數學知識在解決高中物理問題中的妙用

【摘要】隨著教育的不斷發展，學科間的交叉融合越來越受到重視.本文旨在引導學生深入理解數學與物理之間的聯系，激發他們對學科交叉應用的興趣，培養他們的創新思維和解決問題的能力，并以一道多過程運動習題為例，探討數列知識和極限思想在解決高中物理問題中的妙用.通過分析運動問題、構建數學模型、運用數學公式和求解，使學生更好地理解物理現象，提高解題效率和準確性.

【關鍵詞】高中物理；多過程運動；解題技巧

1 引言

在高中物理學習中，數學知識的巧妙運用能夠使復雜的問題變得簡單化，特別是在解決多過程運動問題時.本文將以一道經典的多過程運動學習題為例，探討等比數列求解和極限思想在解決高中物理問題中的妙用.通過分析問題、構建數學模型、運用數學公式和求解，學生將發現數學知識不僅能夠幫助我們更好地理解物理現象，還能夠提高解題效率和準確性.

2 試題呈現

例1 如圖1所示，兩段斜面AB和BC連接成V字形，連接點B處可以視作一段極短的光滑圓弧，兩段斜面長度均為L=1m，傾角α=37°，一定質量的小物塊從AB段斜面頂端由靜止開始運動，小物塊與AB段動摩擦因數為μ1、與BC段動摩擦因數為μ2，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.

圖1

（1）若μ1=μ2=0.5，求小物塊在兩段斜面上運動的總路程；

（2）若μ1=0.5，μ2=0.25，求小物塊體第一次沿斜面AB向上運動的最遠距離；

（3）求第（2）問中小物塊在AB，BC斜面上運動的總路程.

3 思路分析

（1）小物塊在斜面AB和BC上往復運動，最終靜止在B處，全程可由能量守恒和功能關系求解小物塊在兩段斜面上運動的總路程；（2）根據牛頓第二定律與運動學公式分段求解運動在斜面上運動的最大距離，最終得到故小物塊體第一次沿斜面AB向上運動的最遠距離；（3）根據（2）的分析過程，總結歸納物塊在斜面AB和BC上每次上滑的最大距離的規律，應用數學知識求解.

4 解法探究

（1）小物塊在兩段斜面上運動的總路程為s總，小物塊在斜面AB和BC上往復運動，最終靜止在B處，全程由能量守恒和功能關系可得：mgLsinα=μ1mgcosα·s總，解得：s總=1.5m.

（2）根據牛頓第二定律：

對物塊沿斜面AB下滑有：a1=gsinα－μ1gcosα，解得：a1=2m/s2.

對物塊沿斜面BC上滑有：a2=gsinα+μ2gcosα，解得：a2=8m/s2.

設第一次達到B點的速度大小為vB，第一次沿斜面BC向上運動的最遠距離為x1，

則有：v2B=2a1L；v2B=2a2x1，

可得：x1=a1a2L=14L，

解得：x1=0.25m；

同理，對物塊沿斜面BC下滑有：a3=gsinα－μ2gcosα，解得：a3=4m/s2.

對物塊沿斜面AB上滑有：a4=gsinα+DpAU6kYbmjoDoTnJWNVDQQ==μ1gcosα，解得：a4=10m/s2.

設第二次達到B點的速度大小為v′B，第一次沿斜面AB向上運動的最遠距離為x2，

則有：v′2B=2a3x1；v′2B=2a4x2，

可得：x2=a3a4x1=a1a3a2a4L=110L，

解得：x2=0.1m.

故小物塊體第一次沿斜面AB向上運動的最遠距離為0.1m.

（3）接（2）的分析結果：

x1=a1a2L，x2=a3a4x1=a1a3a2a4L；

繼續類推可得：

第二次沿斜面BC向上運動的最遠距離為x3=a1a2x2=a1a2·a3a4·a1a2L；

第二次沿斜面AB向上運動的最遠距離為x4=a3a4x3=a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

第三次沿斜面BC向上運動的最遠距離為x5=a1a2x4=a1a2·a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

第三次沿斜面AB向上運動的最遠距離為x6=a3a4x5=a3a4·a1a2·a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

總結歸納得：x2n－1=a1a2n·a3a4n－1·L

=14n·25n－1m，

x2n=a1a2n·a3a4n·L=14n·25nm.

在斜面BC上運動的總路程為sBC=2x1+x3+x5+……+x2n－1（此數列首項為14m，等比為110）；

在斜面AB上運動的總路程為sAB=L+2x2+x4+x6+……+x2n（數列部分的首項為110m，等比為110）；

應用等比數列求和，當n→∞解得：sBC=59m；sAB=119m.

故小物塊在AB，BC斜面上運動的總路程為s=sBC+sAB=59m+119m=169m.

5 結語

本題考查了數理結合的能力，考查了功能關系與牛頓第二定律得應用.此題運動過程并不復雜，難點在于歸納總結運動規律，本題最后總結出兩個不同的數列，難度較大.通過本題的探討，學生深刻體會到了數學知識在解決高中物理問題中的重要作用.數學不僅是一種工具，更是一種思維方式，它能夠幫助學生更好地理解物理現象，提高解題效率和準確性.在解決多過程運動問題時，通過構建數學模型、運用數學公式和求解，將復雜的問題變得簡單化.這種數學與物理的交叉應用，不僅有助于學生解決具體的物理問題，還能夠培養他們的創新思維和解決問題的能力.

參考文獻：

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