽象的知識(shí)，先要求學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，這里的“透過”必須建立在“理解意義”的基礎(chǔ)上. 布盧姆認(rèn)知目標(biāo)金字塔的六個(gè)層次從低到高依次為：記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和?創(chuàng)造. 其中，理解在記憶之上，學(xué)習(xí)者需要理解信息的實(shí)際含義，能夠組織、比較和解釋信息. 對(duì)意義的理解是深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn)，其表現(xiàn)是能夠靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí). 以集合的基本運(yùn)算和基本關(guān)系為例，就是能夠在綜合的情境中靈活應(yīng)用并將其熟練轉(zhuǎn)化為多種表征，進(jìn)而通過不同表征理解數(shù)學(xué)對(duì)象的深刻意義. 以下是集合中常見的三個(gè)結(jié)論：（1）[A?B?A?B=A?A?B=B??UA??UB]；

（2）[?UA?B=?UA??UB]；（3）[?UA?B=?UA??UB.]

思維較好的學(xué)生可以通過符號(hào)表征直接理解，但是處于低階思維的學(xué)生只能死記硬背，這是典型的淺表學(xué)習(xí)，無法實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義構(gòu)建. 由心理學(xué)家佩維奧的雙重編碼理論可知，在信息存貯、加工和提取的過程中，每個(gè)人都會(huì)使用語言和非語言兩個(gè)編碼系統(tǒng). 而非語言系統(tǒng)最直觀的體現(xiàn)就是可視化，采用可視化的方式能夠提高學(xué)生意義建構(gòu)的能力. 因此，可以采用集合知識(shí)的典型圖示——Venn圖，把抽象的表達(dá)式可視化、直觀化，如圖4和圖5所示.

通過圖4可以很直觀地理解結(jié)論（1），而對(duì)結(jié)論（2）和結(jié)論（3）的理解則可以通過圖5進(jìn)行區(qū)域劃分. 降低認(rèn)知負(fù)荷是提高學(xué)習(xí)效率的一種體現(xiàn)，通過Venn圖理解集合的基本運(yùn)算與基本關(guān)系的概念，可以減少記憶的過程. 這種以圖式表征的可視化方式對(duì)高階思維進(jìn)行培養(yǎng)具有重要的價(jià)值. 高中數(shù)學(xué)知識(shí)中有較多的常見結(jié)論，僅靠死記硬背是不可取的，理解是記憶的基礎(chǔ)，只有理解了知識(shí)才能實(shí)現(xiàn)全面且穩(wěn)固的記憶.

例4 已知[M，N]均為實(shí)數(shù)集[R]的子集，且[N??RM=?]，則下列結(jié)論中正確的是（ ）.

（A）[M??RN=?]

（B）[M??RN=R]

（C）[?RM??RN=?RM]

（D）[?RM??RN=?RM]

認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，學(xué)習(xí)發(fā)生遷移的兩個(gè)主要因素是學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度和不同的學(xué)習(xí)對(duì)象之間的相似性. 例4涉及集合的基本關(guān)系和基本運(yùn)算，已知條件“[N??RM=?]”較為抽象，學(xué)生難以從中看出集合[M]與集合[N]之間的關(guān)系，進(jìn)而就無法對(duì)4個(gè)選項(xiàng)作出判斷. 然而，理解表2的學(xué)生已經(jīng)具備解決這類問題的豐富經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)自動(dòng)發(fā)生遷移，即通過Venn圖進(jìn)行解答.

如圖6，根據(jù)[N??RM=?]確定集合[M]和集合[N]的關(guān)系時(shí)，可以先畫出集合[M]. 而集合[N]不能與[M]的補(bǔ)集有交集，所以集合[N]表示的區(qū)域只能在集合[M]內(nèi)或者與[M]重合，即[N?M]，如圖7所示.

生成圖7之后，對(duì)4個(gè)選項(xiàng)的判斷就非常直觀了. 學(xué)生理解了表2中呈現(xiàn)的集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算之后，就會(huì)帶著作圖的意識(shí)進(jìn)行分析，而不是就題解題.

數(shù)學(xué)思維是在日常學(xué)習(xí)中一點(diǎn)一滴地培養(yǎng)起來的，不能一味地追求答案而忽視題目背后的深層意義. 對(duì)于一些簡單的題目，要以小見大，養(yǎng)成思考的習(xí)慣，不僅思考“是什么”，更要思考“為什么”. 在遇到一些新情境的題目時(shí)，思維顯得尤為重要，除了把抽象的符號(hào)表征可視化外，還可以把文字表征轉(zhuǎn)化為圖形表征.

例5 我們知道，如果集合[A?S]，那么[A]的補(bǔ)集為[?SA=xx∈S且x?A]. 類似地，對(duì)于集合[A，B]，我們把集合[xx∈A且x?czMLlWOlVJibJqbImU1aiw==B]叫作集合[A]和[B]的差集，記作[A-B]. 例如，[A=1，2，3，4，5]，[B=4，5，6，7，8]，則有[A-B=1，2，3]，[B-A=][6，7，8]. 下列選項(xiàng)正確的是（ ）.

（A）已知[A=4，5，6，7，8，9]，[B=3，5，6，]

[8，9]，則[B-A=3，7，8]

（B）如果[A-B=?]，那么[A?B]

（C）已知全集[U]，集合[A]，集合[B]的關(guān)系如圖8所示，則[B-A=A??UB]

（D）已知[A=xx<-1，或x>3]，[B=x-2≤x<4]，

則[A-B=xx<-2 或 x≤4]

情境是高考試題的考查載體，是問題產(chǎn)生的背景和基礎(chǔ)，隨著新高考的普及，高考試題更加注重情境化，題型呈現(xiàn)形式豐富多樣，無規(guī)律可循. 缺乏高階思維的學(xué)生是無法應(yīng)對(duì)的. 此題涉及新定義，如何理解定義是解題的關(guān)鍵. 題干中的新定義與集合的基本運(yùn)算的定義極為相似，不難想象到用Venn圖表示，即先用Venn圖表示出新定義，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題. 由[A-B=xx∈A且x?B]可知，[A-B=]

[xx∈A且x?B=A??UB]. 作出的Venn圖如圖9所示. 通過作圖把陌生的情境熟悉化，有利于學(xué)生構(gòu)建解題思路，尤其是對(duì)新定義的理解. 在降低學(xué)生的畏難情緒的同時(shí)，拓寬了學(xué)生的解題思路.

理解的形成不是一蹴而就的，而是一個(gè)反復(fù)的、螺旋上升的過程，從理解概念到理解關(guān)系再到理解意義. 在形成理解的過程中，學(xué)生將會(huì)經(jīng)歷從知識(shí)到認(rèn)知再到遷移的過程，而這個(gè)過程需要多側(cè)面的評(píng)估，即解釋與闡明、應(yīng)用與洞察、神入與自知. 理解透徹了，思維能力也就提高了.

參考文獻(xiàn)：

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