兩圓公切線的八種解法

摘要：以2022年全國新高考Ⅰ卷第14題為例，探究其多種求解思路，剖析不同方法的原理，并給出了一般性的求解步驟，有助于學(xué)生系統(tǒng)地掌握求解兩個圓的公切線的方法，認(rèn)清問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟解析幾何中數(shù)形結(jié)合的思想方法.

關(guān)鍵詞：公切線；解法探究；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0082-03

求兩個圓的公切線方程是平面解析幾何的基本問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，蘊(yùn)含了多種求解策略，在2022年全國新高考Ⅰ卷中以一道開放試題呈現(xiàn).根據(jù)兩圓位置關(guān)系的不同，兩圓半徑大小的不同，可以采用不同的求解方法，下面詳細(xì)闡釋.

1試題呈現(xiàn)

試題寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.

2解法剖析

方法1觀察法.

在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個圓，觀察其位置特征，猜想公切線方程，并驗證.

解析在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個圓，觀察發(fā)現(xiàn)直線x=-1可能是兩圓的一條公切線.

經(jīng)檢驗，兩圓圓心到直線的距離等于半徑，符合相切關(guān)系.

方法2對稱法.

若兩圓有多條公切線時，利用公切線關(guān)于圓心所在直線對稱的方法，可以由一條公切線方程求出另外一條公切線方程.

解析如圖1，通過解法1可得出一條公切線x=-1，

圓心所在直線CO：y=43x，在直線x=-1上取一點P（-1，0），

設(shè)點P1（x0，y0）為點P關(guān)于直線CO：y=43x的對稱點，可得

y0-0x0+1×43=-1，y0+02=43×x0-12，

解得x0=725，y0=-2425，即P1（725，-2425）.

又由y=43x，x=-1， 得點Q（-1，-43），可得另一條公切線P1Q：7x-24y-25=0.

方法3兩圓方程作差法.

已知兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，

因為圓心不重合，則兩圓方程作差為一條直線方程：（D1-D2）·x+（E1-E2）·y+F1-F2=0.若兩圓外切，則該直線為經(jīng)過兩圓公共點的公切線，若兩圓內(nèi)切，則該直線是唯一的一條公切線.

解析因為圓x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為O（0，0），半徑r1=1，圓（x-3）2+（y-4）2=16的圓心坐標(biāo)為C（3，4），半徑r2=4，則|OC|=9+16=5=r1+r2.所以兩圓外切.

因此，只需兩圓方程作差，可得3x+4y-5=0，即為一條公切線方程.

方法4定比分點法cb18d5f99875f2609d6c26db705d115f4740644cd8197f462530e91222247561.

利用公切線與圓心連線交于同一點，可以借助半徑關(guān)系，建立交點坐標(biāo)與圓心之間的向量

關(guān)系，利用定比分點坐標(biāo)公式求出交點坐標(biāo)，進(jìn)而求出公切線方程.圖2利用定比分點法求公切線

解析如圖2，POPC=14，即OP=-14PC，由O0，0，C3，4可得P（-1，-43），

當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=-1，符合與兩圓相切，

當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程y+43=kx+1，由圓O與直線相切，可得

dO-l=k-4/3k2+1=1，解得k=724，即切線方程為7x-24y-25=0.

方法5平移法.

平移公切線到一個圓的圓心處，利用點到直線的距離公式求出平行線方程，再通過平行線間的距離公式求出公切線方程[1].

解析如圖3所示，當(dāng)斜率存在時，設(shè)過點O且與公切線平行的直線OM為y=kx，圓心C到直線OM的距離為3，即dC-OM=3k-4k2+1=3，解得k=724，即直線OM：7x-24y=0.則公切線PQ的方程可設(shè)為7x-24y+m=0，

由平行線間的距離公式可得m72+242=1，解得m=±25，由圖可知，公切線PQ在x軸的截距為正數(shù)，即m=-25，所以，公切線PQ的方程為7x-24y-25=0.

方法6夾角法.

先求出公切線與兩圓心所在直線的夾角，再通過兩圓心所在直線斜率求出公切線的斜率，最后用一個圓與公切線相切求出公切線的方程.

解析如圖4所示，作OM∥l1，可知OM⊥CM，設(shè)一條公切線l1的傾斜角為θ，公切線與兩圓心所在直線OC的夾角為α，兩圓心所在直線OC的傾斜角為β，

可知tanβ=kOC=43，sinα=CMOC=35，即tanα=34，由圖可知tanθ=tanβ-α=724，即公切線l1的斜率為724，設(shè)l1的方程為y=724x+m，由圓O與直線l1相切，可得dO-l1=m12+7/242=1，

解得m=±2524，由圖可知，公切線l1在x軸的截距為正數(shù)，即m=-2524，即一條公切線l1的方程為y=724x-2524.

而另一條公切線的傾斜角滿足tanθ=tanβ+α=4/3+3/41-4/3×3/4，無意義，

即斜率不存在，就是前面所求的x=-1.

方法7硬算法.

討論斜率是否存在，當(dāng)斜率存在時，設(shè)為點斜式，利用兩個圓都和直線相切，兩個方程解兩個未知數(shù)，求出公切線方程.

解析當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=-1，符合與兩圓相切，為第一條公切線，

當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程y=kx+b，由兩圓均與直線相切，

可得bk2+1=1，3k+b-4k2+1=4，兩式作比，可得3k+b-4=4b.

若3k+b-4=4b，則b=k-43，代入bk2+1=1，解得k=724，b=-2524，

得到第二條公切線方程y=724x-2524；

若3k+b-4=-4b，則b=4-3k5，代入bk2+1=1，化簡為4k+32=0，

解得k=-34，b=54，得到第三條公切線方程y=-34x+54.

由此，可得三條公切線分別為x=-1，7x-24y-25=0和3x+4y-5=0.

方法8幾何意義法.

如圖5與圖6所示，當(dāng)兩圓半徑相等時，外部的公切線與兩圓心所在直線平行，內(nèi)部的公切線經(jīng)過兩圓心的中點，利用該幾何意義，可以將問題轉(zhuǎn)化為求平行線方程與求過定點的切線方程.

試題（2022年遼寧省高二校聯(lián)考）

已知圓O1：x2+y-32=16，圓O2：x-62+y-112=16，則與圓O1，O2都相切的直線方程為.

答案兩條外部公切線l1和l2的方程為4x-3y+29=0或4x-3y-11=0，

兩條內(nèi)部公切線l3和l4的方程為y=7或24x+7y-121=0.

3結(jié)束語

上述八種方法從不同角度切入，各有優(yōu)劣.在解題時，要先分析兩圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圖形分析兩圓之間有無特殊的幾何關(guān)系，最后根據(jù)求解需要選擇合適的解法. 全面掌握八種方法有助于學(xué)生建立先前所學(xué)知識之間的聯(lián)系，加深對直線與圓相切問題的理解，進(jìn)一步領(lǐng)悟解析幾何問題中數(shù)形結(jié)合的思想方法.

參考文獻(xiàn)：

［1］

張忠旺.求兩圓公切線方程的簡捷方法[J].數(shù)學(xué)通訊，2000（22）：14-15.

［責(zé)任編輯：李璟］