基于高考題分析高中數(shù)學(xué)解題的審題技巧

摘要：通過對(duì)湘教版高中數(shù)學(xué)教材中的典型高考題的分析，總結(jié)出了一些有效的審題技巧，幫助學(xué)生在解題過程中更加準(zhǔn)確地理解和應(yīng)用所學(xué)知識(shí).

關(guān)鍵詞：高考；題目分析；高中數(shù)學(xué)；解題；審題技巧

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0076-03

審題技巧作為數(shù)學(xué)解題的首要環(huán)節(jié)，在高考中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，它是指考生在解題前，通過閱讀和理解題目，分析題目中的關(guān)鍵信息，從而確定解題思路和方法的能力.對(duì)于數(shù)學(xué)而言，審題不僅要求考生準(zhǔn)確捕捉題目中的數(shù)學(xué)概念和模型，還需要他們通過邏輯推理和分析，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.然而，在實(shí)際的教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時(shí)常常因?yàn)閷忣}不清或誤解題意而導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤或無法得出正確答案，這不僅影響了學(xué)生的考試成績(jī)，更在一定程度上阻礙了他們數(shù)學(xué)思維和解題能力的提升[1].因此，本研究旨在通過分析高考數(shù)學(xué)題目的特點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際案例，探討數(shù)學(xué)解題過程中的審題技巧.

1準(zhǔn)確捕捉題目中的核心信息

解高中數(shù)學(xué)題時(shí)，準(zhǔn)確捕捉題目中的核心信息是解題的基石.要仔細(xì)閱讀題目，逐句分析，理解每個(gè)條件和要求；標(biāo)記出關(guān)鍵詞和關(guān)鍵信息，這有助于快速定位和回顧重要內(nèi)容；注意識(shí)別題目類型和隱含條件，這能夠指導(dǎo)解題方向和策略；通過驗(yàn)證答案和回顧解題過程，確保沒有遺漏關(guān)鍵信息[2].

例1已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，則雙曲線C的漸近線方程為.

分析從題目中可以識(shí)別出關(guān)鍵詞：雙曲線、離心率和漸近線方程.我們知道雙曲線的離心率公式為e=ca.題目給出離心率為2，所以我們可以得到c=2a.又因?yàn)殡p曲線的性質(zhì)有c2=a2+b2，通過這兩個(gè)信息，我們可以找到b與a的關(guān)系.雙曲線的漸近線方程的一般形式是y=±bxa.因此，我們需要找到b和a的具體值或它們之間的關(guān)系.

解析由于e=ca=2，得到c=2a.

又因?yàn)閏2=a2+b2，代入c=2a得到4a2=a2+b2，解得b2=3a2，即b=3a.

因此，雙曲線C的漸近線方程為y=±3x.

2理解題目背后的數(shù)學(xué)概念或模型

審題時(shí)，我們需要識(shí)別題目中涉及的核心數(shù)學(xué)概念，例如函數(shù)、幾何圖形、概率等.根據(jù)這些概念的定義和性質(zhì)，思考它們可能形成的數(shù)學(xué)模型或結(jié)構(gòu).通過分析題目中的條件和要求，確定適用的數(shù)學(xué)定理、公式或方法.最后，將這些數(shù)學(xué)概念和模型整合起來，形成解題的整體思路[3].

例2（2021年全國(guó)Ⅰ卷）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且∠F1PF2=90°，若△PF1F2的面積為2ab，則雙曲線的離心率為.

分析要明確雙曲線的焦點(diǎn)到曲線上任意一點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是2a.題目中給出∠F1PF2=90°，以及△PF1F2的面積為2ab，這提示我們可以使用三角形的面積公式來求解.

解析設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由于∠F1PF2=90°，根據(jù)勾股定理，有

m2+n2=4c2.①

又因?yàn)椤鱌F1F2的面積為2ab，根據(jù)三角形面積公式，有12mn=2ab，即

mn=4ab.②

由于|m-n|=2a，所以（m-n）2=4a2.

即m2+n2-2mn=4a2.③

將①②代入③，得到4c2-2×4ab=4a2.

化簡(jiǎn)，得c2-2ab=a2.

由雙曲線的性質(zhì)，得c2=a2+b2，代入上式，得a2+b2-2ab=a2，化簡(jiǎn)，得b2=2ab.

進(jìn)一步得到b=2a.

代入離心率的公式e=ca，得到

e=b2+a2a2=a2+4a2a2=5.

3分析題目中的邏輯關(guān)系

分析題目中的邏輯關(guān)系是高中數(shù)學(xué)解題中的核心技巧.審題時(shí)，先仔細(xì)閱讀題目，明確題目的已知條件和需要求解的結(jié)論.通過邏輯推理，分析條件與結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，理解它們是如何相互作用的，這通常涉及識(shí)別條件之間的等價(jià)關(guān)系、因果關(guān)系、充要條件等.還要注意挖掘題目中隱含的條件和信息，這些往往對(duì)解題起到關(guān)鍵作用.

例3（2022年全國(guó)Ⅱ卷）已知f（x）=|x-1|+|x-3|，若不等式f（x）≥|m-1|的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）.

A.[2，4] B.（2，4）C.[1，5] D.（1，5）

分析題目要求不等式f（x）≥|m-1|的解集為全體實(shí)數(shù)集R，這意味著對(duì)于所有x∈R，都有

f（x）≥|m-1|.因此，我們需要分析f（x）的性質(zhì)，特別是它的最小值，因?yàn)楫?dāng)f（x）取得最小值時(shí)，|m-1|的最大可能值就是f（x）的最小值.

解析由絕對(duì)值的性質(zhì)可知，|x-1|表示點(diǎn)x到點(diǎn)1的距離，|x-3|表示點(diǎn)x到點(diǎn)3的距離.因此，f（x）表示點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)3的距離之和.這個(gè)距離之和的最小值出現(xiàn)在x位于點(diǎn)1和點(diǎn)3之間時(shí)，即x=2，此時(shí)f（x）min=|2-1|+|2-3|=2，接下來，我們利用這個(gè)最小值來分析不等式f（x）≥|m-1|.

由于f（x）的最小值為2，所以|m-1|≤2.

解得-2≤m-1≤2，即-1≤m≤3.

4識(shí)別題目中的陷阱和誤區(qū)

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，識(shí)別題目中的陷阱和誤區(qū)是確保準(zhǔn)確解答的關(guān)鍵步驟.這要求學(xué)生在審題時(shí)不僅要理解表面的文字信息，還要深入挖掘題目背后的隱藏條件和潛在要求.陷阱和誤區(qū)通常隱藏在復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)、相似的概念或容易混淆的術(shù)語中.為了避免陷入這些陷阱，學(xué)生需要細(xì)心觀察、仔細(xì)分析，并善于運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理和判斷.

例4已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（φ∈（0，π）），若f（x）≤|f（π6）|對(duì)x∈R恒成立，則φ的取值范圍是.

分析這道題目看似簡(jiǎn)單，但隱藏著陷阱.學(xué)生容易誤以為f（π6）是函數(shù)f（x）的最大值或最小值，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論.實(shí)際上，題目中的條件是f（x）≤|f（π6）|，這意味著f（π6）可能是函數(shù)的最大值、最小值或零點(diǎn).因此，我們需要分別考慮這三種情況，并找出滿足條件的φ的取值范圍.

解析（1）當(dāng)f（π6）是最大值時(shí)，有sin（2×π6+φ）=-1，即cosφ=1.

由于φ∈（0，π），所以φ=0（不符合題意，舍去）.

（2）當(dāng)f（π6）是最小值時(shí)，有sin（2x×π6+φ）=1，即cosφ=-1.

由于φ∈（0，π），所以φ=π（不符合題意）.

（3）當(dāng)f（π6）是零點(diǎn)時(shí)，有sin（2x×π6+φ）=0.

即2×π6+φ=kπ（k∈Z），

解得φ=kπ-π3（k∈Z）.

由于φ∈（0，π），所以φ的取值范圍是（2π3，π）.

綜上，φ的取值范圍是[2π3，π）.

5利用題目中的特殊性質(zhì)簡(jiǎn)化問題

學(xué)生需要敏銳地捕捉到題目中可能存在的特殊性質(zhì)，如特定的數(shù)值、圖形特征、函數(shù)特性等.這些特殊性質(zhì)往往可以作為解題的突破口，幫助我們找到更簡(jiǎn)潔、更高效的解題方法.一旦識(shí)別出這些特殊性質(zhì)，學(xué)生就可以利用它們來簡(jiǎn)化復(fù)雜的運(yùn)算過程、減少不必要的步驟，甚至直接得出答案.例如，在求解函數(shù)問題時(shí)，如果函數(shù)具有周期性或?qū)ΨQ性，就可以利用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算；在幾何問題中，如果圖形具有某種特殊性質(zhì)（如等腰、等邊、直角等），就可以利用這些性質(zhì)快速找到解題思路.因此，學(xué)會(huì)利用題目中的特殊性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)解題中不可或缺的一種能力.

例5已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>

b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為.

分析（1）根據(jù)橢圓的定義，任意一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，|PF1|+|PF2|=2a；

題目中給出PF1⊥PF2，這意味著△PF1F2是一個(gè)直角三角形；

（2）在直角三角形中，可以利用勾股定理，得

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2；

（3）橢圓的焦距c和長(zhǎng)短軸a，b之間的關(guān)系是c2=a2-b2；

（4）可以將|PF1|+|PF2|=2a和|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2結(jié)合，通過代數(shù)運(yùn)算求出|PF1|.|PF2|；

（5）利用直角三角形的面積公式S=12|PF1|×|PF2|，求出△PF1F2的面積.

解析因?yàn)镃是橢圓，所以|PF1|+|PF2|=2a.

又因?yàn)镻F1⊥PF2，所以△PF1F2是一個(gè)直角三角形.由勾股定理，得

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.④

將|PF1|+|PF2|=2a兩邊平方，得到

|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4a2.⑤

⑤-④，得到2|PF1|×|PF2|=4a2-4c2.

即|PF1|×[PF2|=2a2-2c2.

所以S=12|PF1|×|PF2|=a2-c2=b2.

6結(jié)束語

綜上所述，建議學(xué)生在學(xué)習(xí)和備考過程中注重培養(yǎng)審題技巧，不斷提升解題能力，從而取得更好的成績(jī).審題技巧的掌握不僅在高考中具有重要意義，也對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作有著積極的影響.

參考文獻(xiàn)：

［1］

楊宗敏.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略探究[J].數(shù)理天地（高中版），2024，12（03）：42-44.

［2］ 李瑞奎.基于高考題分析高中數(shù)學(xué)解題的審題技巧[J].數(shù)理天地（高中版），2024，10（01）：56-57.

［3］ 羅賢龍.以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究[J].數(shù)理天地（高中版），2023，21（23）：84-86.

［責(zé)任編輯：李璟］