微專(zhuān)題設(shè)計(jì)

摘要：對(duì)三角函數(shù)求最值微專(zhuān)題的兩道高考經(jīng)典真題進(jìn)行多視角解答探究，目的是在題量上以少勝多，即達(dá)到做一題通一類(lèi)的目的.

關(guān)鍵詞：高考真題；三角函數(shù)；最值；一題多解

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0038-05

縱觀近幾年高考考查三角函數(shù)的內(nèi)容，幾乎都有一道涉及三角恒等變換的小題，一般屬于容易或中檔難度，這些小題往往題干簡(jiǎn)潔、精煉優(yōu)美、內(nèi)涵豐富，因受到學(xué)生的喜愛(ài)而成為所謂的“網(wǎng)紅”.三角變換是高中數(shù)學(xué)基本運(yùn)算之一，但難點(diǎn)在于涉及公式多，角與角相互關(guān)系密切且錯(cuò)綜復(fù)雜，解題時(shí)容易陷入方法無(wú)從選擇的困境，有時(shí)思路不一樣會(huì)導(dǎo)致解題長(zhǎng)度不同，甚至進(jìn)入泥潭不能自拔.下面筆者以一道高考試題為例，淺析三角變換求值常涉及的處理策略，希望讀者細(xì)細(xì)品味，在多種解法中，看看哪些是由于公式選擇不同造成的，哪些是由切入點(diǎn)不同造成的，只有把這些問(wèn)題弄清楚后才有助于我們?nèi)ダ斫馊亲儞Q問(wèn)題的解題精髓.

1真題呈現(xiàn)

題目（2019年新課標(biāo)Ⅰ卷）函數(shù)f（x）=

sin（2x+3π2）-3cosx的最小值為.

分析本題主要考查了誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，以及利用余弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值的應(yīng)用，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

2多視角解答

解法1直接配方法.

f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-cos2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

=-2（cosx+34）2+178，

因?yàn)?1≤cosx≤1，

所以當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）min=-4.

故函數(shù)f（x）的最小值為-4.

點(diǎn)評(píng) 解答本題的過(guò)程中，部分考生易忽視

-1≤cosx≤1的限制，而簡(jiǎn)單應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

解法2圖象法.

因?yàn)閒（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-cos2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1，

令t=cosx，則-1≤t≤1.

又因?yàn)閒（t）=-2t2-3t+1的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸t=-34，在［-1，1］上先增后減，結(jié)合圖象易得當(dāng)t=1即cosx=1時(shí)，函數(shù)有最小值-4.

點(diǎn)評(píng)此法實(shí)質(zhì)與解法1類(lèi)似，只是著重進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)從圖象入手，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想.

解法3利用觀察法.

由解法2，得

f（x）=-2cos2x-3cosx+1

=-2cos2x+3cosx+1，

當(dāng)2cos2x+3cosx取最大值時(shí)，即由三角函數(shù)的有界性可知t=cosx=1時(shí)f（x）取最小值4.

解法4利用導(dǎo)數(shù)求值.

由解法2有f（t）=-2t2-3t+1，t∈-1，1.

即 f ′（t）=-4t-3，

當(dāng)f ′（t）>0時(shí)t<-34；

當(dāng)f ′（t）<0時(shí)，t>-34.

即f（t）在區(qū)間-34，1單調(diào)遞減，在區(qū)間-1，-34單調(diào)遞增，所以f（t）在

t∈-1，1時(shí)，f（t）min=f（1

）=-4.

點(diǎn)評(píng)此法體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中的運(yùn)用，實(shí)際上，對(duì)涉及二次函數(shù)類(lèi)型求對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題，有時(shí)用導(dǎo)數(shù)容易求得對(duì)稱(chēng)軸，可以避免由于同學(xué)記錯(cuò)公式或配方不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)誤.

解法5利用向量不等式.

由解法1可知

f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

=2sin2x-3cosx-1.

令a=sinx，cosx，b=2sinx，-3，

由|a·b|≤|a|·|b|，得

|2sin2x-3cosx|≤sin2x+cos2x·4sin2x+9

=4sin2x+9.

結(jié)合式子2sin2x-3cosx-1易得，當(dāng)sinx=0時(shí)，4sin2x+9=3時(shí)，|2sin2x-3cosx|=3，此時(shí)2sin2x-3cosx=-3，即函數(shù)f（x）的最小值為-4.

點(diǎn)評(píng)向量不等式的運(yùn)用體現(xiàn)了向量的工具性作用，尤其涉及式子結(jié)構(gòu)有和與積的特征時(shí)，可以考慮構(gòu)造向量數(shù)量積.不等式|a·b|≤|a|·|b|實(shí)際是柯西不等式的向量表達(dá)形式，即本法也是利用了柯西不等式.

那么此題在化簡(jiǎn)f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx=-cos2x-3cosx時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)此結(jié)構(gòu)在歷年的高考試題中屢見(jiàn)不鮮！如：

例1（2017年新課標(biāo)Ⅱ卷文科第13題）函數(shù)f（x）＝2cosx+sinx的最大值為.

例2（2013年新課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）＝sinx-2cosx取得最大值，則cosθ＝.

例3（2011年新課標(biāo)卷）在△ABC中，B＝60°，AC=3，則AB+2BC的最大值為.

由以上真題探究解法和思路及幾道真題回放發(fā)現(xiàn)，這是真正的姊妹題呀！

在以上解法4的導(dǎo)數(shù)法中，我們會(huì)疑問(wèn)f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx=-cos2x-3cosx可以直接利用求導(dǎo)解嗎？如直接求導(dǎo)則有f ′（x）=2sin2x+3sinx，哇塞！這不是變?yōu)椋?018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科16題）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是的“姊妹題”嗎？筆者發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上討論此題解法大部分都是利用導(dǎo)數(shù)的方法去破解，然而求函數(shù)的最值我們深知常見(jiàn)有配方法、單調(diào)性法、基本不等式法、向量法、數(shù)形結(jié)合法等，下面利用真題呈現(xiàn)的一些解題思路，再結(jié)合自己參與網(wǎng)絡(luò)的探究進(jìn)行整理與讀者交流.

3重溫經(jīng)典真題及解答

例4（2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科16題）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.

解法1利用配方法.

f（x）=2sinx+2sinxcosx

=2sinx+2sinxcosx+3（sin2x+cos2x-1）

=33（3cosx+sinx）2+233（sinx+32）2-332

≥-332.

只有當(dāng)3cosx+sinx=sinx+32=0時(shí)，即x=2kπ-π3（k∈Z）時(shí)，f（x）min=-332.點(diǎn)評(píng)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將sinx與cosx合理分配湊成完全平方和，這對(duì)學(xué)生變形技巧要求較高，體現(xiàn)了思維的難度加大.

解法2利用導(dǎo)數(shù)法.

因?yàn)閒（x）=2sinx+sin2x，所以

f ′（x）=2cosx+2cos2x

=4cos2x+2cosx-2

=4（cosx-12）（cosx+1）.

由f ′（x）≥0，得12≤cosx≤1.

即2kπ-π3≤x≤2kπ+π3（k∈Z）.

同理f ′（x）≤0，得-1≤cosx≤12.

即2kπ+π3≤x≤2kπ+π（k∈Z）或2kπ-π≤x≤2kπ-π3（k∈Z）.

當(dāng)x=2kπ-π3（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值且

f（2kπ-π3）=-332.

解法3在閉區(qū)間內(nèi)利用導(dǎo)數(shù)求最值.

由題設(shè)易知2π是f（x）的周期且f（x）為奇函數(shù).

因?yàn)閒 ′（x）=2（1+cosx）（2cosx-1），

令f ′（x）=0，

解得x=π3或x=5π3.

由f（0）=f（2π）=0，f（π3）=332，f（5π3）=-332，

得f（x）∈-332，332.

則f（x）取得最小值-332.

解法4平方后利用導(dǎo)數(shù)求最值.

因?yàn)閒（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

所以f（x）2=4sin2x（1+cosx）2

=4（1+cosx）3（1-cosx）.

設(shè)cosx=t，則

y=4（1-t）（1+t）3（-1≤t≤1）.

所以y′=-（1+t）3+3（1-t）（1+t）2

=4（1+t）2（2-4t）.

即當(dāng)-1<t<12時(shí)，y′>0；

當(dāng)12<t<1時(shí)，y′<0.

即函數(shù)y=4（1-t）（1+t）3（-1≤t≤1）在

（-1，12）上單調(diào)遞增，在（12，1）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)

t=12時(shí)，ymax=274.當(dāng)t=±1時(shí)，ymin=0.

所以0≤f（x）2≤274.

即-332≤f（x）≤332.

則f（x）的最小值為-332.

點(diǎn)評(píng)平方后實(shí)質(zhì)是統(tǒng)一函數(shù)名稱(chēng)，這正是我們?nèi)亲儞Q常用的轉(zhuǎn)化思想，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)求導(dǎo)求最值.

解法5利用向量不等式|a·b|≤|a||b|.

因?yàn)閒（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

令a=（0，sinx），b=（0，1+cosx），

則f（x）=2a·b.

因?yàn)閨a·b|≤|a||b|

=sin2x·（1+cosx）2，

設(shè)1+cosx=t∈0，2，

即m（t）=-t4+2t3.

又m′（t）=-4t3+6t2=-2t2（2t-3），

易得m（t）在區(qū)間（32，2）單調(diào)遞減，（0，32）單調(diào)遞增.

所以m（t）max=m（32）=2716.

所以-334≤|a·b|≤334.

即-332≤f（x）≤332.

所以f（x）的最小值為-332.

點(diǎn)評(píng)向量不等式的運(yùn)用體現(xiàn)了向量的工具性作用，尤其涉及式子結(jié)構(gòu)有和與積的特征，可以考慮構(gòu)造向量數(shù)量積.

解法6構(gòu)造圓，利用數(shù)形結(jié)合.

因?yàn)閒（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），如圖1，以AB為直徑作一單位圓，點(diǎn)C為圓上任意一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)∠COE=x，

即sinx=yc=|CE|，1+cosx=1+xc=|AE|.

則|f（x）|=|2sinx（1+cosx）|=2S△ACD，當(dāng)且僅當(dāng)x=∠CAD=60°時(shí)，

即單位圓里正三角形面積最大.

則S△ACD取得最大值為334.

又因?yàn)閒（x）=2sinx+sin2x為奇函數(shù)，

故當(dāng)x=-60°時(shí)，f（x）的最小值為-332.

點(diǎn)評(píng)單位圓與三角函數(shù)密不可分，由式子結(jié)構(gòu)變形后有乘積，構(gòu)造圓利用數(shù)形結(jié)合法搭建面積表達(dá)式進(jìn)行求解.可見(jiàn)方法獨(dú)到又易于聯(lián)想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的直觀想象的運(yùn)用.

解法7構(gòu)造兩圖象相切.

由f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

設(shè)m=cosx，n=sinx，

則t=2n（1+m）.

所以m2+n2=1，n=t2（1+m）.

由圖2，設(shè)兩切線切于點(diǎn)x，y，則滿足x2+

y2=1，y=t2（x+1），-t2（x+1）2=-x±1-x2三者同時(shí)成立，

聯(lián)立得方程2x2+x-1=0，解得x=12，合題意.

由t=±332，則-332≤f（x）≤332.

點(diǎn)評(píng)此法進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系，這也是研究函數(shù)零點(diǎn)的常用方法之一.

解法8利用琴生不等式或取特殊值法.

由題設(shè)易知2π是f（x）的周期且f（x）為奇函數(shù).

由函數(shù)f1（x）=2sinx和f2（x）=sin2x的圖象特點(diǎn)可知，當(dāng)x∈0，π時(shí)，f（x）可取最大值.

所以當(dāng)x∈0，π時(shí)，y=sinx是凸函數(shù).

由琴生不等式，得

f（x）=2sinx+sin2x

=sinx+sinx+sin（π-2x）

≤3sinx+x+π-2x3

=332，

當(dāng)且僅當(dāng)x=π3時(shí)等號(hào)成立，即f（x）的最大值為332.

假如不知道琴生不等式，可特殊化，相當(dāng)于三個(gè)內(nèi)角的三個(gè)正弦值之和.經(jīng)驗(yàn)告訴我們令三個(gè)角相等，即為等邊三角形時(shí)和最大，由奇函數(shù)可得f（x）的最小值為-332.

點(diǎn)評(píng)此法利用高等數(shù)學(xué)背景進(jìn)行求解，但在變形過(guò)程中學(xué)生可以根據(jù)三個(gè)式子特點(diǎn)猜想三個(gè)角相等從而獲解堪稱(chēng)秒殺！

有了以上真題鋪墊，我們有以下變式題的出場(chǎng)，請(qǐng)讀者從多角度動(dòng)手試一試.

變式1函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值是.

變式2已知函數(shù)f（x）=5sinx-12cosx，當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）有最大值13，則tanx0＝.

變式3函數(shù)f（x）=sin3x+3cos2x（x∈［-π3，π2］）的值域?yàn)?

答案32;-512;［6-338，3］.

4解答與設(shè)計(jì)感悟

歷年的高考真題因其權(quán)威性、代表性，學(xué)生幾乎都要進(jìn)行訓(xùn)練.比如對(duì)2018年這道考題，如果我們?cè)谟?xùn)練講評(píng)時(shí)草草收?qǐng)觯p描淡寫(xiě)，不去深層次挖掘試題的內(nèi)涵，長(zhǎng)期這樣則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維的局限性.所以平時(shí)訓(xùn)練時(shí)不僅要求熟練掌握通法，還要聯(lián)系知識(shí)間的交匯點(diǎn)，從不同角度剖析，進(jìn)行一題多解、一題多變，發(fā)散學(xué)生思維，從而提高學(xué)生的解題能力，這樣才會(huì)順理成章地有2019年這道高考試題的多種解法誕生.通過(guò)以上解題訓(xùn)練，讓學(xué)生真正體會(huì)做一題通一類(lèi)，讓考生在答題時(shí)心中有法有路，不恐懼，感悟做過(guò)真題價(jià)更高！教師作為學(xué)生的引路人，更應(yīng)該在高考試題上進(jìn)行多研究多思考，常言道：學(xué)生需要一滴水，老師要有一桶水！對(duì)于2018年的這道題目，有興趣的同學(xué)繼續(xù)探究下去會(huì)發(fā)現(xiàn)還可以利用萬(wàn)能公式換元求最值、化為同角后再構(gòu)造四元均值不等式、化為同名函數(shù)再構(gòu)造四元均值不等式、構(gòu)造拉格朗日函數(shù)多達(dá)二十幾種解法！讓他們體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的魅力和解題樂(lè)趣.正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所言：一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過(guò)程中，提高他們的才智與推理能力［1］.

5結(jié)束語(yǔ)

在高三復(fù)習(xí)備考中，有許多同學(xué)盲目地?zé)嶂运㈩}，而忽視了“刷方法”“刷思維”.著名數(shù)學(xué)教育家孫維剛曾說(shuō)過(guò)，如果我們只追求多解的數(shù)量，對(duì)每種解法也不進(jìn)行深入探討，那么對(duì)于有些本質(zhì)相同只是形式略有區(qū)別的解法就不必花更多的時(shí)間[2].同時(shí)如果不同角度的解法在思路上拉開(kāi)的距離較大，運(yùn)用的知識(shí)較多，這將加深對(duì)題目本質(zhì)的理解，加深對(duì)每個(gè)解法本質(zhì)的理解，加深對(duì)所用概念和公式及相互間聯(lián)系的理解.如果把這些解法相互比較，進(jìn)行抽象，還會(huì)在方法上有所創(chuàng)造，提高解題能力，這樣一題多解就很有價(jià)值了.

參考文獻(xiàn)：

［1］

余獻(xiàn)虎.深度設(shè)計(jì)以“理解”為目標(biāo)的教學(xué)：以“整式的化簡(jiǎn)”為例[J].數(shù)學(xué)通訊，2023（21）：26-27，40.

［2］ 林敏.對(duì)2023年乙卷理科16題的再思考[J].數(shù)理化解題研究，2023（28）：43-45.

［責(zé)任編輯：李璟］