一類具有飽和恢復率的隨機SIR傳染病模型的持久性

【摘 要】 在確定型模型的基礎上，考慮隨機因素，得到了一類具有飽和發生率的隨機SIR模型。首先給出隨機模型的正不變集，進而介紹持久性含義，利用It?公式及強大數定律得到了疾病流行的充分性條件。結果表明，當白噪聲強度滿足一定的參數條件時，染病類群體不會消失，這對于控制疾病的蔓延是不利的。

【關鍵詞】 隨機SIR模型；飽和恢復率；正不變集；It?公式

Permanence of a Stochastic SIR Epidemic Model

with Saturated Recovery Rate

Liu Juan， Wu Yanmin

（Bengbu University， Bengbu 233030， China）

【Abstract】 On the basis of deterministic models， a class of stochastic SIR models with saturated recovery rate is obtained by considering random factors. Firstly， the positive invariant set of the stochastic model is given， and then the meaning of persistence is introduced. The sufficiency conditions for disease prevalence are obtained by using the It? formula and the strong law of large numbers. The results indicate that when the white noise intensity meets certain parameter conditions， the infected population will not disappear， which is unfavorable for controlling the spread of diseases.

【Key words】 stochastic SIR model; saturated recovery rate; positive invariant set; It? formula

〔中圖分類號〕 O175.12 〔文獻標識碼〕 A 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）03 - 0005 - 04

0 引言

研究傳染病的傳播原理、蔓延情況不但具有理論價值，也具有實際應用價值。在數學建模的思想中，建立傳染病的數學模型是研究傳染病的重要方法，通常建立微分方程模型來研究傳染病的傳播情況，進而利用各種微分方程理論分析模型的性質。近年來學者們利用建模思想建立了一些確定型傳染病模型［1-6］，并討論了模型解的存在性及唯一性，Liu等［7］研究了如下的具有飽和恢復率的SIR模型：

[dS（t）dt=A-βS（t）I（t）-μS（t）dI（t）dt=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）dR（t）dt=cI（t）b+I（t）-μR（t）] （1）

由傳染病模型的意義，易知（1）式中的[S（t）]、[I（t）]和[R（t）]分別表示易感類群體、感染者類群體、恢復類群體在時刻[t]的數量。[A]表示[S（t）]群體的輸入率，[β]為易感類群體、感染者類群體之間的接觸率系數。假設三類群體具有相同的自然死亡率，記為[μ]，[ε]為[I（t）]群體因疾病導致的死亡率。感染類群體經過治療，可以恢復為健康人群，設[cI（t）b+I（t）]為兩類群體之間的飽和恢復率函數。

在文獻［7］的基礎上，加入隨機因素可以得到隨機傳染病模型，隨機因素反映了現實環境的不確定因素對動力系統的影響，相對于確定型系統，隨機系統可以更有效地刻畫傳染病的傳播特點［8-9］。在隨機微分方程理論中通常用白噪聲代表外部環境的影響，假設白噪聲主要影響模型（1）中的參數[β]，則可將[βdt]改為[βdt+σdB（t）]。由隨機微分方程理論可知，[B（t）]為標準布朗運動，[σ2]為噪聲強度。由此建立了一個具有飽和恢復率的隨機模型：

[dS（t）=A-βS（t）I（t）-μS（t）dt-σS（t）I（t）dB（t）dI（t）=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）dt+σS（t）I（t）dB（t）dR（t）=cI（t）b+I（t）-μR（t）dt] （2）

本文主要利用隨機微分方程理論對上述模型的持久性進行分析，即模型參數滿足一定條件時，染病類群體可能持續存在。

1 基本知識

為了研究疾病的持久性，首先討論系統的正不變集，為此將（2）式兩邊相加，則有

[d（S+I+R）=[A-μ（S+I+R）-εI]dt≤[A-μ（S+I+R）]dt]

假設（2）具有初始條件[X（0）=（S（0），I（0），R（0））]，通過計算可求得

[S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ+e-μtS（0）+I（0）+R（0）-Aμ]

故[X（0）=S（0）+I（0）+R（0）≤Aμ]時，可得[S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ]，這意味著模型中的三類群體總量不會超過某一范圍，此時稱集合

[Γ?={（S（t），I（t），R（t））∈R3+：S>0，I>0，R>0，S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ}] （3）

為（2）的正不變集。

在生物數學中，持久性這一概念代表生物系統中的群體可以持續存在，不會滅絕。引申到傳染病模型中，持久性說明了傳染病模型中的一類群體持續存在［10］，隨機動力系統中，假設[f（t）]代表系統的某一類群體，設

[f（t）=0tf（s）dst]

由此可以規定系統持久性的含義。

定義1 若上極限[lim supt→∞f（t）>0]，則稱[f（t）]為弱平均持久。

定義2 若下極限[lim inft→∞f（t）>0]，則稱[f（t）]為強平均持久。

2 主要結果

在上述基礎知識的基礎上，說明隨機傳染病模型（2）式中疾病持續存在的條件。

定理 若系統（2）的白噪聲強度參數滿足[σ2<2μ2A2（βAμ-μ-ε-cb）]且[σ2<βbμ（μ+ε）A[b（μ+ε）+c]]，則對任給的初值[X（0）=（S（0），I（0），R（0））]，[I（t）]的上、下極限滿足下面的不等式：

[I?≤lim inft→∞I（t）≤lim supt→∞I（t）≤I?]

其中 [I?=βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2bβ（μ+ε）+βcbμ]， [I?=βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2β（μ+ε）μ-Aσ2μ?b（μ+ε）+cbμ]。

證明 對系統（2）進行變形，取0到t的積分，再除以t，此時（2）式變為

[S（t）-S（0）t=A-βS（t）I（t）-μS（t）-σt0tS（r）I（r）dB（r）I（t）-I（0）t=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）+σt0tS（r）I（r）dB（r）R（t）-R（0）t=cI（t）b+I（t）-μR（t）] （4）

將（4）式的前兩項相加可得

[S（t）-S（0）t+I（t）-I（0）t=A-μS（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）]

由此解得

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）] （5）

其中 [φ（t）=-1μS（t）-S（0）t+I（t）-I（0）t]

由正不變集（3）的有界性可知

[limt→∞φ（t）=0 a.s.] （6）

對[lnI]利用It?公式，得

[d（lnI）=1IdI-12I2（dI）2][=βS-（μ+ε）-cb+I-σ2S22dt+σSdB（t）] [≥βS-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2dt+σSdB（t）] （7）

由[S（t）]的表達式得

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）] [≥Aμ-μ+εμI（t）-cbμI（t）+φ（t）][=Aμ-b（μ+ε）+cbμ I（t）+φ（t）]

將（7）式兩邊從0到t積分，再除以t，并將上式代入，得

[lnI（t）-lnI（0）t][≥βS（t）-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2+M（t）t][≥βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2-bβ（μ+ε）+βcbμI（t）+βφ（t）+M（t）t] （8）

上式中，[M（t）=σ0tS（r）dB（r）]，故[M（t）]為連續的局部鞅，且有[M（0）=0]。又因為

[lim supt→∞<M，M>tt≤σ2A2μ2<∞]

故由強大數定律得

[limt→∞M（t）t=0] （9）

記[l=bβ（μ+ε）+βcbμ]，可將（8）式化為

[I（t）≥1lβAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2+βφ（t）+M（t）t-lnI（t）-lnI（0）t] （10）

對（10）式兩邊取下極限，利用（6）（9）兩個極限結果有

[lim inft→∞I（t）≥βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2bβ（μ+ε）+βcbμ：=I?] （11）

為了保證上述極限的非負性，應有分子大于0，此時應滿足[σ2<2μ2A2（βAμ-μ-ε-cb）]。

由正不變集的有界性知[I≤Aμ]，故可將[d（lnI）]放大為

[d（lnI）=βS-（μ+ε）-cb+I-σ2S22dt+σSdB（t）] [≤βS-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2S22dt+σSdB（t）]

再次對上式兩邊取0到t的積分，再除以t，得

[lnI（t）-lnI（0）t] [≤βS（t）-（μ+ε）-cb+Aμ-12σ2S（t）2+σt0tS（r）dB（r）] （12）

又因為

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）≤Aμ-μ+εμI（t）+φ（t） ]

代入（12）式得

[lnI（t）-lnI（0）t≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-β（μ+ε）μI（t）-12σ2S（t）2+M（t）t+βφ（t）]

對于上式中的[S（t）]，利用不等式 [S（t）≥Aμ-b（μ+ε）+cbμI（t）+φ（t） ]

代入得[lnI（t）-lnI（0）t≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-β（μ+ε）μI（t）+M（t）t]

[-12σ2A2μ2+b（μ+ε）+cbμ2I（t）2+φ2（t）+Aσ2μ?b（μ+ε）+cbμI（t）+Φ（t）]

[≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2+M（t）t+Φ（t）][-β（μ+ε）μ-Aσ2μ?b（μ+ε）+cbμI（t）] （13）

上式中[Φ（t）=-σ2φ（t）Aμ-b（μ+ε）+cbμI（t）+βφ（t）]

由（6）可知

[limt→∞Φ（t）=0 a.s.] （14）

當[σ2<βbμ（μ+ε）A[b（μ+ε）+c]]時，取（13）式兩邊的上極限，并利用（9）（14）兩式得

[lim supt→∞I（t）≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2β（μ+ε）μ-Aσ2μ?b（μ+ε）+cbμ：=I?] （15）

根據（11）（15）的結果可得定理結論。

3 結論

在已知的確定型傳染病模型的基礎上，本文研究了一類飽和恢復率的隨機SIR傳染病模型的持久性。隨機模型比確定型模型更能反映外部環境對生物系統的影響。由上述結論可以發現，當白噪聲強度比較小且滿足系統參數對應的不等式時，染病類群體不會消失，將一直存在，這對于疾病的預防和控制是不利的，所以研究隨機傳染病模型中某一群體的變化趨勢具有重要的實際意義。現實生活中影響疾病流行的因素是多樣的，如傳染病的時滯效應對于疾病的蔓延影響較大，這也是今后拓展研究的方向。

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責任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2024-03-11

［基金項目］ 國家自然科學基金資助項目（12001001）；蚌埠學院自然科學研究項目（2022ZR03）

［作者簡介］ 劉娟（1979- ），女，碩士，蚌埠學院數理學院教授，研究方向：微分方程、生物數學。