已知函數的值域求參數問題的“疑、探、悟”

摘要：給出函數的解析式和定義域求其值域，或給出函數的值域，求函數式中參數的取值范圍，學生常常無從下手.文章針對高中階段的幾類函數中已知值域求參數的問題，通過尋疑、探疑、悟疑三方面進行啟發式教學探討.

關鍵詞：函數；值域；求參數

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0055-03

在復習函數這一模塊時，函數性質的理解、應用是重中之重.在教學中發現學生對這些性質的逆向應用思維不夠，碰到已知函數的某些性質，求函數的參數問題一籌莫展.“疑、探、悟”啟發式教學著眼于調動學生的學習積極性、主動性和創造性，使他們具有獲得知識技能的強烈要求和獨立發表自己見解的迫切愿望，從而能融會貫通地掌握知識，提高能力，發展智力，培養學生的核心素養.下面對函數實例中已知某些函數的值域求參數的問題進行研究.

1一元二次函數已知值域求參數

例1已知函數f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域為［0，+∞），求a的取值范圍.

尋疑要使f（x）∈［0，+∞），大部分學生認為f（x）的圖象開口向上，滿足△≤0，得到a∈［0，3）.

探疑其實這里學生犯的錯誤是沒理解清楚值域為［0，+∞）的真正含義，它是要求值域從0開始全都要取到，不能多也不能少.當△<0時，f（x）>0不滿足題意，所以只有△=0時滿足f（x）≥0.

解法1因為f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域為［0，+∞），

所以a>0，△=0時滿足f（x）≥0.

解得a=3.

解法2因為f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）

的值域為［0，+∞），開口向上，也可理解為f（x）min=f（2）=0，

解得a=3.

變式已知函數f（x）=ax2-4ax+2a+6（a∈R）的值域為（0，+∞），求a的取值范圍.

解析f（91kydepJDRW0/7upV0zaog==x）開口向上，要使f（x）∈（0，+∞），則a>0，△<0，得到a∈（0，3）.

例2已知函數f（x）=x2+ax-2x2-x+1的值域為（-∞，2），求a的取值范圍.

解析因為f（x）=x2+ax-2x2-x+1的值域為（-∞，2），所以x2+ax-2x2-x+1<2.

又因為x2-x+1=（x-12）2+34>0，

所以x∈R.

由上式可得x2+ax-2<2（x2-x+1） .

所以x2-（a+2）x+4>0在x∈R上恒成立.

所以△=［-（a+2）］2-4×4<0.

解得-6<a<2.

悟疑解決此問題的關鍵在于把求值域的問題和解一元二次不等式的問題聯系起來，最后通過比較同解不等式的系數，列方程求出參數的值.

2含偶次根號的函數已知值域求參數

例3已知函數f（x）=ax2+4ax+a+3的值域為［0，+∞），求a的取值范圍.

尋疑對這一題，學生經常是這樣解答的：

因為f（x）=ax2+4ax+a+3的值域為［0，+∞）.

所以ax2+4ax+a+3≥0.

即a（x+2）2+3-3a≥0.

整理可得3-3a≤（x+2）2在定義域內恒成立.

所以3-3a≤［（x+2）2］min=0.

解得0≤a≤1.

這是錯解.對偶次根式的定義域，要求是根號里的函數式的值要大于或等于0，在未知函數定義域的情況下，判定3-3a≤［（x+2）2］min=0是錯的.

探疑這可以看作是一個復合函數，若設u（x）=ax2+4ax+a+3，在不知道x取值的情況下，u（x）的值域的范圍是R的一個子集，要滿足f（x）=u（x）≥0，u（x）要取遍非負實數，所以△≥0且開口要向上.

正解a=0時，f（x）=3>0，不合題意.

a<0時，開口向下，達不到值域為［0，+∞）.

a>0時，設u（x）=ax2+4ax+a+3，則f（x）=u（x）≥0，且設u（x）的值域為D，所以［0，+∞）D.

所以u（x）要取遍非負實數，即△≥0，解得a≥1.

變式已知函數f（x）=ax2+4ax+a+3在x∈R時的值域為［0，+∞），求a的取值范圍.

解析已知定義域x∈R，要使u（x）=ax2+4ax+a+3≥0，且同時滿足f（x）要取遍［0，+∞）且不能多也不能少，則△=0.

解得a=1或a=0，而a=0時不合題意舍去.

悟疑二次函數的二次項系數為字母時的分類討論，若此問題要轉化為不等式恒成立問題，要清楚地知道函數的定義域，否則會出現錯誤的答案.

3指數型函數中已知值域求參數

例4已知函數f（x）=2x2+2ax-a-1的值域為［0，+∞），求a的取值范圍.

尋疑學生認為f（x）=2x2+2ax-a-1≥0，即得到f（x）=x2+2ax-a≥0.

所以△≥0，得到-1≤a≤0.

探疑在解此類型的指數型函數時，其內函數u（x）=x2+2ax-a的定義域跟函數f（x）的定義域相同，所以x∈R；當△>0時，對x∈R，u（x）=x2+2ax-a的值有一部分小于0，使得f（x）的值域范圍比［0，+∞）多了；

同理，當△<0時，對x∈R，

u（x）=x2+2ax-a有一部分大于和等于0的值取不到，此時f（x）的值域范圍比［0，+∞）小了.

正解函數的定義域為R，由f（x）=2x2+2ax-a-1≥0，即得到x2+2ax-a≥0.

所以當△=0時，對x∈R，u（x）=x2+2ax-a≥0，使得f（x）的值域為［0，+∞），

解得a=0或a=-1.

這是學生容易與已知定義域為R求函數值域混淆的題型，所以講解時可與下面的變式題對比講解.

變式已知函數f（x）=2x2+2ax-a-1的定義域為R，求a的取值范圍.

解析設u（x）=2x2+2ax-a-1，當x∈R時，v（x）=x2+2ax-a≥0，

所以△≤0時，解得-1≤a≤0.

悟疑分析指數函數和對數函數構成的復合函數的性質時，首先要弄清復合函數的構成，然后轉化為基本初等函數的單調性加以解決，注意不可忽視定義域、指數和對數的底數對它們的圖象及性質起的作用[1].

4對數型函數中已知值域求參數

例5已知函數f（x）=lg（x2+ax+1）的值域為R，求a的取值范圍.

尋疑學生容易誤解函數f（x）=lg

（x2+ax+1）的值域為R，即x2+ax+1>0的值域為R對x∈R恒成立，而u（x）=x2+ax+1的開口向上，從而△=a2-4<0，解得-2<a<2.

以上解答與下列問題混為一談：

若函數f（x）=lg（x2+ax+1）的定義域為R，求實數a的取值范圍.

探疑在對數型函數中，當值域為R時，它表示函數u（x）的值可取遍全體正實數.所以函數u（x）=x2+ax+1的最小值要不大于0，即函數滿足△≥0；而當函數f（x）=lg（x2+ax+1）的定義域為R時，它表示對一切x∈R，函數u（x）=x2+ax+1的值恒正，所以它們是兩類不同的問題[2].

解法1因為函數f（x）=lg（x2+ax+1）的值域為R，設u（x）=x2+ax+1對x∈R時可取遍全體正實數，所以u（x）的值域包含了（0，+∞）.

從而△=a2-4≥0，

解得a≤-2或a≥2.

解法2因為函數f（x）=lg（x2+ax+1）的值域為R，設u（x）=x2+ax+1，

所以u（x）=x2+ax+1對x∈R時可取遍全體正實數.

所以u（x）的最小值不大于0.

因為u（x）=x2+ax+1=（x+a2）2+1-a24，

所以u（x）min=u（-a2）=1-a24，

解得a≤-2或a≥2.

變式已知函數f（x）=lg（x2+ax+1）的值域為［0，+∞），求a的取值范圍.

解析f（x）=lg（x2+ax+1）的值域為

［0，+∞），設u（x）=x2+ax+1，等價于u（x）的值域要取遍［1，+∞）且不能多取，故u（x）min=u（-a2）=

1-a24=1，解得a=0.

悟疑破解問題時應注意問題的細微區別，防止犯似曾相識的錯誤.“函數的值域為A”“f（x）∈A恒成立”與上題有類似的地方.這兩例的辨析啟示我們，在平時的學習中，應認真比較各種問題間的區別，防止就題論題且不加區別.

5結束語

以上實例說明，已知函數的值域求參數是一個較為復雜的問題，要根據不同的函數形式選擇適當的方法求解.由于許多函數的概念都有很深刻的內涵，所以在學習函數知識及解決函數問題時，首先要非常準確地理解函數中的每個概念，仔細揣摩各種概念之間的聯系與不同，才能作出準確的解答[3].教師應在教育理論研究與實踐中，結合數學學科的特點，掌握“疑、探、悟”啟發式教學的方法，以便在教學中更好地落實核心素養，取得更好的教學效率.

參考文獻：

［1］

宋月英.與指數函數、對數函數有關的最值（值域）問題[J].高中數理化，2022（15）：58-59.

［2］ 方佳佳.關注函數的最值（值域）常考類型[J].中學教學參考，2019（35）：2-3.

［3］ 李偉.函數定義域、值域的逆向問題[J].數學通訊，2007（06）：4-5.

［責任編輯：李璟］