利用構(gòu)造函數(shù)法求解導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題

摘要：導(dǎo)數(shù)不等式是微分學(xué)中的重要問(wèn)題，在多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.文章提出了一種新的求解導(dǎo)數(shù)不等式的方法——構(gòu)造函數(shù)法.該方法的主要步驟是首先構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，然后利用這些函數(shù)將導(dǎo)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為等式問(wèn)題，最后通過(guò)求解這些等式得到原不等式的解.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)法;導(dǎo)數(shù)不等式;微分學(xué);等式問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0070-03

微分學(xué)在多個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，但導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題復(fù)雜且重要.傳統(tǒng)求解方法如臨界值法、修正牛頓法在處理簡(jiǎn)單問(wèn)題時(shí)有效，但對(duì)復(fù)雜問(wèn)題存在局限.本文提出構(gòu)造函數(shù)法，旨在解決這一挑戰(zhàn).該方法通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，將導(dǎo)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為等式問(wèn)題，進(jìn)而求解原不等式.這種方法不僅提升了求解的靈活性和通用性，還為復(fù)雜問(wèn)題的解決提供了新思路.在微分學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，構(gòu)造函數(shù)法有望成為一種有效的工具，推動(dòng)相關(guān)研究的深入發(fā)展.

1導(dǎo)數(shù)不等式及其應(yīng)用

1.1導(dǎo)數(shù)不等式概述

導(dǎo)數(shù)不等式是微積分領(lǐng)域的關(guān)鍵課題，對(duì)函數(shù)行為有重要限制與估計(jì)作用，其研究歷史悠久，傳統(tǒng)方法在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)受限.導(dǎo)數(shù)不等式在最優(yōu)控制、金融數(shù)學(xué)和生物建模等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用.深入研究和創(chuàng)新求解方法，如構(gòu)造函數(shù)法，對(duì)推動(dòng)理論發(fā)展和解決實(shí)際問(wèn)題至關(guān)重要[1].掌握導(dǎo)數(shù)不等式的理論基礎(chǔ)并應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，是現(xiàn)代科研的重要任務(wù)，這不僅能深化數(shù)學(xué)理解，還能拓展其應(yīng)用領(lǐng)域的廣泛可能性.

1.2導(dǎo)數(shù)不等式在微分學(xué)中的地位

導(dǎo)數(shù)不等式在微分學(xué)中至關(guān)重要，是驗(yàn)證函數(shù)性質(zhì)、證明定理的有效工具.它可以確定函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)，常用于顯性估計(jì)和極限理論.在泛函分析、偏微分方程等領(lǐng)域，導(dǎo)數(shù)不等式提供了分析工具，助力解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題.深入研究導(dǎo)數(shù)不等式及其解法，對(duì)推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展和應(yīng)用具有重要意義，增強(qiáng)了解決實(shí)際問(wèn)題的能力[2].

1.3導(dǎo)數(shù)不等式在各領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例

導(dǎo)數(shù)不等式在多個(gè)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，用于優(yōu)化生產(chǎn)函數(shù)和成本函數(shù)，幫助實(shí)現(xiàn)資源配置的最佳化.在工程學(xué)中，通過(guò)求解導(dǎo)數(shù)不等式，可以優(yōu)化材料性能和機(jī)械設(shè)計(jì).例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)不等式常用于分析成本函數(shù)與利潤(rùn)最大化問(wèn)題.

例1（2023年邢臺(tái)檢測(cè)）2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國(guó)家體育場(chǎng)舉行，拉開了冬奧會(huì)的帷幕.冬奧會(huì)發(fā)布的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”得到了大家的廣泛喜愛，達(dá)到一墩難求的地步.當(dāng)?shù)啬陈糜斡闷飞痰戢@批經(jīng)銷此次奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，其中某個(gè)掛件紀(jì)念品每件的成本為5元，并且每件紀(jì)念品需向稅務(wù)部門上交a元（10≤a≤13）的稅收，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)定為x元（13≤x≤17）時(shí)，一年的銷售量為（18-x）2萬(wàn)件.

（1）求該商店一年的利潤(rùn)f（x）（萬(wàn)元）與每件紀(jì)念品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出f（x）的最大值Q（a）.

解析（1）由題意，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（13≤x≤17）時(shí)，一年的銷售量為（18-x）2萬(wàn)件，而每件產(chǎn)品的成本為5元，且每件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交a元（10≤a≤13），

所以商店一年的利潤(rùn)f（x）（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為f（x）＝（x-5-a）（18-x）2，x∈[13，17].

（2）因?yàn)閒（x）＝（x-5-a）（18-x）2，x∈[13，17]，

所以f ′（x）＝（28＋2a-3x）（18-x）.

令f ′（x）＝0，解得x＝28+2a3或x＝18.

而10≤a≤13，則16≤28+2a3≤18.

①若16≤28+2a3<17，即10≤a<11.5，

當(dāng)x∈［13，28＋2a3］時(shí)，f ′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈［28＋2a3，17］時(shí)，f ′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，

所以f（x）max＝f （28＋2a3）＝427（13-a）3.

②若17≤28+2a3≤18，即11.5≤a≤13，則f ′（x）≥0，即f（x）在[13，17]上單調(diào)遞增.

所以f（x）max＝f（17）＝12-a.

綜上，Q（a）＝427（13-a）3，10≤a<11.5，12-a，11.5≤a≤13.

2構(gòu)造函數(shù)法的原理和步驟

2.1構(gòu)造函數(shù)法的概述和公式

構(gòu)造函數(shù)法通過(guò)構(gòu)建與原導(dǎo)數(shù)不等式緊密相關(guān)的輔助函數(shù)，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更易求解的等式.核心在于巧妙選取輔助函數(shù)，其需簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)不等關(guān)系并便于計(jì)算，使復(fù)雜不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單等式.

例2（2023年山東濰坊一模）已知函數(shù)

f（x）＝ex-1lnx，g（x）＝x2-x.

求證：當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤g（x）.

證明原不等式等價(jià)于ex-1lnx≤x2-x＝x（x-1）.

即lnxx≤x-1ex-1.

只需證lnxelnx≤x-1ex-1在x∈（0，2）上恒成立.

設(shè)l（x）＝xex，則l′（x）＝ex-xex（ex）2＝1-xex.

所以，當(dāng)0＜x<1時(shí)，l′（x）>0，l（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，l′（x）<0，l（x）單調(diào)遞減，所以l（x）≤l（1）＝1e.

令t（x）＝lnx-x＋1，則t′（x）＝1x-1＝1-xx.

當(dāng)0<x<1時(shí)，t′（x）>0，t（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，t′（x）<0，t（x）單調(diào)遞減.

所以t（x）＜t（x）max＝t（1）＝0.

所以lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)），且在x∈（0，2）上有l(wèi)nx<1，x-1<1，所以l（lnx）≤l（x-1）.

即lnxelnx≤x-1ex-1.

所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，有f（x）≤g（x）成立.

2.2構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)的原則和方法

構(gòu)造函數(shù)法的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，需遵循以下原則：與原不等式密切相關(guān)，揭示關(guān)鍵變量與關(guān)系；具備良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，如連續(xù)可導(dǎo)、單調(diào)性；計(jì)算復(fù)雜度適中，避免過(guò)度復(fù)雜；通用性強(qiáng)，適用于廣泛?jiǎn)栴}[3].構(gòu)造方法包括直接構(gòu)造法、差分法和迭代法，通過(guò)分析特征、簡(jiǎn)化不等式或逐步逼近來(lái)構(gòu)造.

應(yīng)靈活運(yùn)用這些方法，以適應(yīng)不同類型的導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題，確保問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化和求解.

2.3將導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等式問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)不等式的求解一般通過(guò)構(gòu)建適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為等式問(wèn)題.構(gòu)造函數(shù)通常具有導(dǎo)數(shù)特性，使得不等式形式能夠轉(zhuǎn)化成等式形式.求解步驟包括求出構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入原不等式轉(zhuǎn)化后的等式中，進(jìn)行代數(shù)操作以求解未知變量.通過(guò)這種方法，原不等式問(wèn)題被簡(jiǎn)化為求解一個(gè)或多個(gè)等式，可以利用標(biāo)準(zhǔn)求解方法得到不等式的解.這種轉(zhuǎn)化不僅簡(jiǎn)化了求解過(guò)程，也提高了求解的準(zhǔn)確性和效率.

3構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)不等式中的應(yīng)用與評(píng)價(jià)

3.1選取典型的導(dǎo)數(shù)不等式，并用構(gòu)造函數(shù)法求解

為了展示構(gòu)造函數(shù)法在求解導(dǎo)數(shù)不等式中的具體應(yīng)用，我們可以考慮一個(gè)典型的導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題：ex≥x+1，這個(gè)不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都成立.

為了證明這個(gè)不等式，我們可以使用構(gòu)造函數(shù)法.

首先構(gòu)造f（x）=ex-x-1，求導(dǎo)，得

f ′（x）=ddx（ex-x-1）=ex-1.

當(dāng)x<0時(shí)，ex<1，所以f ′（x）=ex-1<0，即f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，ex>1，所以f ′（x）=ex-1>0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

由于f（x）在x=0處由單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增，因此x=0是f（x）的極小值點(diǎn).

將x=0代入f（x），得到f（0）=e0-0-1=0.

由于f（x）在x=0處取得極小值0，并且f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此f（x）≥0對(duì)所有x∈R都成立.即ex≥x+1對(duì)所有x∈R都成立.

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，我們證明了ex≥x+1這個(gè)不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都成立.這種方法的關(guān)鍵在于通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并找到可能的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定函數(shù)在整個(gè)定義域上的取值范圍.整個(gè)過(guò)程展示了構(gòu)造函數(shù)法在處理導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題時(shí)的有效性和靈活性.

3.2與傳統(tǒng)方法比較求解準(zhǔn)確性和復(fù)雜度

求解導(dǎo)數(shù)不等式時(shí)構(gòu)造函數(shù)法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)方法.它簡(jiǎn)化了問(wèn)題，提高了求解效率，尤其在處理復(fù)雜情況時(shí)速度更快.在準(zhǔn)確性上，構(gòu)造函數(shù)法避免了近似和簡(jiǎn)化，提供了更精確的解.在復(fù)雜度上，傳統(tǒng)方法計(jì)算步驟多且依賴性強(qiáng)，而構(gòu)造函數(shù)法通過(guò)清晰的構(gòu)造與求解流程，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，降低了復(fù)雜度.

4結(jié)束語(yǔ)

本研究提出構(gòu)造函數(shù)法求解導(dǎo)數(shù)不等式，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等式問(wèn)題，通過(guò)求解等式得解.該方法高效通用，實(shí)例驗(yàn)證顯示其優(yōu)勢(shì).然而，面對(duì)導(dǎo)數(shù)不等式的復(fù)雜性，該方法在某些特定問(wèn)題上可能存在困難.未來(lái)研究需優(yōu)化方法，擴(kuò)大適用范圍[4].隨著研究深入，構(gòu)造函數(shù)法有望在更多領(lǐng)域和問(wèn)題中發(fā)揮獨(dú)特優(yōu)勢(shì).

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［責(zé)任編輯：李璟］