一道平面向量問題的多種解題方法

摘要：平面向量是高中數學的一個重要內容，文章通過一道平面向量最值問題的探究，從坐標法、代數方程法、基底法、幾何法四個角度分析問題、解決問題.

關鍵詞：平面向量；最值；一題多解

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0064-03

平面向量是高中數學的一個重要內容，也是每年高考都會考查的部分.平面向量很好地融合了代數與幾何，因此在解決平面向量問題時，常常有多種方法解決，比如最常見的基底法、幾何法、坐標法[1].本文通過一道平面向量最值問題的探究，從坐標法、代數方程法、基底法、幾何法四個角度分析問題、解決問題.

1試題呈現

題目在△ABC中，AC=2，BC=4，∠CBA=30°，P是△ABC的外接圓上的一點，若CP=mCA+nCB，求m+n的最大值.

2試題解析

思路1坐標法.通過解三角形可知△ABC是直角三角形，那么外接圓的圓心恰好是斜邊BC的中點，從而可以確定外接圓的方程.通過建立平面直角坐標系，寫出平面向量的坐標.點P在外接圓上，用三角函數的定義表示出點P的坐標，從而把m+n用三角函數表示出來，轉化為三角函數的最值問題.

解法1在△ABC中，根據正弦定理有

ACsin∠CBA=BCsin∠BAC.

即2sin30°=4sin∠BAC，有sin∠BAC=1.

因為0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=90°.

所以Rt△ABC的外心為斜邊BC的中點O.

以斜邊BC所在直線為x軸，中點O為原點，建立平面直角坐標系，則可得A（-1，3），B（2，0），C（-2，0）.

所以CA=（1，3），CB=（4，0）.

所以CP=mCA+nCB=（m+4n，3m）.

因為Rt△ABC的外接圓的圓心是O，半徑是2，可設P（2cosθ，2sinθ），所以CP=（2cosθ+2，2sinθ）.

因為CP=mCA+nCB，

所以2cosθ+2=m+4n，2sinθ=3m.

所以m=233sinθ，n=12cosθ+12-36sinθ.

所以m+n=12cosθ+32sinθ+12

=sin（θ+π6）+12.

所以當sin（θ+π6）=1時，m+n的最大值是32.

思路2代數方程思想.分析出點P所在的外接圓的方程，通過坐標運算寫出點P的坐標，把點P的坐標代入外接圓的方程，得到關于m，n的方程.令m+n=a，將m=a-n代入方程，從而消去m，得到含有a，n的式子.再將此式子看成是關于n的一元二次方程，此方程一定有根，通過根的判別式△≥0求出a的范圍，即求出m的最值.

解法2同解法1，可得Rt△ABC的外接圓的圓心是BC的中點O，半徑是2，建立平面直角坐標系的方法也同解法1，則點P在圓x2+y2=4上.

所以A（-1，3），B（2，0），C（-2，0） .

所以CA=（1，3），CB=（4，0）.

所以CP=mCA+nCB=（m+4n，3m）.

所以OP=OC+CP=（m+4n-2，3m）.

因為點P在圓x2+y2=4上，

所以（m+4n-2）2+（3m）2=4.

所以m2+m（2n-1）+（2n-1）2=1.

令m+n=a，則m=a-n.

所以（a-n）2+（a-n）（2n-1）+（2n-1）2=1.

化簡，得3n2-3n+a2-a=0.

把上式看作關于n的一元二次方程，此方程有實根，

則此方程的△=（-3）2-4×3×（a2-a）≥0.

所以4a2-4a-3≤0.

所以-12≤a≤32.

所以m+n的最大值是32.

思路3平面向量的基底法.本題中的CA，CB，CO的長度和夾角都已知，便可計算出相應的數量積.根據CP·CO=12|CP|2，再根據平面向量模的計算公式，就可以得到關于m，n的方程，后面的解題方法同解法2.

解法3同解法1可得Rt△ABC的外接圓的圓心是BC的中點O，因為

CA·CO=|CA|·|CO|·cos60°=2×2×12=2，

CB·CO=|CB|·|CO|cos0°=4×2×1=8，

CP·CO=|CP|·|CO|cos∠PCO=12|CP|2，

又因為CP=mCA+nCB，

所以CP·CO=（mCA+nCB）·CO

=mCA·CO+nCB·CO

=2m+8n.

所以12|CP|2=2m+8n.

即|CP|2=4m+16n.

因為CP2=（mCA+nCB）2

=m2CA2+2mnCA·CB+n2CB2

=4m2+8mn+16n2，

所以4m2+8mn+16n2=4m+16n.

所以m2+2mn+4n2-m-4n=0.

令m+n=a，則m=a-n.

則（a-n）2+2（a-n）n+4n2-（a-n）-4n=0.

化簡，得3n2-3n+a2-a=0.

把上式看作關于n的一元二次方程，此方程有實根，

則方程的△=（-3）2-4×3×（a2-a）≥0.

所以4a2-4a-3≤0.所以-12≤a≤32.

所以m+n的最大值是32.

思路4幾何法.利用平面向量的等和線定理，過點P作MN∥AB，當MN與外接圓相切時，m+n得到最大值.利用平面幾何知識計算出相似比CMCA=λ，即可得出答案.

解法4過點P作MN∥AB分別交CA，CB的延長線于點M，N.因為M，N，P三點共線，則有實數s，t使CP=sCM+tCN，且s+t=1.

因為MN∥AB，記CMCA=CNCB=λ，

所以CP=sCM+tCN=sλCA+λtCB.

所以sλ+λt=λ，即m+n=λ.這其實就是平面向量的等和線定理.

因為m+n=λ=CMCA，CA=2，所以CM取最大值時，m+n得到最大值.

當MN與外接圓相切時，CM取最大值時，由平面幾何知識可知，OP⊥MN，ON=2OP=4，CN=6，CM=12CN=3.

所以m+n的最大值是32.

3試題變式

變式1在△ABC中，AC=2，BC=4，∠CBA=30°，P是△ABC的外接圓上的一點，若CP=mCA+nCB，求m+n的最小值.

由前面的分析和解題過程，很容易得到m+n的最小值為-12.

變式2在△ABC中，AC=AB=2，∠BAC=120°，P是△ABC的外接圓上的一點，若CP=mCA+nCB，求m+n的最大值.

解析雖然本題的△ABC不是直角三角形，但根據平面幾何知識，很容易得出△ABC的外接圓的圓心在BC的高上（三線合一），和前面的題相似，解決本題也同樣有多種方法.下面從坐標法角度給出解題過程.

由余弦定理計算得BC=23，由正弦定理可得△ABC的外接圓的直徑2R=BCsin120°=4，則R=2.

以BC所在直線為x軸，以BC中點O為原點建立平面直角坐標系，則A（0，1），B（3，0），

C（-3，0），△ABC的外接圓圓心D（0，-1）.

因為CA=（3，1），CB=（23，0），

所以mCA+nCB=（3m+23n，m）.

因為△ABC的外接圓的方程為x2+（y+1）2=4，可設點P（2cosθ，-1+2sinθ），

所以CP=（2cosθ+3，-1+2sinθ）.

由CP=mCA+nCB，得

2cosθ+3=3m+23n，-1+2sinθ=m.

所以m=-1+2sinθ，n=33cosθ-sinθ+1.

所以m+n=33cosθ+sinθ=233sin（θ+π6）.

當sin（θ+π6）=1時，m+n的最大值為233.

4結束語

不論是教師在教學過程中，還是學生在學習知識的過程中，都需要重視一題多解問題的探究.通過一道題把相關的知識點串成線，建立起高中數學的知識結構.例如本文的平面向量最值問題，涉及平面向量、三角函數、平面幾何、代數方程、解析幾何等知識點，并且同時運用了多種數學思想方法.通過對本文題目的深入探究，教師和學生都會有收獲和啟發.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準

（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［責任編輯：李璟］