有限數(shù)字單純復形的數(shù)字Lusternik-Schnirelmann范疇

【摘 要】 給出有限數(shù)字單純映射間的數(shù)字連續(xù)關系、數(shù)字連續(xù)類、有限數(shù)字單純復形以及有限數(shù)字單純映射的強數(shù)字等價等概念。在此基礎上，定義了有限數(shù)字單純復形的數(shù)字Lusternik-Schnirelmann 范疇和數(shù)字幾何Lusternik-Schnirelmann范疇。最后，給出了在強數(shù)字等價和強數(shù)字收縮的情況下，以上兩個數(shù)字范疇的一些相關結論。

【關鍵詞】 有限數(shù)字單純復形；數(shù)字 Lusternik-Schnirelmann 范疇；數(shù)字連續(xù)類；強數(shù)字等價；強數(shù)字收縮

Digital Lusternik-Schnirelmann Category of Finite

Digital Simplicial Complexes

He Zhen， Yang Zikang， Wang Yuyu*

（Tianjin Normal University， Tianjin 300387， China）

【Abstract】 In this paper， the concepts of the digital continuous relation， the digital contiguity class， the finite digital simplicial complex and the strong digital equivalence of finite digital simplicial mappings are given. Based on this， the digital Lusternik-Schnirelmann category and the digital geometric Lusternik-Schnirelmann category of finite digital simplicial complexes are defined. Finally， some conclusions are given about the above two digital categories in the case of strong digital equivalence and strong digital collapse.

【Key words】 finite digital simplicial complexes; digital Lusternik-Schnirelmann category; digital contiguity class; strong digital equivalence; strong digital collapse

〔中圖分類號〕 O189.23 〔文獻標識碼〕 A   〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）03 - 0025 - 05

1 預備知識

Lusternik-Schnirelmann （LS）范疇不僅是流形理論中探究不變量問題的有力工具，而且還涉及到具體的應用問題： 射影乘積空間和拓撲復雜性的計算［1-2］。另外，其在計算機科學中也有著越來越廣泛的應用［3］。近幾年，出現(xiàn)了 LS 范疇理論在數(shù)字空間中的推廣，如數(shù)字圖像和數(shù)字連續(xù)映射的數(shù)字 LS 范疇［4-5］。然而，針對有限數(shù)字單純復形的數(shù)字 LS 范疇理論尚處于空缺階段。本文在單純映射的連續(xù)類以及有限單純復形 LS 范疇定義的基礎上，將理論進行推廣。

20世紀60年代，數(shù)字幾何領域的奠基人 Azriel Rosenfeld 教授在二維數(shù)字空間上引入格點模型，之后又引入數(shù)字k-鄰接關系， 通過圖論的方式對數(shù)字圖像進行分析，從而證明了在二維數(shù)字空間中存在4-鄰接關系和8-鄰接關系，詳見定義1。后來，研究者又引入了公理化拓撲方法， 根據(jù)公理化的要求確定像素之間的關系， 利用該方法引入了數(shù)字拓撲的概念， 以下著重敘述一些相關知識。

定義1［6］ 給定數(shù)字空間[?n]和自然數(shù)[l（1≤l≤n）]，若稱點[p=（p1，p2，...，pn）]，[q=（q1，q2，...，qn）]為數(shù)字[k（l，n）]-鄰接，并簡記為數(shù)字[k]-鄰接， 需滿足：

（1）有至多[l]個指標[i]，滿足[pi- qi=1]；

（2）對其他指標[i]滿足[pi=qi]。

比如： 當[n=2]時，有[k（1，2）=4]，[k（2，2）=8]；

當[n=3]時，有[k（1，3）=6]，[k（2，3）=18]，[k（3，3）=26]。

定義 2 ［7］ 令[S]為數(shù)字圖像[（K，k）]的一個非空子集族，若[S]中的元素[s]滿足下面的條件，則稱[s]為數(shù)字圖像[（K，k）]中的數(shù)字單形。

（1）[s]中的不同兩點滿足數(shù)字[k（l，n）]-鄰接關系；

（2）如果[s∈S]且[?≠t?s]，則 [t∈S]。

一個[m]維數(shù)字單形是指由[m+1]個點構成的單形，并稱這些點為該單形的頂點。

令[P]為一個[m]維數(shù)字單形，如果[P′]是[P]的一個非空子集，則[P′]稱為[P]的一個面；若[P′]為一個真子集，則稱[P′]為[P]的一個真面。

定義3［7］ 令[（K，k）]是以[m]維數(shù)字單形為元素的有限集合，若滿足下面兩個條件，則稱[（K， k）]為一個有限數(shù)字單純復形。

（1）如果[P∈K]，則[P]的每一個面 [t∈K]；

（2）如果[P，Q∈K]，則[P?Q]要么是空集要么是[P]和 [Q]的公共真面。

注 1 有限數(shù)字單純復形的維數(shù)即為其包含的最大數(shù)字單形的維數(shù)。

若有限數(shù)字單純復形的子集仍是有限數(shù)字單純復形，則稱該子集為有限數(shù)字單純子復形。

2 主要定義

在以上概念的基礎上，本節(jié)將經(jīng)典拓撲學中的理論推廣到有限數(shù)字單純復形上。

定義4 給定有限數(shù)字單純復形[（K，k）]，[（L，l）]且[φ：（K，k）→（L，l）]，任取[（K，k）]中的[m]維數(shù)字單形[σ]，若[φσ]為[（L，l）]中的[n]維數(shù)字單形，[n≤m]，則稱[φ]為有限數(shù)字單純映射。

定義5 令[（K， k）]，[（L， l）]為兩個有限數(shù)字單純復形，稱有限數(shù)字單純映射[f，g：（K，k）→（L，l）]是[（k，l）]-數(shù)字連續(xù)的，當且僅當對于任意數(shù)字單形[σ∈（K，k）]，有[f（σ）?g（σ）∈（L，l）]，記作[f～c，k，lg]。

注 2 定義5中的數(shù)字連續(xù)關系滿足自反性和對稱性，但是通常情況下并不具有傳遞性。

定義 6 若稱有限數(shù)字單純映射

[f，g：（K，k）→（L，l）]

在同一個[（k，l）]-數(shù)字連續(xù)類中，即需要存在一個有限數(shù)字單純映射序列[f=f0～c， k， lf1...～c， k， lfn=g]，其中[fi：（K，k）→（L，l）]，[0≤i≤n]，記作[f～k， lg]。

數(shù)字連續(xù)類的概念是類比數(shù)字空間中數(shù)字同倫的概念，這也是定義有限數(shù)字單純復形的數(shù)字 LS 范疇的關鍵。

定義 7 對于有限數(shù)字單純映射

[f：（K，k）→（L，l）]

如果存在另一個有限數(shù)字單純映射[g：（L，l）→（K，k）]滿足條件[g°f～k， k1K]，[f°g～l，l1L]，則稱有限數(shù)字單純映射[f]為強數(shù)字等價。

注 3 如果在有限數(shù)字單純復形[（K，k）]與[（L，l）]之間存在一個強數(shù)字等價的有限數(shù)字單純映射，則稱[（K，k）]和[（L，l）]是強數(shù)字等價的有限數(shù)字單純復形，并記作[K～k， lL]。

定義 8 令[（K，k）]為有限數(shù)字單純復形，對[（K，k）]的有限數(shù)字單純子復形[（U，k）]來講，若存在一個頂點 [x∈（K，k）]，使得內射[iU：（U，k）→（K，k）]與常值映射

[cx：（U，k）→（K，k）]

在同一個[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類中，即[iU～k， kcx]，則 [（U，k）]滿足數(shù)字單純子復形范疇的條件。

定義 9 令[（K，k）]為有限數(shù)字單純復形， 若存在它的一個覆蓋[{（U0，k），（U1，k），...，（Um，k）}]以及一個頂點[x∈（K，k）]， 使得內射

[iUi：（Ui，k）→（K，k）]

與常值映射

[cx：（Ui，k）→（K，k）]

在同一個[（k，l）]-數(shù)字連續(xù)類中，則其中的最小整數(shù)[m≥0]稱為有限數(shù)字單純復形[（K，k）]的數(shù)字LS范疇， 記作[scatk（K）=m]，稱

[{（U0，k），（U1，k），...，（Um，k）}]

是[（K，k）]的一個數(shù)字范疇覆蓋。

在以上定義的基礎上，受經(jīng)典拓撲學中“拓撲空間的幾何范疇不是同倫不變量”的影響，給出了有限數(shù)字單純復形的數(shù)字幾何 LS 范疇的概念，并在文末（定理3， 定理4）討論了相關的問題。

定義 10 一個有限數(shù)字單純復形[（K，k）]是強數(shù)字收縮是指[（K，k）]強數(shù)字等價于一個點，也就是說， [1K]與[cx：（K，k）→（K，k）] 在同一個[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類中。

下文中所有“*”均表示數(shù)字單純復形中的任意頂點。

定義 11 有限數(shù)字單純復形[（K，k）]的數(shù)字幾何LS范疇是使其能夠被[m+1]個強數(shù)字收縮子復形覆蓋的最小整數(shù)[m≥0]，即存在[（K，k）]的一個覆蓋

[{（U0，k），（U1，k），…，（Um，k）}?K]，

使得[Ui～（k，k）?]，[0≤i≤m]，記作[gscat（K）=m]。

3 主要結果及證明

這部分主要分析在改變一個有限數(shù)字單純復形上的鄰接關系時相應的數(shù)字 LS 范疇的變化，并證明強數(shù)字等價的有限數(shù)字單純復形有相同的數(shù)字 LS 范疇。最后，給出數(shù)字 LS 范疇與數(shù)字幾何 LS 范疇的關系等結果。

定理1 設 [k，l]為有限數(shù)字單純復形[（K，?）]上的數(shù)字鄰接關系，當[k>l]，有[scatk（K）≤scatl（K）]

證明 假設[scatl（K）=m]，由定義 9 可知， 存在[（K，l）]的一個數(shù)字范疇覆蓋

[{（U0，l），（U1，l），...，（Um，l）}]

以及一個頂點[x∈（K，l）]使得內射

[iUi：（Ui，l）→（K，l）]

與常值映射

[cx：（Ui，l）→（K，l）]

在同一個[（l，l）]-數(shù)字連續(xù)類中，其中[0≤i≤m]。再由定義 6 可知，存在以下序列

[iUi=ψ0～c， l， lψ1...～c， l， lψn=cx]，

其中[ψi：（Ui，l）→（K，l）]，[0≤i≤n]。

由于[k > l]，所以兩個滿足[l]-鄰接關系的點一定滿足[k]-鄰接關系，從而任意兩個[（l，l）]-數(shù)字連續(xù)的有限數(shù)字單純映射也是[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)的，因此處于同一個[（l，l）]-數(shù)字連續(xù)類的兩個有限數(shù)字單純映射也處于同一個[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類中。

綜上，[iUi～k， kcx]，故[{（U0，l），（U1，l），...，（Um，l）}]也為[（K，k）]的一個覆蓋，因此結論成立。

下面給出引理 1 和引理 2，繼而證明了強數(shù)字等價的有限數(shù)字單純復形有相同的數(shù)字 LS 范疇。

引理 1 設[f，g ：（K，k）→（L，l）]為有限數(shù)字單純映射，滿足[f～c，k，lg]，若存在數(shù)字單純映射

[i：（N，n）→（K，k）]，[r：（L，l）→（N，n）]

則有[f°i～c， n， lg°i]， [r°f～c， k， nr°g]

證明 任取[（K，k）]中的一個數(shù)字單形[σ]，由定義4， 有[i（σ）∈（K，k）]。又因為[f～c，（k，l）g]， 此時， 可以得到

[f（i（σ））?g（i（σ））∈（L，l）]

即[f°i（σ）?g°i（σ）∈（L，l）]

同理有

[r°f～c， k， nr°g]

引理 2 設[f：（K，k）→（L，l）]，[g：（L，l）→（K，k）]為兩個有限數(shù)字單純映射，且滿足[g°f～k， k1K]，則[scatk（K）≤scatl（L）]。

證明 任取[（L，l）]的一個有限數(shù)字單純子復形[（U，l）]，由定義 9 可知，存在一頂點[x∈（L，l）]使得內射 [iU：（U，l）→（L，l）]

與常數(shù)值映射[cx：（U，l）→（L，l）]在同一個[（l，l）]-數(shù)字連續(xù)類中。由定義 6， 存在以下序列

[iU= φ0～c，（l， l）...～c，（l， l）φn=cx]

其中[φi：（U，l）→（L，l）]，[0≤i≤n] 。

考慮有限數(shù)字單純子復形[（f-1（U），k）?（K，k）]，因為

[g°f～（k， k）1k]

從而有以下序列

[1K=ψ0～c，（k， k）ψ1...～c，（k， k）ψn=g°f]

其中[ψi：（K，k）→（K，k）]，[0≤i≤m] 。此時，令

[f ′：（f-1U，k）→（U，l）]，[j：（f-1U，k）→（K，k）]，

由引理1 有

[j=1K°j=ψ0°j～c，（k， k）ψ1°j...～c，（k， k）ψm°j] [=g°f°j]，

因為[f°j=iU°f ′]，有

[g°f°j=g°iU°f ′=g°φ0°f ′～c，（k，k）g°φ1°f ′…～c，（k，k）g°φn°f ′，]

由于[φn=cx]，從而[g°φn°f ′：（f-1（U），k）→（g（U），k）]

為一個常值映射，所以有[j～（k， k）g°φn°f ′]，故有限數(shù)字單純子復形[（f-1U，k）?（K，k）]滿足數(shù)字單純子復形范疇條件。

綜上，假設[scatl（L）=q]，[{（U0，l），（U1，l），...，（Uq，l）}]為[（L，l）]的一個數(shù)字范疇覆蓋，而

[{（f-1（U0），k），（f-1（U1），k），...，（f-1（Uq），k）}]

是[（K，k）]的一個數(shù)字范疇覆蓋，于是[scatk（K）≤q]。

定理 2 若有限數(shù)字單純復形[（K，k）]，[（L，l）] 滿足[K～（k， l）L]，則[scatk（K）=scatl（L）]。

證明 設[f：（K，k）→（L，l）]為有限數(shù)字單純映射，由[K～（k， l）L]，根據(jù)定義7，存在數(shù)字單純映射

[g： （L，l） → （K，k）] ，

使得[g°f～（k， k）1K]，[f°g～（l， l）1L] 。

又由引理2知，

[scatk（K）≤scatl（L）]，[scatl（L）≤scatk（K）]，故結論成立。

進一步，一個有限數(shù)字單純復形的核是指它的無主要頂點的數(shù)字子復形， 且在數(shù)字同構的意義下， 核是唯一的。根據(jù)定理2， 數(shù)字 LS 范疇在強數(shù)字等價的條件下是不變的， 故可得以下推論。

推論1 令[（K0，k）]是有限數(shù)字單純復形[（K，k）]的核， 則[scatk（K）≤scatk（K0）]。

接下來討論與經(jīng)典拓撲學中一類范疇相似的數(shù)字幾何 LS 范疇，仍通過數(shù)字連續(xù)類去類比經(jīng)典拓撲學中的同倫概念進行討論。

定理 3 [scatk（K）≤gscatk（K）]。

證明 只需證強收縮的數(shù)字單純子復形滿足數(shù)字單純子復形范疇條件。事實上，兩個概念唯一的區(qū)別是，一個是指恒等映射[1U]在某個常值映射[cx]的[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類中，另一個是指包含映射[iU：（U，k）→（K，k）]能滿足[iU～（k，k）cx]。

定理4 如果[（L，k）]是[（K，k）]的強數(shù)字收縮，則[gscatk（L）≥gscatk（K）]。

證明 不失一般性，假設存在一個強數(shù)字收縮[r：（K，k）→（L，k）]，對于[（K，k）]中的單形[σ]以及包含映射[i：（L，k）→（K，k）]，當[σ?（i°r）（σ）]是[（K，k）]的單形時，有[r°i=1L]。設[（V，l）]是[（L，l）]的強數(shù)字收縮子復形，即恒等映射[1V]在某個常值映射[cw：（V，k）→（V，k）]的[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類中，由定義6，這意味著存在一系列的數(shù)字映射

[φi：（V，k）→（V，k）]，[0≤i≤n]，

使得

[1V=φ0～c，（l，l）φ1…～c，（l，l）φn=cw]

令[r′=r|r-1（V）：（r-1（V），k）→（V，k）]，

[i′：（V，k）→（r-1（V），k）]

由引理1 以及[φi～c，（l，l）φi+1]，進而

[i′°φi°r′～c，（k，k）i′°φi+1°r′]

顯然[i′°φ0～r′=i′°cw°r′=ci（w）]是一個常值映射。

另一方面，有[i′°φ0°r′=i′°1V°r′=i′°r′]，并且最后一個數(shù)字映射與[1r-1（V）]是數(shù)字連續(xù)的。

事實上，若[σ]是[（r-1（V），k）]中的一個單形，那么它一定是[（K，k）]的單形，因此[σ?（i°r）（σ）]是[（K，k）]的單形且包含于[（r-1（V），k）]，又由于[（i°r）（σ）=（i′°r′）（σ）]，所以[σ?（i′°r′）（σ）]是[（r-1（V），k）]的單形。

至此，已經(jīng)證明了常值映射[cw]與[1r-1（V）]在同一個[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類中，這也證實了后者是強數(shù)字收縮的。

現(xiàn)在，令[m=gscat（K）]并且

[{（V0，k），（V1，k），…，（Vm，k）}]

是[（L，k）]的強數(shù)字收縮子復形的覆蓋，因此

[{（r-1（V0），k），（r-1（V1），k），…，（r-1（Vm），k）}]

是[（K，k）]的強數(shù)字收縮子復形的覆蓋，這就證明了[gscatk（K）≤m]。

4 結論

以上結果給出了同一個有限數(shù)字單純復形在不同的數(shù)字鄰接關系下，相應的數(shù)字 LS 范疇的大小比較，強數(shù)字等價的有限數(shù)字單純復形的數(shù)字 LS 范疇相等。討論了同一個有限數(shù)字單純復形的數(shù)字 LS 范疇與數(shù)字幾何 LS 范疇的關系，在強數(shù)字收縮下，數(shù)字幾何 LS 范疇不會降低。

進一步展望，Ayse Boart 和 Tane Vergili［4］給出一個三維數(shù)字空間中數(shù)字圖像的 LS 范疇算法，該算法利用了二維數(shù)字空間中 LS 范疇的定義， 這對于在更大維數(shù)的數(shù)字空間中是否需要再定義 LS 范疇留下了懸念， 并且，是否可以在有限數(shù)字單純復形中進行研究也是值得探討的。

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責任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2024-04-18

［基金項目］ 國家自然科學基金（11301386）; 天津市自然科學基金項目（19JCYBJC30300）; 天津師范大學研究生創(chuàng)新項目（2022KYCX107Y）

［作者簡介］ 何震（2000- ）， 男， 天津師范大學數(shù)學科學學院碩士研究生， 研究方向： 拓撲及其應用。

［通訊作者］ 王玉玉（1979- ），女， 博士， 天津師范大學數(shù)學科學學院教授，研究方向： 代數(shù)拓撲與計算拓撲。