例析克拉珀龍方程在氣體問題中的應用

【摘要】理想氣體狀態方程p1V1T1=p2V2T2只適用于一定質量的某種理想氣體，對于質量改變的氣體問題，并不能直接運用，若要將變質量問題轉化為恒質量問題來解決，思維難度大，學生難以掌握.所以克拉珀龍就是解答氣體問題的重要方法，能夠在一定程度上簡化解題的難度.本文結合幾道例題談談克拉珀龍方程在解決氣體問題中的應用.

【關鍵詞】克拉珀龍方程；氣體問題；高中物理

1 克拉珀龍方程的表述及物理意義

克拉珀龍方程：pVT=mMR，其物理意義是任何質量的理想氣體處于平衡狀態時，它的三個狀態參量壓強、體積、溫度和氣體質量之間的定量關系.由此可見理想氣體狀態方程p1V1T1=p2V2T2是克拉珀龍方程的一個特例.

2 應用展示

2.1 氣體狀態的轉化問題

例1 有一熱氣球停在地面，下端開口使球內外的空氣能夠流通，從而保持內外的氣體壓強相等.設氣球的容積V1=400m3，忽略氣球內的空氣，熱氣球的總質量M=160kg.已知地面附近的大氣溫度T1=300K，空氣密度ρ=1.2kg·m-3，空氣可近似地認為是理想氣體.求：

（1）當氣球內剩余氣體質量為m2=360kg時，氣球中空氣的溫度T2；

（2）氣球剛好從地面飄起來時氣球內的氣體溫度T3.

解 （1）因為氣球內外的氣壓相同且氣球內空氣的體積不變，

所以由pVT=mMR可得氣球內空氣的質量和熱力學溫度成反比，

即m1T1=m2T2.

氣球未加熱時m1=ρV1，

代入數據可得T2=400K.

（2）氣球剛好從地面飄起時，由力的平衡條件可知，豎直方向上氣球所受到的浮力等于氣球和內部空氣的總重力，

即m1g=m3g+Mg.

同理由pVT=mMR可得氣球內空氣的質量和熱力學溫度成反比，

即m1T1=m3T3，

代入數據可F0d4GmKQkQOX58Kw1p3g/w==得T3=450K.

評析 第（1）問中依據克拉珀龍方程并結合題意中壓強和體積為不變量，可得到質量和溫度之間的等量關系，代入即可解得.對于第（2）問，“剛好”二字代表著力學平衡，同樣利用第（1）問的方法即可解得.對于狀態轉化問題，只需要將狀態參量的變化情況與克拉珀龍方程中的量一一對應即可.

2.2 氣體分裝問題

例2 甲、乙兩個儲氣瓶中儲存著同種氣體（可視為是理想氣體）.甲瓶的容積V1=8L，瓶中氣體壓強為7p0；乙瓶的容積V2=4L，瓶中氣體壓強為p0.現通過細管將甲、乙兩瓶連通，讓甲給乙充氣，直到兩瓶中氣體的壓強相等，過程中兩瓶中的氣體溫度不變且保持相等，細管中氣體的體積忽略不計.試求在穩定后：

（1）乙瓶中氣體的壓強p；

（2）甲瓶中氣體的質量與甲瓶中原有氣體的質量的比值.

解 （1）由pVT=mMR可得m=pVMRT.

根據質量守恒定律，一定質量的理想氣體（狀態為p1，V1，T1）分離為兩部分氣體（狀態分別為p2，V2，T2和p3，V3，T3），

則有p1V1T1=p2V2T2+p3V3T3.

過程中兩瓶中的氣體溫度不變且保持相等，

代入數據可得：7p0V1+p0V2=p（V1+V2），

解得p=5p0.

（2）若穩定后甲瓶中的氣體又被壓縮到原來的壓強7p0，體積為V3，

則由玻意爾定律可得pV1=7p0V3，

設穩定后甲瓶中氣體的質量和原有氣體質量的比值為k，

結合密度的定義公式可得k=ρV3ρV1=57.

評析 此題涉及一個重要方程，即理想氣體分態方程p1V1T1=p2V2T2+p3V3T3，對于氣體分裝問題，氣體的質量是不變的，因此在質量守恒定律的基礎上即可得到此方程.

2.3 漏氣（充氣）問題

例3 一瓶子中裝有一定量的空氣（可視為理想氣體），瓶身上有小孔和外界空氣相通.初始狀態時瓶內氣體的溫度為7℃，若將其加熱到47℃，逸出瓶外的氣體質量為1g，求瓶里原來氣體的質量.

解 以瓶內氣體為研究對象，由pVT=mMR，

可得m=pVMRT.

漏氣前后氣體的壓強、體積、摩爾質量均不變，

所以m∝1T.

設原氣體質量和漏氣后氣體質量分別為m和m′，

漏氣前后的溫度分別為T1，T2，

則有mm′=T1T2，

代入數據可得m=8g.

評析 漏氣問題和充氣問題本質上是一樣的，因為質量有所變化，所以可以將質量單獨提出來，分析其如何受到其他狀態參量影響，代入數據即可得到質量變化情況.

3 結語

靈活運用克拉珀龍方程和其在某些限定條件下的推論式，可以幫助攻破氣體問題的難關.一般來說，問題中都是同種理想氣體，若遇到不同種的理想氣體，克拉珀龍方程仍可用，但是需要注意氣體摩爾質量的值的大小.