探究式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的實踐應(yīng)用

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)深入發(fā)展的背景下，教師開展數(shù)學(xué)探究式教學(xué)對于提升數(shù)學(xué)教學(xué)成效具有顯著作用.教師通過鼓勵初中生發(fā)揮能動性，啟示學(xué)生體驗自主探究中的樂趣，進(jìn)而培養(yǎng)其熱愛數(shù)學(xué)的精神.教師可以采取探究式教學(xué)來打造高效的數(shù)學(xué)課堂，增進(jìn)師生溝通，促使學(xué)生形成更好的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；探究式學(xué)習(xí)；教學(xué)實踐

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的探究式教學(xué)，關(guān)鍵在于激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識的熱情，突出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體地位.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)探究式教學(xué)，教師應(yīng)當(dāng)重視設(shè)計數(shù)學(xué)探究問題，為初中生營造數(shù)學(xué)探究情境.［1］教師應(yīng)當(dāng)啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)變“被動學(xué)習(xí)”的思維，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，自主運用所學(xué)知識加以解決.師生要共同參與數(shù)學(xué)探究式學(xué)習(xí)過程，建立合作探究的意識.

“相似三角形的判定”教學(xué)設(shè)計，不僅要保證學(xué)生掌握相似三角形的特征，學(xué)會判斷三角形的相似關(guān)系，還要采取啟發(fā)式的教學(xué)形式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維.因此，教師在設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時，要包含“相似三角形的特征”“相似三角形的證明”“分析相似三角形的相似點”等內(nèi)容.教師要指導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識，嘗試證明三角形的相似關(guān)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力.

1 教學(xué)目標(biāo)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）掌握知識與技能.了解相似三角形的證明定理，能夠判斷兩個三角形是否相似；嘗試簡化“相似三角形”的判定條件，加快解題速度.

（2）設(shè)計數(shù)學(xué)探究過程.鼓勵學(xué)生通過主動思考與大膽探索，歸納得到判定“相似三角形”的多種證明方法，突破單一的證明思路.

（3）培養(yǎng)價值觀與情感態(tài)度.通過引導(dǎo)學(xué)生展開探索，培養(yǎng)學(xué)生的實踐意識與創(chuàng)新精神.師生在共同探索“相似三角形”證明方法的過程中，持續(xù)提升學(xué)生的推理能力，塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維.鼓勵組員密切合作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)互助精神.

2 教學(xué)重難點本節(jié)課的教學(xué)重難點如下.

教學(xué)重點：教師講解相似三角形的判定原理，要求學(xué)生掌握典型例題的解題思路；設(shè)計課堂探究例題，鼓勵學(xué)生分組合作尋找答案，利用相似三角形的判定定理與公式來解決數(shù)學(xué)問題.

教學(xué)難點：教師在啟發(fā)學(xué)生證明三角形相似關(guān)系的過程中，要指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目給出的證明條件，鼓勵學(xué)生靈活運用“相似三角形”的判定原理，引導(dǎo)學(xué)生通過推理得出三角形之間的相似關(guān)系.

3 教學(xué)過程教師結(jié)合幾何探究中三角形相似的內(nèi)容制定課堂教學(xué)過程，并將課堂教學(xué)過程劃分為四個環(huán)節(jié)，以循序漸進(jìn)的形式推動課堂教學(xué)進(jìn)程.具體環(huán)節(jié)包括：①創(chuàng)設(shè)問題情境，開展課堂導(dǎo)入；②系統(tǒng)講解知識，加深學(xué)生理解；③開展評價反思，優(yōu)化教學(xué)過程.

3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，開展課堂導(dǎo)入

師：我們運用電子設(shè)備畫出兩個相似三角形（如圖1），可以將它們記作△ABC∽△A′B′C′，讀作△ABC相似于△A′B′C′.同時，我們根據(jù)相似三角形相關(guān)的定義，得到∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，ABA′B′=BCB′C′=AC A′C′.將△ABC與△A′B′C′的相似比記為k1，將△A′B′C′與△ABC的相似比記為k2，現(xiàn)在請大家思考一會，k1和k2之間有什么等量關(guān)系？

生：k1=1k2，當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=1時，兩個三角形全等，因此三角形全等是三角形相似的特例.

師：回答得很好.實際上，大家經(jīng)過證明得到的結(jié)論能夠應(yīng)用于任意兩個相似的多邊形.因此，同學(xué)們在今后的解題中，可以嘗試運用以上結(jié)論來證明多邊形的相似性.

【設(shè)計意圖】教師培養(yǎng)學(xué)生運用幾何畫板來繪制數(shù)學(xué)圖形的能力；要求初中生理解“相似三角形”的對應(yīng)邊與對應(yīng)角特點，即兩個對應(yīng)邊之間具有比例關(guān)系，兩個對應(yīng)角之間具有相等關(guān)系.

3.2 系統(tǒng)講解知識，加深學(xué)生理解

探究1：如何判斷兩個三角形為相似三角形.

如圖2所示，在△ABC中，H為AB上的一點，過點H作BC的平行線交AC于點I，那么△AHI與△ABC是相似三角形嗎？

（1）教師提出問題.

同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過“相似三角形”的證明方法，那么大家在解答這道數(shù)學(xué)題時，是否可以運用學(xué)過的數(shù)學(xué)公式加以證明？很多同學(xué)在解題過程中，感到解題步驟非常繁瑣.實際上，如果能夠在圖示的三角形中畫出輔助線，就可以達(dá)到降低解題難度的效果，那么大家是否愿意嘗試轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題？

（2）引導(dǎo)學(xué)生思考.

生：可以過點H作HK∥AC，交BC 于點K.

（3）交流解決方法.

∵HI∥BC，HK∥AC，∴AHAB=AIAC，CKBC=AHAB.

∵四邊形HICK 是平行四邊形，

∴HI=KC，即HIBC=AHAB，∴AHAB=AIAC=HIBC.

又∠A=∠A，∠B=∠AHI，∠C=∠AIH，

∴△ABC∽△AHI.

（4）師生共同總結(jié).

師：經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了“相似三角形”的作圖方法，大家能否總結(jié)“相似三角形”應(yīng)該如何獲得？

生：首先畫一個三角形，然后在三角形內(nèi)部畫出平行于其中一個邊的線段，并且相交于三角形的另外兩條邊，即可獲得與原來三角形相似的新三角形.

師：我們通過觀察幾何畫板，大體上了解了判定“相似三角形”的基本條件.但是同時，我們發(fā)現(xiàn)判定“相似三角形”的證明過程比較繁瑣，那么應(yīng)該怎樣做才能達(dá)到降低解題難度的效果？

生：我們可以在題目給出的三角形中加入輔助線，以此來幫助我們降低解題難度.

探究2：已經(jīng)知道兩個三角形所對應(yīng)的兩個角分別相等，那么該如何證明兩個三角形相似？

如圖3所示，在△ABC 和△A′D′E′中，∠A=∠A′，∠B=∠D′.求證：△ABC∽△A′D′E′.

DE=4.23厘米

DF=8.28厘米

DEDF=0.51

（1）引導(dǎo)學(xué)生思考.

如圖3所示，共有兩個三角形，那么如何轉(zhuǎn)化兩個三角形，將其合并證明題目中的結(jié)論？為了證明“相似三角形”，是否可以運用證明“全等三角形”的原理與公式？

（2）組織小組討論，匯報討論成果.

在△ABC的邊AB上截取AD=A′D′，過點D作BC的平行線DE交AC于點E，則△ABC∽△ADE.

∵∠ADE=∠B，∠B=∠D′，

∴∠ADE=∠D′.

∵∠A=∠A′，AD=A′D′，

∴△ADE≌△A′D′E′（ASA）.

∴△A′D′E′∽△ABC.

（3）師生共同總結(jié)，得到證明定理.

定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.

教師要求學(xué)生結(jié)合“全等三角形”的證明定理，嘗試轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)公式，進(jìn)而大膽猜測“相似三角形”的證明方法.師生共同參與證明過程，培養(yǎng)學(xué)生主動思考的意識.

探究3：已知兩邊成比例并且夾角相等，如何根據(jù)已知條件證明兩個三角形相似？

如圖4所示，在△ABC和△A′D′E′中，ABA′D′=ACA′E′，∠A=∠A′，求證：△ABC∽△A′D′E′.

DE=4.60厘米

DF=8.28厘米

DEDF=0.58

（1）教師提出問題.

題目中共有哪些已知條件？為了證明兩個三角形具有相似關(guān)系，可否先證明它們之間的全等關(guān)系，然后結(jié)合“全等三角形屬于特殊的相似三角形”定理，得出相似三角形的結(jié)論？

教師借助幾何畫板，展示兩個“相似三角形”，劃分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)組，鼓勵組員在分工配合的基礎(chǔ)上，共同嘗試解決數(shù)學(xué)證明問題.

（2）生生交流合作.

在△ABC的邊AB上截取AD=A′D′，過點D作BC 的平行線DE 交AC 于點E，則△ABC∽△ADE.

∵ABAD=ACAE，AD=A′D′.

∴ABA′D′=ACAE.

∵ABA′D′=ACA′E′，

∴ACAE=ACA′E′，

∴AE=A′E′.

又∠A=∠A′.

∴△ADE ≌△A′D′E′（SAS）.

∴△ABC∽△A′D′E′.

（3）師生共同總結(jié).

定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

教師引導(dǎo)學(xué)生通過證明兩個三角形的全等關(guān)系，推斷得出三角形具有相似關(guān)系.師生通過共同開展數(shù)學(xué)課堂總結(jié)，增強了初中生的數(shù)學(xué)推理思維能力.［2］教師通過認(rèn)可初中生的探索精神，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探索熱情，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)探究解題的過程.

探究4： 已知三角形三條邊成比例，結(jié)合已知條件證明三角形相似.

如圖5所示，在△ABC和△A′D′E′中，ABA′D′=ACA′E′=BCD′E′ 求證：△ABC∽△A′D′E′.

△ABC∽△A′D′E′

DE=3.49厘米

DF=8.28厘米

DEDF=0.42

（1）教師提出兩個問題.

同學(xué)們在推導(dǎo)、證明定理1、定理2的過程中，主要發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)現(xiàn)象？現(xiàn)在給出“三邊成比例”的兩個三角形，那么同學(xué)們能否推斷它們屬于相似三角形？怎樣運用數(shù)學(xué)定理加以證明？

（2）小組合作，交流討論.

教師將班級學(xué)生分成多個數(shù)學(xué)小組，要求小組學(xué)生共同探討、交流相關(guān)問題.教師密切重視各小組學(xué)生的合作學(xué)習(xí)過程，對數(shù)學(xué)小組的學(xué)生提供必要的指導(dǎo)、幫助.

（3）由小組代表進(jìn)行匯報.

在△ABC的邊AB上截取AD=A′D′，過點D作BC的平行線DE交AC于點E，則△ABC∽△ADE.

∵ABAD=ACAE，AD=A′D′.

∴ABA′D′=ACAE.

又ABA′D′=ACA′E′，，∴ACAE=ACA′E′.

∴AE=A′E′.

同理ACAE=BCDE，AE=A′E′.

∴ACA′E′=BCDE.

又ACA′E′=BCD′E′.

∴BCDE=BCD′E′，得出DE=D′E′.

∴△ADE≌△A′D′E′（SSS）.

∴△ABC∽△A′D′E′.

（4）師生總結(jié)，獲得相關(guān)知識.

定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生獨立完成三角形中“AE=A′E′，DE=D′E′”的證明，進(jìn)而推斷得到三邊成比例的兩個三角形具有相似性質(zhì).教師指導(dǎo)學(xué)生采取“等價替換”的方法證明數(shù)學(xué)定理，將學(xué)生置于數(shù)學(xué)定理證明過程的主體地位，鼓勵學(xué)生發(fā)揮自身的能動性.［3］

3.3 開展評價反思，優(yōu)化教學(xué)過程

本次教學(xué)重在采用探究式的教學(xué)形式，引導(dǎo)學(xué)生嘗試證明“相似三角形”有關(guān)的三個數(shù)學(xué)定理，啟發(fā)學(xué)生對比“全等三角形”的證明形式，運用數(shù)學(xué)遷移思維來完成證明.在探究式學(xué)習(xí)的模式下，教師與學(xué)生應(yīng)當(dāng)展開合作，建構(gòu)有趣、生動的數(shù)學(xué)課堂環(huán)境.教師在提供數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)時，應(yīng)當(dāng)堅持“適度性”的原則，在數(shù)學(xué)課堂上擴(kuò)展初中生自主探究的空間.

參考文獻(xiàn)

［1］馬兵華.探究式教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（10）：46-48.

［2］張興良.構(gòu)建探究式學(xué)習(xí)模式的初中數(shù)學(xué)教學(xué)——以“等腰三角形的性質(zhì)”教學(xué)為例［J］.新課程，2024（9）：52-54.

［3］黃德輝.合作探究式教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略分析［J］.教師，2023（29）：39-41.