帶電粒子在疊加場中運動問題分類例析

摘要：通過對電場、磁場以及重力場等疊加情況的分析，結合具體實例，運用相關的物理規律和數學方法，闡述了帶電粒子在不同疊加場中的不同運動形式和特點，為解決此類問題提供了系統的方法和思路.

關鍵詞：帶電粒子；疊加場；分類例析

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0108-03

帶電粒子在疊加場中的運動是物理學中的一個重要研究領域，它涉及電場、磁場、重力場等多種場的相互作用.深入研究帶電粒子在疊加場中的運動問題，對于理解物理現象、解決實際問題以及推動相關技術的發展都具有重要的意義.

1帶電粒子在疊加場中的直線運動

例1如圖1，足夠長柱形絕緣直桿與水平面間夾角θ=30°，直桿處于垂直紙面向里的勻強磁場中，磁場磁感應強度大小為B，桿上套有一個帶電量為-q、質量為m的小球，小球孔徑略大于桿的直徑，球與直桿間的動摩擦因數μ=34.現將小球由靜止釋放，當小球下滑距離x1時其加速度最大，當球再下滑距離x2時其速度剛好達到最大，重力加速度為g，下列說法正確的是（ ）.

A.小球的最大加速度為g8

B.小球的最大速度為3mg6qB

C.小球下滑距離x1過程中克服摩擦力做的功Wf1=mgx1-3m2g28q2B2

D.小球下滑距離x2過程中克服摩擦力做的功為Wf2=mgx22-5m3g23q2B2

解析根據題意可知，當其加速度最大時，沿桿方向合力最大，摩擦力為零，此時mgsinθ=ma，解得最大加速度a=12g，故A錯誤；當速度最大時，合力為零，即mgsinθ=μ（qvB-mgcosθ），解得最大速度v=73mg6qB，故B錯誤；小球下滑距離x1時qv1B=mgcosθ ，mgx1sinθ-Wf1=12mv21，解得Wf1=12mgx1-3m3g28q2B2，故C錯誤；小球下滑距離x2過程中mgx2sinθ-Wf2=12mv2-12mv21，解得Wf2=mgx22-5m3g23q2B2，故D正確.

點評本題是帶約束條件的疊加場問題，小球在運動過程中除了受到重力和洛倫茲力外，還受到桿對小球的支撐力和摩擦力，在疊加場中小球做加速直線運動，速度增大，洛倫茲力增大，支持力減小，摩擦力減小，合力增大，加速度增大.這類變速直線運動需要緊扣題目的已知條件，根據平衡方程或功能關系求解[1].

2帶電粒子在疊加場中的勻速圓周運動

例2如圖2所示，頂角為2θ的光滑絕緣圓錐，置于豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度為B，現有質量為m，帶電量為-q的小球，沿圓錐面在水平面內做勻速圓周運動，則（）.

A.從上往下看，小球做順時針運動

B.洛侖茲力提供小球做勻速圓周運動時的向心力

C.小球有最小運動半徑R=4mgB2q2tanθ

D.小球以最小半徑運動時其速度v=2mgBqtanθ

解析小球在運動過程中受重力、支持力和指向圓心的洛倫茲力，才能夠做勻速圓周運動，根據左手定則可知從上往下看，小球做逆時針運動;重力、洛倫茲力與支持力的合力提供向心力，如圖3，根據牛頓第二定律，水平方向qvB-FNcosθ=mv2R，豎直方向FNsinθ-mg=0，聯立可得mv2R-qvB+mgcotθ=0，因為速度為實數，所以Δ≥0，可得（qB）2-4mRmgcotθ≥0，解得R≥4m2gcotθq2B2，所以最小半徑為Rmin=4m2gcotθq2B2，可得小球以最小半徑運動時其速度v=2mgBqtanθ.故選D選項.

點評小球在重力場和磁場的疊加環境中做勻速圓周運動，需要對小球進行受力分析，然后尋找向心力的來源，根據牛頓第二定律即可求解.

3帶電粒子在疊加場中的變速圓周運動和旋進運動

例3豎直平面內建立如圖4所示的xOy直角坐標系，在-L≤y<0的區域Ⅰ內，存在著水平方向的勻強電場和垂直于紙面的勻強磁場（圖中均未畫出），在y<-L的區域Ⅱ內，存在垂直于紙面向里的勻強磁場.一個帶正電的小球從y軸上的P點以初速度v0水平向右拋出，僅在重力的作用下經過x軸上的Q點，隨后沿直線運動穿過區域Ⅰ，通過M點進入區域Ⅱ做曲線運動.已知OP的長度與OQ的長度之比為3∶2，小球的質量為m，電荷量為+q，區域Ⅱ的磁感應強度大小B2與區域Ⅰ的磁感應強度大小B1滿足B2=14B1（B1、B2為未知量），重力加速度為g.

（1）求小球到達Q點時的速度大小和方向；

（2）求區域Ⅰ的磁感應強度B1的大小和方向；

（3）若L=3v202g，從小球經過M點開始計時，當經過Δt=10πv03g時同時，求小球的位置坐標（用v0、g表達）.

解析（1）根據平拋運動的規律有x=v0t，y=12gt2，vy=gt，結合題目條件yx=32，解得vy=3v0，故Q點的速度大小v=v20+v2y，即v=2v0，其與水平方向的夾角為θ，則tanθ=vyv0，解得θ=60°，速度與水平方向成60°斜向右下方.

（2）粒子在區域Ⅰ受到重力、水平電場力、洛倫茲力的作用做直線運動，其受力分析如圖5所示.

根據平衡條件有qvB1cosθ=mg，解得B1=mgqv0.根據左手定則，B1的方向垂直于紙面向里.

（3）當小球進入區域Ⅱ時，受到重力和洛倫茲力的作用.將速度v分解為v1、v2，令v1產生的洛倫茲力與重力平衡，即qv1B2=mg，解得v1=4v0.則根據平行四邊形定則，可知v2=23v0，速度矢量分解圖如圖6所示 .

v2產生的洛倫茲力斜向右下方，受力分析如圖7所示 .

小球的曲線運動可看作4v0的水平向右的勻速直線運動和23v0的從M點開始的逆時針方向的勻速圓周運動的合運動，則qv2B2=mv22r，得圓周運動的半徑r=83v20g .由周期T=2πrv2，得T=8πv0g .根據題目條件Δt=10πv03g=512T.故圓周運動在水平方向上引起的向右的位移Δx1=12r，豎直方向引起的向下的位移Δy=（32+1）r；勻速直線運動引起的向右的水平位移Δx2=v1Δt .根據幾何關系，M點的坐標為（33v202g，-3v202g），故水平位置坐標x=xM+Δx1+Δx2，豎直位置坐標y=yM-Δy.解得小球的位置坐標為（1132+40π3）v20g，-（272+83）v20g.

點評本例屬于帶電小球在疊加場和組合場中的變速圓周運動和旋進運動問題.解決組合場問題的關鍵點，是根據題設條件求解從一個區域進入另一個區域交接點處速度的大小和方向.帶電小球在疊加場中做較復雜曲線運動時，需要對小球進行受力分析和運動分析，根據題中給定的關鍵信息（如本題第三問中的L和Δt），結合圓周運動和類平拋運動的相關知識進行求解[2].

4結束語

帶電粒子在疊加場中的運動問題是一類綜合性較強的物理問題，需要學生熟練掌握電場、磁場和重力場的性質，以及帶電粒子在這些場中的受力和運動規律.通過準確的受力分析、合理的運動狀態判斷和恰當的物理規律運用，結合數學運算，才能夠有效地解決這類問題[3].同時，隨著科技的不斷發展，對于帶電粒子在疊加場中運動問題的研究也將不斷深入，為相關領域的技術創新和應用提供更有力的理論支持.

參考文獻：［1］

彭煥靈.帶電粒子在“疊加場”的運動分析[J].高中數理化，2011（16）：33-34.

[2]胡連冬.帶電粒子在正交疊加場中運動問題的研究[J].數理化解題研究，2020（04）：57-59.

[3]張錦科.帶電粒子（體）在復合場中的運動類析[J].數理化學習（高中版），2011（Z1）：55-59.

［責任編輯：李璟］