把握數學本質 構建數學模型

摘要：2023年全國新高考Ⅰ卷第21題考查了高中數學課程主線內容“概率與統計”的全概率公式的應用.針對該題求復雜事件概率的應用題，引導學生經歷從現實問題中確定變量、探究變量關系、建立模型、解決模型和最終解決現實問題等完整的數學建模過程，感悟全概率公式的本質和體驗數學建模活動的完整過程，形成和發展數學建模素養.

關鍵詞：全概率公式；數學本質；數學建模；核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0088-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）明確指出：數學建模是數學學科核心素養之一，是高考考查的重要素養.提升學生的數學建模素養，有助于增強學生的創新意識和科學精神.近年來新高考考查“概率與統計”的內容基本上以應用問題的形式出現，注重數學本質的回歸.《標準》明確指出：數學建模活動是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，數學建模活動主線貫穿于整個高中階段的數學教育教學的始終.解決實際問題的過程即為數學建模活動的過程，解決數學問題就是數學建模問題，所以數學建模素養的培養應落實到數學教學的各個環節.

1試題呈現

題目 （2023年新高考Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量xi服從兩點分布，且P（xi=1）=1-P（xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1xi）=∑ni=1qi.

記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數Y，求E（Y）.

2解法探究

2.1解讀問題情境

《標準》說明：在命題中，選擇合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體.本題情境是一個具體的投籃游戲背景，是熟悉的現實情境.剖析問題情境是確定變量、尋求變量關系、建立數學模型、解決實際問題的關鍵.所以，解讀問題情境、理解題意是建立合理數學模型的第一步.

首先，解讀題目背景.題目背景設定在甲、乙兩人的投籃游戲中，根據不同的投籃結果，分析第i次投籃為甲或乙的概率，以及前n次投籃中甲投籃次數的期望值.這種題目旨在考查學生根據現實問題建立數學模型、對概率論和隨機變量期望的理解與應用能力.

其次，分析問題.如下：

（1）第2次投籃的人是乙的概率：考慮到甲、乙兩人投籃的命中率，以及每次投籃后更換投籃者的規則，可以計算出第2次投籃的人是乙的概率.

（2）第i次投籃的人是甲的概率：這是一個遞推VV02/+c+Fwkprg9Joccz88w/Rd0PgNkqDre0z6Lb6gk=問題，需要根據前一次投籃的結果來推斷下一次投籃的可能性.考慮到甲、乙的投籃命中率和規則，可以逐步推導出第i次投籃的人是甲的概率.

（3）前n次投籃中甲投籃次數的期望值：這個問題涉及到隨機變量的期望.首先，需要確定甲投籃次數的隨機變量，然后根據概率和期望值的定義，計算出這個隨機變量的期望值.

2.2探究建模思路

試題第（1）問：求第2次投籃的人是乙的概率.根據投籃規則，第1次、第2次投籃情況，見圖1.

為了簡化探究過程，將題目的相關信息用圖1直觀表示.數學語言是數學思維的直觀表象，合理的語言轉化有助于對問題的簡化和理解.面對較為復雜的應用題，學生不能及時確定題目的核心要素，找不到變量間的關系就不能建立合適的數學模型.因此，可以引導學生嘗試利用圖、數學符號、表進行分析，這樣可以直觀地找出變量、確定變量關系、建立模型、解決模型.

解法1根據圖1，由互斥事件、條件概率的概率公式和概率乘法公式容易得到第2次投籃的人是乙的概率為p=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

解法2設Ai=“第i次投籃的人是甲”；Bi=“第i次投籃的人是乙”，其中i=1，2，…，n.則P（A1）=P（B1）=0.5，P（B2|A1）=0.4，P（B2|B1）=0.8.

事件A1B2與B1B2互斥，根據全概率公式，有

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

故第2次投籃的人是乙的概率為0.6.

經過對第（1）問的解題探索，建模思路已初步形成.

（1）第i次投籃的人是誰僅取決于第i-1次投籃的人是否命中，與歷史狀態無關.

（2）求事件“第i次投籃的人是甲（或乙）的概率”，是求復雜事件的概率，其數學本質是將一個復雜事件分解為若干個兩兩互斥且完備的子事件，然后分別求出每個子事件發生的概率及其在該子事件下復雜事件發生的條件概率，最后將這些結果相加，得到復雜事件發生的總概率.本題的實質是考查全概率公式的應用，建立概率論中的“全概率”模型即可解決問題.

2.3建立模型 解決問題

類比第（1）問的建模思路，完成第（2）問的建模.根據投籃規則，第i-1次、第i次投籃情況如圖2.

第i-1次、i次投籃情況

依題意知，事件Ai-1Ai，Bi-1Ai是互斥事件，其中i=2，3，…，n.

根據圖2易得Ai=Ai-1Ai+Bi-1Ai，

P（Ai|Ai-1）=0.6，

P（Ai|Bi-1）=0.2，

P（Ai-1）+P（Bi-1）=1.

根據全概率公式的本質容易得

P（Ai）=P（Ai-1Ai）+P（Bi-1Ai）

=P（Ai-1）P（Ai|Ai-1）+P（Bi-1）P（Ai|Bi-1）

=0.6P（Ai-1）+0.2P（Bi-1）

=0.6P（Ai-1）+0.2［1-P（Ai-1）］.

令Pi=P（Ai），則

Pi=35Pi-1+15（1-Pi-1）=25Pi-1+15.

構造等比數列得Pi-13=25（Pi-1-13），

且P1-13=12-13=16.

所以數列Pi-13是首項為16 ，公比為25 的等比數列.

所以Pi=16×（25）i-1+13，i∈N*.

故第i次投籃的人是甲的概率為

Pi=16×（25）i-1+13，i∈N*.

根據第（2）問的結論容易得出第（3）問：

因為E（∑ni=1xi）=∑ni=1qi，qi=pi，其中i=1，2，…，n，

∑ni=1qi=∑ni=1pi=16·1-（2/5）n1-2/5+n3=518·［1-（25）n］+n3，所以E（Y）=518［1-（25）n］+n3.

通過以上探索建模的過程，不難發現建立合適的數學模型解決實際問題的要素有：理解題意、領悟數學本質、熟悉各類數學模型等.

3教學啟示

一道典型的高考數學題目往往蘊含著豐富的教育價值，既體現出教學的重點，又能夠反映出教育改革的方向.這樣的題目有助于指導中學數學，引導教師和學生明確教學重點和學習方向.基于這道概率應用題的命題和建模分析，總結出兩點教學建議.

3.1回歸教材，強調基礎性、綜合性

通過對該高考題的探析，我們發現該題與人教A版

教材數學選擇性必修第三冊第91頁第10題的考查方向相同，這更讓我們明確了高考題目往往源自教材，或者是對教材內容的深化和拓展.由此可見，高考與教材之間是緊密聯系的，教材是學生學習的基礎，也是高考命題的重要依據.回歸教材，可以幫助學生鞏固基礎知識，為后續學習打下堅實的基礎[1].

3.2注重數學本質，培養數學學科核心素養

在平時的數學教學中，教師應引導學生深入理解數學的本質，挖掘數學概念和定理背后的深層內涵.這需要教師首先具備深厚的數學素養，能夠引導學生從數學的本質出發，理解數學概念、定理和公式的形成過程，掌握數學的思維方式和方法.教師可以通過引入實際問題、設計實驗、組織數學建模活動和數學探究活動等方式，讓學生在解決實際問題的過程中學習數學、運用數學.這樣不僅可以激發學生的學習興趣和動力，還可以幫助他們更好地理解數學的本質和應用價值，提升學生的數學學科核心素養和實踐能力.4結束語

由此可見，構建數學模型并非易事.我們需要具備扎實的數學基礎知識和良好的數學素養，還需要具備善于發現問題、提出問題、建立數學模型解決問題的能力和豐富的實踐經驗.只有這樣，我們才能在面對復雜問題時，準確把握問題的本質，構建出有效的數學模型.同時，我們還需要注重數學模型的應用和實踐，師生積極開展、參與數學建模活動，將數學模型與實際問題緊密結合起來，不斷地進行實踐和驗證，以檢驗模型的準確性和可靠性.總之，把握數學本質、構建數學模型是我們應對現實問題的關鍵所在.

參考文獻：

［1］ 孔繁晶.創新應用巧建模 回歸基礎探本質：2021年全國新高考Ⅰ卷第16題探析[J].中國數學教育，2022（6）：55-58.

［責任編輯：李璟］