圓錐曲線中與平行直線和斜率之積有關的一個性質

摘要：在圓錐曲線中，有很多與定點定值和直線斜率有關的問題，文章從一道典型試題出發，經過深入探究，得到圓錐曲線中與平行直線和斜率之積有關的一個性質，主要解決了以下問題：已知斜率k（或斜率不存在），去找定點P，斜率為定值k（或斜率不存在）的動直線與圓錐曲線交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率之積是定值.

關鍵詞：圓錐曲線；平行直線；斜率之積；定值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0091-04

在圓錐曲線的定點定值問題中，有一個熟知的結論，即過圓錐曲線E上的點P，作兩條斜率之積為非零定值的直線分別與圓錐曲線E交于點A，B，則直線AB過定點（或有定向）[1].若斜率為定值（或斜率不存在）的動直線與圓錐曲線E交于A，B兩點，則是否存在定點P，直線PA，PB的斜率之積為定值？本文從一道典型試題出發，經過深入探究，得到圓錐曲線中與平行直線和斜率之積有關的一個性質.

1試題呈現與解析

試題已知橢圓E：x24+y23=1，斜率為32的動直線與橢圓E交于A，B兩點，在坐標平面上是否存在定點P，若直線PA，PB的斜率k1，k2都存在，則k1k2是定值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

分析假設滿足題意的定點為P（x0，y0），設直線AB的方程為y=32x+t，將直線AB的方程與橢圓E的方程聯立，利用韋達定理表示k1k2，由k1k2是定值得到x0，y0滿足的條件，從而求出點P的坐標.為了方便，本文中出現的直線斜率，均指直線斜率存在的情況.

解析設P（x0，y0）滿足題意，即直線PA，PB的斜率之積為定值.

設直線AB的方程為y=32x+t.

聯立x24+y23=1，y=32x+t，消去y，得

3x2+3tx+t2-3=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

x1+x2=-t，x1x2=t2-33.

于是直線PA的斜率

k1=y1-y0x1-x0

=3x1/2+t-y0x1-x0=

3x1+2t-2y02（x1-x0）.

同理可得直線PB的斜率

k2=3x2+2t-2y02（x2-x0）.

所以k1k2=（3x1+2t-2y0）（3x2+2t-2y0）4（x1-x0）（x2-x0）

=9x1x2+6（t-y0）（x1+x2）+4（t-y0）24［x1x2-x0（x1+x2）+x20］

=3（t2-3）-6t（t-y0）+4（t-y0）24［（t2-3）/3+x0t+x20］

=3（t2-2y0t+4y20-9）4（t2+3x0t+3x20-3）.

由k1k2是定值得3x0=-2y0且3x20-3=4y20-9，解得x0=1，y0=-32或x0=-1，y0=32.此時k1k2=34.

于是P1（1，-32），P2（-1，32）滿足題意.

所以在坐標平面上存在兩個定點P1（1，-32），P2（-1，32），直線P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之積是定值，定值為34.

2已知斜率k（或斜率不存在），去找定點P

由試題可得，對于橢圓E：x24+y23=1，斜率為32的動直線與橢圓E交于A，B兩點，在坐標平面上存在兩個定點P1（1，-32），P2（-1，32），直線P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之積是定值.注意到斜率為32且過原點O的直線與橢圓E的一個交點為P（1，32），點P關于x軸和y軸的對稱點分別為P1，P2.

對于橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），斜率為k（或垂直x軸）且過原點O的直線與橢圓E的一個交點為P，點P關于x軸和y軸的對稱點分別為P1，P2，則P1，P2是否滿足條件，即斜率為定值k（或垂直x軸）的動直線與橢圓E交于A，B兩點，則直線P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之積為定值？若這樣構造的P1，P2（不）滿足條件，則在坐標平面上是否存在其他定點滿足條件？若存在，則這樣的定點有幾個？定值為何值？本文經過深入探究，得到以下結論.

結論1已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），斜率為k（或垂直x軸）且過原點O的直線與橢圓E的一個交點為P，點P關于x軸和y軸的對稱點分別為P1，P2，斜率為定值k（或垂直x軸）的動直線與橢圓E交于A，B兩點，則直線P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之積為定值，定值為b2a2.

注（1）斜率為k且過原點O的直線與橢圓E的一個交點為P，不妨設P（aba2k2+b2，abka2k2+b2），則點P關于x軸和y軸的對稱點分別為

P1（aba2k2+b2，-abka2k2+b2），

P2（-aba2k2+b2，abka2k2+b2）.

（2）垂直x軸且過原點O的直線與橢圓E的一個交點為P，則點P關于x軸和y軸的對稱點分別為P1（0，-b），P2（0，b）.

結論2已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

（1）斜率為ba的動直線與橢圓E交于A，B兩點，則存在無數個定點P（x0，-bax0），直線PA，PB的斜率之積是定值，定值為b2a2；

（2）斜率為-ba的動直線與橢圓E交于A，B兩點，則存在無數個定點P（x0，bax0），直線PA，PB的斜率之積是定值，定值為b2a2；

（3）斜率為定值k（k≠±ba）的動直線與橢圓E交于A，B兩點，則存在兩個定點P1（aba2k2+b2，-abka2k2+b2），P2（-aba2k2+b2，abka2k2+b2），直線P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之積是定值，定值為b2a2；

（4）垂直x軸的動直線與橢圓E交于A，B兩點，則存在兩個定點P1（0，-b），P2（0，b），直線P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之積是定值，定值為b2a2.

證明設P（x0，y0），斜率為定值k的動直線與橢圓E交于A，B兩點.

設直線AB的方程為y=kx+t，

聯立x2a2+y2b2=1，y=kx+t，消去y，得

（a2k2+b2）x2+2a2ktx+a2（t2-b2）=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

x1+x2=-2a2kta2k2+b2，

x1x2=a2（t2-b2）a2k2+b2.

于是直線PA的斜率

k1=y1-y0x1-x0=kx1+t-y0x1-x0.

同理可得直線PB的斜率

k2=kx2+t-y0x2-x0.

所以k1k2=（kx1+t-y0）（kx2+t-y0）（x1-x0）（x2-x0）

=k2x1x2+k（t-y0）（x1+x2）+（t-y0）2x1x2-x0（x1+x2）+x20

=a2k2（t2-b2）-2a2k2t（t-y0）+（t-y0）2（a2k2+b2）a2（t2-b2）+2a2x0kt+x20（a2k2+b2）

=b2（t-y0）2+a2k2（y20-b2）a2（t+kx0）2+b2（x20-a2）.

由k1k2是定值得

kx0=-y0 ，b4（x20-a2）=a4k2（y20-b2）.①②

于是k1k2=b2a2.

由①②，得b4（x20-a2）=a4k2（k2x20-b2）.

整理，得

（a2k2-b2）［（a2k2+b2）x20-a2b2］=0.③

（1）若k=ba，則③成立.由①得y0=-bax0.于是P（x0，-bax0），k1k2=b2a2，結論成立.

（2）若k=-ba，同（1）可得P（x0，bax0），k1k2=b2a2，結論成立.

（3）若k≠ba，由③得

x20=a2b2a2k2+b2.

于是x0=±aba2k2+b2.

由①得y0=-kx0.于是P1（aba2k2+b2，-abka2k2+b2），P2（-aba2k2+b2，abka2k2+b2），且k1k2=b2a2，結論成立.

（4）垂直x軸的動直線與橢圓E交于A，B兩點，設A（t，s），B（t，-s），|t|<a且t2a2+s2b2=1，于是直線PA的斜率k1=y0-sx0-t，直線PB的斜率k2=y0+sx0-t，所以k1k2=y20-s2（x0-t）2.

由t2a2+s2b2=1得s2=b2（a2-t2）a2.

于是k1k2=y20-b2（a2-t2）/a2（x0-t）2=b2t2+a2（y20-b2）a2（t-x0）2.

由k1k2是定值得x0=0且y20-b2=0，解得x0=0，y0=±b.

于是P1（0，-b），P2（0，b），且k1k2=b2a2，結論成立.

對于雙曲線和拋物線，本文經過探究，得到以下結論.

結論3已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.

（1）斜率為定值k（|k|<ba）的動直線與雙曲線E交于A，B兩點，則存在兩個定點P1（abb2-a2k2，-abkb2-a2k2），P2（-abb2-a2k2，abkb2-a2k2），直線P1A，P1B（P2A，P2B）的斜率之積是定值，定值為-b2a2；

（2）斜率為定值k（|k|≥ba）（或垂直x軸）的動直線與雙曲線E交于A，B兩點，則對于任何定點P，直線PA，PB的斜率之積不是定值.

注斜率為k（|k|<ba）且過原點O的直線與雙曲線E的一個交點為P（abb2-a2k2，abkb2-a2k2），點P關于x軸和y軸的對稱點分別為定點P1，P2.

結論4已知拋物線E：y2=2px（p>0），斜率為定值k（k≠0）（或垂直x軸）的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則對于任何定點P，直線PA，PB的斜率之積不是定值.

3結束語

圓錐曲線是非常重要的一類平面曲線，是平面解析幾何的重要內容，它集中體現了解析幾何的基本思想.圓錐曲線不僅具有獨特的形狀，還有很多有趣的性質.本文從一道典型試題出發，經過深入探究，得到圓錐曲線中與平行直線和斜率之積有關的一個性質，主要解決了以下問題：已知斜率k（或斜率不存在），去找定點P，斜率為定值k（或斜率不存在）的動直線與圓錐曲線交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率之積是定值.

參考文獻：

［1］

曹軍.圓錐曲線上的定點定值子弦的性質：圓錐曲線頂點定值子弦性質的推廣[J].中學數學研究（華南師范大學版），2013（19）：19-21.

［責任編輯：李璟］