聚焦一般觀念教學 經歷定理生成過程

愛因斯坦說過：“科學結論幾乎是以完成的形式出現在讀者面前，讀者體會不到探索和發現的喜悅，感受不到思想形成的生動過程，也很難達到清楚地解釋全部情況．”《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱為“新課標”）明確指出：教學活動應注重啟發式，激發學生學習興趣，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題；促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能，體會和應用數學的思想與方法，獲得數學的基本活動經驗．但在實際初中數學教學中，教師往往怕耗費時間，不重視定理的形成過程，直接指出結論．殊不知，正是在定理研究的過程中，學生積極思考、探尋定理產生的本源，從而體驗了探究的樂趣，激發了學習的積極性，積累了數學基本活動經驗．

章建躍強調“數學的一般觀念，就是隱藏在具體數學知識背后的數學思想方法．”這啟示著，定理教學需要教師基于一般觀念，從學生的認知、已有經驗出發，模擬科學研究的一般規律和方法進行設計．本文以人教版《義務教育教科書數學》“24.1.4圓周角”教學為例闡釋筆者的認識與實踐，期待拋磚引玉．

1 教學實踐與探索

在數學定理教學活動中，要引導學生了解定理的來龍去脈，不但要知其然，更要知其所以然．經歷定理的形成過程，幫助學生構建知識體系，學會思考、探索解決問題的方法，發展學科關鍵能力，學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界．

環節1 基于空間形式引入圓周角概念

（1）設計思考1．

在本節課之前，學生已經學習了一種與圓有關的角——圓心角．從一般觀念出發，角的元素有角的頂點和角的邊，而圓心角的特征是頂點在圓心，自然就會提出若角的頂點在圓周上又如何？

（2）教學活動．

問題1 ①如圖1，∠AOB是____，它有什么特征？

②從空間形式上，對于“角”和“圓”，我們通常會關注什么？

學生活動思考并回答．

追問1 若從角的頂點出發，你能提出其它與圓有關的角嗎？

生1 角的頂點在圓上．

師 很好！這是一種有意義的角，我們有必要探索一下．

問題2 角的頂點在圓上，動手畫一畫，你能畫出多少個？

生2 無數個．

教師引導 若再考慮角的兩條邊，你能對這無數個角進行分類嗎？分類的標準是什么？

學生活動思考并回答．

師生活動 學生通過觀察，并發現這些角可按以下標準進行分類．

分類標準角的邊是否與圓相交．

三類 （如圖2）①兩條邊都與圓相交；②一條邊與圓相交，另一條邊不與圓相交；③ANBYedwWoynZhmpBtn8bkg==兩條邊都不與圓相交．

接著，教師引導學生規范地描述第①類角，引出研究對象——圓周角及它的定義：像這樣，頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

簡析 基于空間形式，通過由圓心角頂點的特殊位置考慮產生新的角，并進行分類，明確圓周角與圓心角都是與圓有關的角，且都是與圓有關的位置特殊的角，讓學生感悟到研究圓周角的必要性和價值．

環節2 從一般到特殊，經歷定理的生成過程

（1）設計思考2．

新課標指出：數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系．因為圓心角和圓周角的兩條邊都與圓相交，所以用“一條弧”架起了圓心角與圓周角的橋梁，進而研究它們的數量關系，讓學生經歷定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．”的生成過程．

（2）教學活動．

問題3 圓心角和圓周角都是與圓有關的角，那么它們之間會有關系嗎？

學生活動 思考并回答，如果圓心角與圓周角對著同一條弧，那么它們就有關系了．

教師引導 這個發現很有價值．圓心角有無數個，圓周角也有無數個，由于圓心角和圓周角都對著同一條弧，這樣就把圓周角和圓心角聯系起來了，得到研究對象．對著同一條弧是它們的位置關系，那么圓周角和圓心角在數量上會有關系嗎？

追問2 基于已有的學習經驗，接下來我們應該如何研究它們之間的數量關系呢？我們研究幾何中的數量關系通常采用什么方法？

生2 畫圖后，觀察、測量、猜想、驗證．

生 畫出圖形（如圖3），動手進行測量（表1），提出猜想．

猜想 ∠BAC=∠BDC=∠BEC=∠BFC=∠BGC=…=1/2∠BOC．

追問3 這個猜想實際上有幾個結論？

問題4 你能用語言來描述你的猜想嗎？

師生歸納得出命題①同弧所對的圓周角相等；②一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．

教師使用幾何畫板做進一步演示與驗證，引導學生在動態環境中直觀感受上述問題的答案．

環節3 從特殊到一般，經歷定義的論證

（1）設計思考3．

新課標指出：初步掌握推理的基本形式和規則：對一些簡單的問題，能通過特殊結果推斷一般結論；理解命題的結構與聯系，探索并表示論證過程；感悟數學的嚴謹性，初步形成邏輯表達與交流的習慣．

（2）教學活動．

問題5 你能證明得到的猜想嗎？你想如何證明？

學生發現只要證明猜想②就可以推出猜想①，從而確定只需要證明第②個命題．

問題6 如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？

師生活動 一條弧所對的圓心角只有一個而圓周角有無數個．基于“特殊到一般”的數學思想，考慮對無數個圓周角進行分類，然后利用“特殊”為切入口，找到了證明方法．

追問4 如何分類呢？

師生活動 圓心是點，圓周角是角，類比點與圓的位置關系，通過觀察圖形把這無數個圓周角也分成三類：①圓心在圓周角的一條邊上（點在角上）；②圓心在圓周角的內部（點在角內）；③圓心在圓周角的外部（點在角外）．且發現第①種情況最特殊．

學生活動以小組為單位討論交流，寫出“已知、求證、證明過程．”

教師活動 巡察并實時點撥，發現學生都能對第①種特殊情況進行證明，并且大部分的學生都能利用轉化的思想完成第②③種的證明．利用投影儀展示學生的證明過程并給予評價．

總結結論得到定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．

問題7 一個定理往往會帶來一些新的結論一一推論．那么由圓周角定理能得出什么推論呢？如何得出？

師生活動 推論往往是用特殊化的方法得出的，教師讓學生按照這種思想方法，在課后嘗試得到圓周角定理的推論并證明．

簡析 新課標指出，數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系．圓周角與圓心角都是與圓有關的角，如果它們有特殊的位置關系“對著同一條弧”，那么它們在數量上是否存在某種關系，從而提出問題引入研究對象，接著尋找解決問題的路徑與方法．

2 一般觀念引領教學的思考

2.1 實踐探究，深化數學育人價值

育人為本是教育的生命和靈魂，是教育的本質要求和價值訴求．數學在形成人的理性思維、科學精神的過程中發揮著至關重要的作用．

本節課的實踐探究，調動了學生研究幾何圖形的已有經驗，引導他們關注研究幾何圖形的套路，重視研究圖形性質的方法，讓學生體驗研究幾何圖形的性質就是研究組成圖形的元素之間的關系，學會用數學的眼光發現并提出問題，培養學生的問題意識；教師通過問題串調動了學生以往的學習經驗，使以往學習的幾何圖形的研究思路和方法與圓周角的研究思路和方法融會貫通，讓學生感悟“研究的對象千變萬化，但研究的思路方法不變”，掌握整體研究幾何圖形的方法和途徑，學會用數學的思維思考ZpCAxFu8gIviPBfHl8woQg==問題，發展數學學科核心素養．

2.2 經歷體驗，發展學生思維品質

傳統的數學教學主要是知識教學，給孩子一些公式、法則、定理等，再告訴他們怎么樣推導和應用，不重視過程，學生沒有經歷體驗，學生的思維品質自然得不到發展．用類比的思想引入圓周角概念，讓問題自然而然；關注數學的本質，讓學生經歷定理的生成過程，積累數學活動經驗；在證明圓周角定理的過程中，通過運用“分類討論”的數學思想，采取觀察、猜想、類比、轉化、驗證等活動，培養了學生幾何直觀的能力、畫圖和識圖能力、邏輯推理能力，思維的嚴謹性，尤其是培養學生分析和解決問題的能力．在定理的生成、推理證明的過程中，充分發揮學生的主體地位，學生在獨立思考、合作碰撞中形成自我觀點和認知，體驗學習的樂趣，積累經驗，培養思維的深刻性、嚴謹性、創造性和批判性，發展學生良好的思維品質．

本節課的教學實踐表明，基于一般觀念的定理教學，可以幫助學生避免碎片化學習，抓住知識之間的內在聯系，注重遷移，應用一般觀念研究新的問題，形成穩定的數學基本活動經驗，實現數學育人價值．

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，2022

[2]宋璐佳．一般觀念引領下的“圓周角”教學設計[J]．中國數學教育（初中版），2022（19）：44-49

[3]陳華忠．《義務教育數學課程標準（2022年版）》“新”在何處[J]．課程教材教學研究（小教研究），2022（Z4）：7-10

（本文系莆田市教育科學“十四五”規劃2023年度課題“新課標”背景下初中生數學閱讀能力培養的實踐研究”（編號：PTJYKT23138）的研究成果）